微分中值定理中間點(diǎn)的性質(zhì)研究

陳開(kāi)宇

摘 要：本文研究了拉格朗日中值定理與柯西中值定理的中間點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)輔助函數(shù)的構(gòu)造來(lái)完成對(duì)中間點(diǎn)性質(zhì)的證明，得到了該中值定理中間點(diǎn)存在的一些性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：微分中值；中間點(diǎn)；漸進(jìn)性

微積分中值定理作為高等數(shù)學(xué)十分重要的定理之一，在整個(gè)高數(shù)中占據(jù)著重要的地位。關(guān)于微分中值定理中間點(diǎn)的研究中，其漸進(jìn)性性質(zhì)成為當(dāng)前研究的重點(diǎn)與難點(diǎn)，許多學(xué)者都進(jìn)行了相關(guān)性質(zhì)的分析與探討。關(guān)于微分中值定理漸進(jìn)性的研究中，利用中值定理提出針對(duì)不同函數(shù)的中值定理特性的分析方法，并取得了一定的研究成果。本文以高階微分函數(shù)為研究對(duì)象，對(duì)該函數(shù)進(jìn)行中間點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行分析，并推導(dǎo)出相應(yīng)的結(jié)論。

一、預(yù)備知識(shí)

在微分中值定理中，最為基本的是拉格朗日中值定理，該定理具有很強(qiáng)的代表性，因此對(duì)于N階拉格朗日中值定理來(lái)講，滿足以下條件：

對(duì)于f(x)來(lái)講，其連續(xù)的區(qū)間為[a,b]，在該開(kāi)區(qū)間內(nèi)，該函數(shù)是存在K階可微的，則對(duì)于任意的λ，滿足公式（1）表達(dá)式：

■(-1)KC1Kf(b-■)=f(K)(λ)(■)K……（1）

同時(shí)對(duì)于g(x)來(lái)講，定義其不為零，且在上述開(kāi)區(qū)間內(nèi)是可導(dǎo)的，函數(shù)導(dǎo)數(shù)g（1）（x），g（2）（x），g（3）（x），…，g（n）（x）都是連續(xù)的，對(duì)于任意的λ，滿足公式（2）表達(dá)式：

■=■……（2）

同時(shí)，在上述的基礎(chǔ)上，對(duì)于拉格朗日中值定理還存在以下引理：

引理1：■(-1)KCKn(n-K)n=n!

引理2：■(-1)KCKn(n-K)n+1=■(n+1)!

引理3：■(-1)KCKn(n-K)n+2=■(3n+1)(n+2)

二、微分中值定理中間點(diǎn)的漸進(jìn)性性質(zhì)分析

定理：假設(shè)f（t）與g（t）在區(qū)間[a,x]上是連續(xù)函數(shù)，保證f（x）在其開(kāi)區(qū)間內(nèi)存在n+1次導(dǎo)函數(shù)，而g（x）則為n次導(dǎo)函數(shù)，對(duì)g（x）來(lái)講其每一階導(dǎo)數(shù)值都不等于零。在此條件下，如果滿足f1（a）=f2（a）=……fn（a）=0，而fn+1（a）≠0，假設(shè)F（t）=fn（t）/gn（t）,則滿足的結(jié)果是F1（a）=F2（a）=……Fn-1（a）=0，使得F（t）在a點(diǎn)處是連續(xù)的函數(shù)，在此條件下n階的柯西定理中間點(diǎn)滿足的條件是：

■■=■

其中Bn+1滿足的條件是：Bn+1=■(-1)KCKn(n-K)n+1

證明：構(gòu)造輔助函數(shù)U（x）=

■

對(duì)于上述的f（x）與g（x）來(lái)講，分別采用n階的拉格朗日中值定理與柯西中值定理，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到如下：

U（x）=■

=■=■

上述式子中的參數(shù)ζ與η都是在本文定義的區(qū)間內(nèi)。然后在a點(diǎn)處，通過(guò)泰勒展開(kāi)公式進(jìn)行U（x）與F（x）的分解，得到如下：

F（ζ）=F(a)+1/l!F(1)(ζ1)(ζ1-a)，其中ζ1也是在上述范圍之內(nèi)。

U(x)=n!/l!F(1)(ζ1)g(n)(η)(ζ-a)/(x-a),

■U(x)=1/l!F(1)(a)g(n)(a)■■

然后在上述的條件下，利用羅比塔法則進(jìn)行應(yīng)用與計(jì)算后，得到如下式子：

■U(x)=■{■}

=■{■}

=■{■}

=■{■}

對(duì)于F（1）(ζ2)來(lái)講可以利用泰勒展開(kāi)式進(jìn)行縮減，帶入后得到：

F(x-k/(x-a))=■(-1)KCKn(n-k)n+1F(1)(a)g(n)(a)x（1）/(n+l)!

通過(guò)上述式子的比對(duì)分析可以得到本文所需要證明的上述定理。

推論1：假設(shè)f（m）在區(qū)間[a,m]上是連續(xù)的，且開(kāi)區(qū)間內(nèi)是n階可導(dǎo)的，對(duì)于處于a點(diǎn)處的n階導(dǎo)數(shù)都是零，n+1導(dǎo)數(shù)不為零的條件下，對(duì)于拉格朗日中值定理中間點(diǎn)ζ滿足以下結(jié)論：

■■=1/2

推論2：假設(shè)f(x)滿足條件保證函數(shù)在規(guī)定的區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)，其在K+2階下是可微函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)不為零，在此條件下對(duì)于任意的ζ來(lái)講，其K階的朗格朗日中值點(diǎn)滿足一下性質(zhì)：

l■■=1/2(■)

該推論沒(méi)有上述推論的關(guān)于該n階導(dǎo)數(shù)在a點(diǎn)處的每一個(gè)導(dǎo)數(shù)值相等都等于零的條件，條件比較寬泛。

總之，微分中值定理在高等數(shù)學(xué)的計(jì)算與應(yīng)用過(guò)程中占據(jù)著重要的地位。為了研究微分中值定理的中間點(diǎn)的漸進(jìn)性，為了更好地對(duì)定理進(jìn)行范圍的擴(kuò)展，通過(guò)構(gòu)造不同的輔助函數(shù)對(duì)每一個(gè)定理進(jìn)行推斷，結(jié)合最基本的微分中值定理的內(nèi)容，能使計(jì)算更加便捷。

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