柯西中值定理“中間點ξ”漸進性討論的教與學(xué)問題研究

徐輝 鄭青峰

【摘要】經(jīng)管類高校大一新生正處在中學(xué)到大學(xué)學(xué)習(xí)方式由“被動式、接受式、應(yīng)試式、灌輸式”向“自主式、批判式、探索式、研究式、創(chuàng)新式”轉(zhuǎn)型的關(guān)鍵時期?！拔⒎e分”課程的學(xué)習(xí)在此階段的作用不容忽視，柯西中值定理是“微積分”課程體系中的重要內(nèi)容之一，本文通過較充分的文獻檢索（1979—2020）及其梳理，基于該定理“中間點ξ”漸進性的討論及其教與學(xué)實踐過程中相關(guān)問題研究和嘗試，對于實現(xiàn)大一新生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)型具有較好的示范作用。同時，對于學(xué)生后續(xù)課程與專業(yè)學(xué)習(xí)以及更好地適應(yīng)大學(xué)階段學(xué)習(xí)、生活、工作等方面均具有重要的借鑒價值。

【關(guān)鍵詞】柯西中值定理;中間點ξ;漸進性;教與學(xué);學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)型

經(jīng)管類高校文科生占比較大，對“微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計”等數(shù)學(xué)課程，心存“恐懼”之感，尤其是大一新生，正處在中學(xué)到大學(xué)由“被動式、接受式、應(yīng)試式、灌輸式”向“自主式、批判式、探索式、研究式、創(chuàng)新式”轉(zhuǎn)型時期，表現(xiàn)出如學(xué)生認為大學(xué)教師授課內(nèi)容多，理論概念抽象，對于多校區(qū)且校區(qū)分散的高校而言，個別校區(qū)可能出現(xiàn)學(xué)生自習(xí)時間無相關(guān)授課教師“陪伴”，課間、課后與授課教師交流機會有限等諸多大學(xué)教與學(xué)方式不適應(yīng)現(xiàn)象，仍處于“中學(xué)狀態(tài)”，轉(zhuǎn)型困難。這樣，可能給學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、信心等方面帶來一定的“沖擊”，同時給授課教師的教學(xué)也帶來了某種程度的“無奈”。鑒于此，本文試圖以微積分課程體系中的重要內(nèi)容之一的柯西中值定理“中間點ξ”漸進性進行討論的教與學(xué)問題研究，對以上“困境”的改善提出相應(yīng)的思考并賦予教與學(xué)的實踐過程進行嘗試和總結(jié)，以期取得應(yīng)有的教學(xué)效果。

柯西中值定理如下：

該定理只得出了“中間點ξ”在（a，b）內(nèi)的存在性，但其具體“位置”不詳，由此授課教師引導(dǎo)同學(xué)們在此問題上對柯西中值定理提出相應(yīng)的“質(zhì)疑”，要求學(xué)生在課堂尤其是在課后查閱相關(guān)資料進行討論和思考，以此培養(yǎng)同學(xué)們“自主式、批判式、探索式、研究式、創(chuàng)新式”學(xué)習(xí)能力，盡可能改善他們的“中學(xué)狀態(tài)”，“華麗”

轉(zhuǎn)型成“大學(xué)狀態(tài)”。指導(dǎo)學(xué)生當(dāng)我們給柯西中值定理附上一定條件后，可以研究其“中間點ξ”“位置”的漸進性，觸類旁通，對拉格朗日中值定理、積分中值定理等相關(guān)問題進行創(chuàng)新性思考和探索，提高學(xué)生的積極性、自主性、批判性等方面的學(xué)習(xí)能力。

