從研究習(xí)題入手探究初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性

摘?要：如何提高初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性，是擺在數(shù)學(xué)教育工作者的一個長期并要始終探索的問題，方法方式多樣，因人而異，但今天筆者想探討的一個問題，是從研究習(xí)題入手，通過課本習(xí)題的研究，并通過變式、拓展以期達(dá)到舉一反三，觸類旁通，對初中學(xué)生的數(shù)學(xué)課堂有效學(xué)習(xí)起到一定的幫助。

關(guān)鍵詞：變式;拓展;研究;初中數(shù)學(xué)

筆者想舉兩個例子，通過例題的反復(fù)研究，揣摩，分析題目的出題意圖，進(jìn)一步通過有效的變式，并拓展得到相關(guān)結(jié)論。這樣從例題變式的視角展開教學(xué)活動，正確處理例題的變式、拓展與課堂教學(xué)的關(guān)系，才能讓教師的教與學(xué)生的學(xué)產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。例題變式教學(xué)已經(jīng)成為初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的一個風(fēng)向標(biāo)，進(jìn)而提高初中學(xué)生課堂的效率。

這是本校周練的一個習(xí)題：例題1：已知：如圖1，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作BD的平行線，過點(diǎn)D作AC的平行線，兩線相交于點(diǎn)P。求證：四邊形CODP是菱形。

解析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD的矩形，所以O(shè)D=OC。因?yàn)镺D∥CP，PD∥OC，所以四邊形OCPD是平行四邊形，因?yàn)镺D=OC，所以四邊形OCPD為菱形。

點(diǎn)撥與提升：解答時，要牢牢把握三個重要因素，一是起點(diǎn)四邊形的形狀與性質(zhì)特點(diǎn)：二是把已知與結(jié)論建立起來的條件，三是結(jié)論四邊形的判定方法。解答時，要立足結(jié)論，合理選擇，科學(xué)梳理，規(guī)范推理，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。

解答完畢，靜心思忖，若是將已知與結(jié)論對換，成立嗎？于是得到一種新思考。具體如下：

變式1：已知：如圖2，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作BD的平行線，過點(diǎn)D作AC的平行線，兩線相交于點(diǎn)P。求證：四邊形OCPD是矩形。

分析：菱形的對角線互相垂直為矩形的證明提供了直角。

提升：解答時，基本思路是平行線構(gòu)筑四邊形是平行四邊形;菱形的對角線互相垂直，為結(jié)論提供直角，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。

若是將基礎(chǔ)四邊形更改為正方形會有什么結(jié)論產(chǎn)生呢：于是得到第二個變式。

變式2：已知：如圖3，在正方形ABCD中，過點(diǎn)C作BD的平行線，過點(diǎn)D作AC的平行線，兩線相交于點(diǎn)P。求證：四邊形OCPD是正方形。

分析：正方形的對角線互相垂直，平分且相等是證明結(jié)論的根本依據(jù)。

點(diǎn)撥與提升：解答時，基本思路是平行線構(gòu)筑四邊形是平行四邊形;正方形的對角線互相垂直，升級四邊形為矩形，利用正方形的對角線相等，平分，最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。

剛才從基礎(chǔ)四邊形的更換中生成了兩種不同問題的變式，鍛煉了自身的創(chuàng)新思維，當(dāng)圖形一定時，兩個圖形之間還有其他的聯(lián)系嗎？如何建立起聯(lián)系？有怎樣的聯(lián)系呢？帶著這諸多疑問，一起走進(jìn)問題的拓展思考，繼續(xù)探究。

拓展一：兩個圖形的周長之間的關(guān)系

拓展1：已知：如圖1，在矩形ABCD中，在正方形ABCD中，過點(diǎn)C作BD的平行線，過點(diǎn)D作AC的平行線，兩線相交于點(diǎn)P。則四邊形OCPD的周長是AC+BD。

拓展2：已知：如圖2，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作BD的平行線，過點(diǎn)D作AC的平行線，兩線相交于點(diǎn)P。則四邊形OCPD的周長是AC+BD。

拓展3：已知：如圖3，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作BD的平行線，過點(diǎn)D作AC的平行線，兩線相交于點(diǎn)P，則四邊形OCPD的周長是AC+BD。

拓展二：兩個圖形的面積之間的關(guān)系

拓展1：已知：如圖1，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作BD的平行線，過點(diǎn)D作AC的平行線，兩線相交于點(diǎn)P。設(shè)四邊形OCPD的面積為S1，矩形ABCD的面積為S2，則S1∶S2=1∶2。