一、文獻綜述

柯西中值定理作為微積分課程體系中的重要內(nèi)容之一，近三十余年來倍受眾多學(xué)者廣泛關(guān)注。以“中值定理、中間點ξ、漸進性”等為關(guān)鍵詞在中國知網(wǎng)核心期刊（1979—2020）檢索相關(guān)文獻大概106篇左右，通過文獻梳理得知，已有研究可以概括為如下幾個方面：（1）研究柯西中值定理新的證明方法，例如，許子道，孫存金（1981）給出了關(guān)于柯西中值定理的矢量法證明，并且給出它在三維空間矢量分析中的一個推廣;吳國華（1987）在導(dǎo)出幾個引理的基礎(chǔ)上，不使用羅爾和拉格朗日中值定理，探討了一種新的柯西中值定理證明方法;陳蘊衡，郭正光（1991）提出了一種完全區(qū)別于一般數(shù)學(xué)分析教科書中有關(guān)微分中值定理的證明方法;（2）證明柯西中值定理“中間點ξ”漸進性及其推廣研究，例如，曾德廣（1994）對柯西中值定理中間點的漸進性展開了證明;楊晶（2018）研究了柯西中值定理的逆問題，并將其與“中間點”漸進性聯(lián)系到一起，對高階柯西中值定理進行了推廣;聶輝，張樹義（2019）對柯西中值定理“中間點”當(dāng)x→+∞時漸近性態(tài)進行研究，建立了新的漸進估計;（3）研究新的教學(xué)方法，例如，高愛平（2018）以泰勒公式為例，設(shè)計了一種逐層分析、數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法;曾金平，李伯忍（2020）以拉格朗日中值定理為例，探討拉格朗日中值定理的教與學(xué)，力求學(xué)生正確理解并掌握該定理。

上述文獻梳理及其述評如下圖1和表1所示：

文獻分析顯示，眾多學(xué)者對柯西中值定理及其“中間點ξ”漸進性作了較充分的研究和思考，具有一定的學(xué)術(shù)研究價值和教學(xué)實踐創(chuàng)新價值。豐富了中值定理的內(nèi)容，拓展了微積分教學(xué)的思路。對柯西中值定理“中間點ξ”漸進性問題也進行了深入討論，為“中間點ξ”“位置”的確定提供了參考。加深了學(xué)生對柯西中值定理的認識，拓寬了學(xué)生的視野。對柯西中值定理及其相關(guān)內(nèi)容的教與學(xué)問題進行了重新思考和嘗試，對更新教育理念、改進教學(xué)方法發(fā)揮了重要作用。但存在某種程度上的研究局限性，已有學(xué)者研究文獻分析顯示，相關(guān)學(xué)者從數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)價值角度研究微積分課程內(nèi)容中的若干中值定理“中間點ξ”的漸進性，關(guān)于其漸進性及其理論證明居多，涉及創(chuàng)新型教學(xué)實踐的研究甚少。尤其是研究經(jīng)管類院校學(xué)生學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)型相對更少。

針對已有文獻研究的局限性，本文擬通過柯西中值定理“中間點ξ”漸進性討論，對微積分課程“教與學(xué)”問題研究，旨在促進大一新生有效實現(xiàn)學(xué)習(xí)方式的成功轉(zhuǎn)型。對于學(xué)生后續(xù)微積分課程與專業(yè)課程的學(xué)習(xí)以及更好地適應(yīng)大學(xué)階段學(xué)習(xí)、生活、工作等方面均具有重要的借鑒意義和參考價值。

二、“中間點ξ”漸進性的“教與學(xué)”

（一）設(shè)計“批判式、探索式”教學(xué)情境

柯西中值定理“中間點ξ”漸進性討論的教與學(xué)研究重點在于培養(yǎng)學(xué)生們的主動性，拋棄以往被動式接受教育的思想，開發(fā)學(xué)生的主動思考探究能力和批判性思維，因此在討論教學(xué)過程中營造一定的“批判式、探索式”教學(xué)氛圍是非常必要的。

高中時期，普遍是應(yīng)試教育，學(xué)生缺乏創(chuàng)新意識、批判思維，只是被動式學(xué)習(xí)。這樣的思維模式難以適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)生活。因此，在學(xué)生進入大學(xué)一年級的關(guān)鍵時期要及時對學(xué)生進行引導(dǎo)，提高學(xué)生各方面的學(xué)習(xí)能力，轉(zhuǎn)換學(xué)生的思維模式。首先我們要設(shè)計“批判式、探索式”的教學(xué)情境，引發(fā)學(xué)生的主動性，再進一步引入柯西中值定理“中間點ξ”漸進性的相關(guān)討論。教學(xué)情境的設(shè)計目的在于激發(fā)學(xué)生的好奇心和探究欲望，探究性的提問與教學(xué)形影相隨，提問是讓學(xué)生通過積極的思維活動，尋找知識規(guī)律和解決問題的方法。通過提問，引導(dǎo)學(xué)生去探索思考，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生積極思考的習(xí)慣，激發(fā)創(chuàng)新意識，從而進一步形成學(xué)生的批判性、研究性、探索性、創(chuàng)新性思維，達到教與學(xué)的目的。

（二）引導(dǎo)學(xué)生對“中間點ξ”漸進性問題進行探討

對經(jīng)管類高校大一新生而言，“微積分”是一門極其重要的課程，微積分部分又是重中之重，這其中就包括重要的柯西中值定理。多數(shù)學(xué)生只知道中值位于a與b之間，但不知道“中間點ξ”的“位置”是如何的。在此，本文通過柯西中值定理“中間點ξ”漸進性討論，引導(dǎo)學(xué)生探索性、批判性學(xué)習(xí)。

布盧姆基于學(xué)習(xí)、教學(xué)和評價，依據(jù)認知復(fù)雜程度，把認知過程分為六個類別：記憶、理解、應(yīng)用、分析、評價和創(chuàng)造。當(dāng)代教學(xué)理論將學(xué)習(xí)的業(yè)績分為“保持”和“遷移”，如果學(xué)習(xí)目標是“保持”教材內(nèi)容，那么學(xué)生認知過程就是“記憶”;相反，“理解”“應(yīng)用”、“分析”、“評價”與“創(chuàng)造”則與“遷移”相聯(lián)系。例如，在柯西中值定理教學(xué)過程中，其認知過程可以分為：（1）記憶：識記柯西中值定理;（2）理解：知道柯西中值定理的意義在于建立函數(shù)的改變量與函數(shù)導(dǎo)數(shù)（變化率）之間的聯(lián)系;（3）應(yīng)用：能運用柯西中值定理解決實際問題;（4）（5）分析與評價：知道柯西中值定理與用微分近似計算函數(shù)公式的相同與區(qū)別，知道柯西中值定理由一階導(dǎo)數(shù)到高階導(dǎo)數(shù)的使用、由一次多項式到高次多項式、由一個函數(shù)到兩個函數(shù)的遞進關(guān)系，知道柯西中值定理的幾何意義;（5）創(chuàng)造：進行創(chuàng)造式思考，在對柯西中值定理有了比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)后，教師應(yīng)對學(xué)生進一步探索式提問，引導(dǎo)學(xué)生對柯西中值定理的“中間點ξ”進行思考，帶領(lǐng)學(xué)生探究柯西中值定理“中間點ξ”漸進性，培養(yǎng)學(xué)生的批判性、研究性、探索性、創(chuàng)新性思維。

因此，教師需對學(xué)生進行引導(dǎo)，提出問題：詢問學(xué)生對柯西中值定理有什么新的發(fā)現(xiàn)、思考，甚至是疑問。以期待學(xué)生們能夠?qū)Α爸虚g點ξ”的“位置”問題引發(fā)新的思考。

教師需進一步對學(xué)生進行提問式引導(dǎo)：提出是否需要使用一定的假設(shè)條件就可以研究“中間點ξ”的“位置”的問題。即在一定的假設(shè)條件下能否得出柯西中值定理“中間點ξ”具有一定的漸進性？

激發(fā)學(xué)生自主探索：提出假設(shè)條件進行證明。

教師再次引導(dǎo)：給出假設(shè)條件并給出定理一的證明，以啟發(fā)學(xué)生進一步探索。

學(xué)生自主探索：推導(dǎo)定理二，進一步廣義化得到定理三。

以上柯西中值定理“中間點ξ”漸進性討論，從“教與學(xué)”兩方面思考可知，通過柯西中值定理的教學(xué)實踐，呈現(xiàn)了實現(xiàn)了大一新生從“中學(xué)狀態(tài)”向“大學(xué)狀態(tài)”學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)型的一個較好案例，對后續(xù)微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)起到“拋磚引玉”的示范作用，具有較強的“普適性”。通過學(xué)生對柯西中值定理的學(xué)習(xí)實踐，一方面，讓大一新生初步體會到數(shù)學(xué)嚴謹?shù)目茖W(xué)學(xué)術(shù)價值之美;另一方面，該定理“中間點ξ”漸進性討論的數(shù)學(xué)推導(dǎo)與演繹過程，對大一新生數(shù)學(xué)思維與演算能力的提升具有較大的促進作用。

（三）激發(fā)學(xué)生“延伸”思維的學(xué)習(xí)興趣

在得到“中間點ξ”的“位置”滿足一定條件下的漸進性后，教師可以進一步引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)拉格朗之中值定理、積分中值定理的中值問題。比如：將以上定理中的F（X）變換為X即可得到拉格朗之中值定理中“中值ξ”的漸進性。

通多教師對學(xué)生一步步的引導(dǎo)，可以激發(fā)學(xué)生的批判性、研究性、探索性、創(chuàng)新性思維。學(xué)生在學(xué)習(xí)柯西中值定理“中間點ξ”漸進性討論后，會認識到學(xué)習(xí)不是古板的被動式接受，主動思考會帶來意想不到的驚喜。在研究了柯西中值定理“中間點ξ”的漸進性后，學(xué)生會有所感想，學(xué)生的思維就不僅僅停留在只有一個“中間點ξ”上，而是會進一步思考“中間點ξ”漸進性的問題。這對經(jīng)管類高校大一新生而言是一個質(zhì)的改變，已經(jīng)開始從被動式學(xué)習(xí)走向主動式學(xué)習(xí)，當(dāng)學(xué)生接觸到其他中值定理問題時，思維不在受到局限，而是會進一步的主動性思考。當(dāng)學(xué)生培養(yǎng)了主動性思考的能力就已經(jīng)適應(yīng)了大學(xué)的學(xué)習(xí)生活。

在以后的學(xué)習(xí)、科研過程中，學(xué)生們面對的諸多公式、定理都已經(jīng)比較完善，那么該如何有所學(xué)術(shù)性的突破，這就需要學(xué)生們的探索性、批判性思維，學(xué)生們通過對柯西中值定理“中間點ξ”漸進性討論，學(xué)生所收獲的不僅僅是這一定理的討論結(jié)果，重要的是學(xué)生們培養(yǎng)出了一種主動性學(xué)習(xí)的思維，這對于學(xué)生們?nèi)蘸蟮膶W(xué)習(xí)、科研、工作最為重要，主動性思維幫助學(xué)生們發(fā)現(xiàn)新知識、開拓新領(lǐng)域。

三、“教與學(xué)”的啟示

（一）教師的啟示

教師首先要做的是更換教育理念，教育理念是對教育的根本看法，是教學(xué)設(shè)計的靈魂，它直接影響教師對教學(xué)問題的認識和判斷，進而影響教師的教學(xué)行為，最終影響教學(xué)效果?，F(xiàn)代教育理念強調(diào)以人為本，重視受教育者的主體地位，始終“學(xué)”為中心，“教”圍繞“學(xué)”來開展，使學(xué)生由被動接受的客體轉(zhuǎn)型為積極主動的主體，使教育過程真正成為學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過程?，F(xiàn)代教育理念亦注重創(chuàng)造力培養(yǎng)，以啟發(fā)、引導(dǎo)和訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)新能力為基本目標，旨在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。近三十余年來“微積分”課程的教學(xué)與改革，就是要把學(xué)生的主動性培養(yǎng)放在首位，把學(xué)生置于教學(xué)活動中心，努力實現(xiàn)初等數(shù)學(xué)與微積分課程的有效銜接，積極研究新的教與學(xué)方式，著力實踐以教師為引導(dǎo)、以學(xué)生為主體的教學(xué)方法運用，培養(yǎng)學(xué)生的批判精神、探究精神，全方位提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。以柯西中值定理“中間點ξ”漸進性討論為載體，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識、吸納數(shù)學(xué)思想、培養(yǎng)創(chuàng)新精神、增強自主學(xué)習(xí)能力，盡可能改善學(xué)生的“中學(xué)狀態(tài)”，“華麗”轉(zhuǎn)型成“大學(xué)狀態(tài)”。同時，也要增強學(xué)生對挫折的承受力、應(yīng)變力、克服力，為培養(yǎng)學(xué)生的主動學(xué)習(xí)能力做好補充。

在經(jīng)管類大學(xué)中想要將大學(xué)課堂的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)換為學(xué)生的自主性學(xué)習(xí)，在大一這個承上啟下的關(guān)鍵時期，教師就必須熟練掌握自己的教學(xué)技能，在備課時就將本節(jié)“柯西中值定理”需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容進行梳理，不僅僅只是定理的認識，要通過精心的設(shè)計將柯西中值定理中的“中值ξ”漸進性問題插入到教學(xué)環(huán)節(jié)當(dāng)中，引導(dǎo)學(xué)生進行自主思考。比如，在以上定理的證明過程中，教師可以先提出質(zhì)疑，中值該在何處？進一步給出假設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，進一步給出定理一的證明，學(xué)生將進一步發(fā)揮探究性思維獨立思考定理二以及廣義化的定理三，最終得出結(jié)論。