拓展2：已知：如圖2，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作BD的平行線，過點(diǎn)D作AC的平行線，兩線相交于點(diǎn)P。設(shè)四邊形OCPD的面積為S1，菱形ABCD的面積為S2，求證S1∶S2=1∶2。

拓展3：已知：如圖3，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作BD的平行線，過點(diǎn)D作AC的平行線，兩線相交于點(diǎn)P。設(shè)四邊形OCPD的面積為S1，正方形ABCD的面積為S2，求證S1∶S2=1∶2。

點(diǎn)評：此題可得到如下結(jié)論：

已知：矩形或菱形或正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作BD的平行線，過點(diǎn)D作AC的平行線，兩線相交于點(diǎn)P。則四邊形OCPD的面積是四邊形ABCD的面積的一半。

第2題是本?！?019屆初三最后一試”的一個例題：例2：如圖拋物線y=ax2-x-4（a>0）與直線y=-2x+2交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)，且位于直線AB的下方，PQ平行于y軸，交AB于Q，AM⊥PQ于點(diǎn)M，BN⊥PQ于點(diǎn)N，且PQ=AM·BN。若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)△APB面積最大時，求t的值，并求出這個最大面積。

思路：

01常規(guī)方法：題目給兩個函數(shù)，其中二次函數(shù)開口向上，且過定點(diǎn)（0，-4）;而一次函數(shù)是確定的函數(shù)，從條件出發(fā)無論是從形還是判別式都可以判定它們一定有兩個交點(diǎn)，且推得這兩個交點(diǎn)之間的距離由參數(shù)a決定，而P為拋物線上的一個點(diǎn)，兩個函數(shù)之間的關(guān)系可以用這個P點(diǎn)建立聯(lián)系。從而明白題意中若沒有對點(diǎn)P坐標(biāo)加以設(shè)置，也應(yīng)該明白在解決過程中有必要引入點(diǎn)P的坐標(biāo)來表示其他關(guān)系。這應(yīng)是本題入題的思路。接下來則思考如何將線段、面積用坐標(biāo)表示出來，實(shí)現(xiàn)形的問題用數(shù)來處理。再由題意告知的面積的最大值，自然轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題處理。由于本題中△APB是不規(guī)則的三角形，在坐標(biāo)系中我們經(jīng)?！案男皻w正”，將一個斜三角形分解成兩個直三角形。另外本題涉及字母的運(yùn)算，在解題過程中學(xué)會整體替換或應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系使計算量得到有效的縮減。

02構(gòu)造法：通過對條件PQ=AM·BN的利用和計算后發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)a=1，拋物線與直線皆為定函數(shù)，求出其交點(diǎn)，而三角形一邊固定，只要找出固定范圍中二次函數(shù)上與AB距離最大的點(diǎn)，即可求出最大值，利用直線平移構(gòu)造出新直線與拋物線“相切”時，找到這個點(diǎn)，從而知道t的值，再把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)求出來，化動為靜，使問題得以解決。

注：對于最值問題：如面積最值，線段最值等都是通過對關(guān)鍵點(diǎn)位置坐標(biāo)的設(shè)定，引入主動量后，將形的最值問題轉(zhuǎn)化為數(shù)（函數(shù)的最值）的問題來解決。解決的路徑如下：①根據(jù)已知條件求出對應(yīng)的待定系數(shù)的值或代數(shù)式;②關(guān)注變量的取值范圍及對應(yīng)函數(shù)的增減性;③利用配方法或頂點(diǎn)式的求法求出函數(shù)的最值。

總評：從上述兩道例題及其變式題、拓展題中得出：無論是圖形變化還是題目條件的改變或是改變參數(shù)，幾何方面要關(guān)注基本圖形及其基本圖形結(jié)論。善于從復(fù)雜圖形中找出基本圖形，找出解題思路;代數(shù)方面：研究函數(shù)與研究幾何一樣，通過觀察圖像特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)圖像可能運(yùn)動的途徑是發(fā)現(xiàn)它們特性的一般思路。而圖像運(yùn)動的途徑由函數(shù)的參數(shù)決定，故而關(guān)注參數(shù)是解決函數(shù)問題的首要策略。關(guān)注參數(shù)后，想辦法消參或求出參數(shù)的范圍。

因此通過上面兩個例題，可以看出，初中數(shù)學(xué)課堂在習(xí)題教學(xué)上的研究至關(guān)重要。它是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。在習(xí)題教學(xué)中可通過改變題目的條件，改變題目的背景，探究題目的一般結(jié)論，類比探究同類問題等形式，引導(dǎo)學(xué)生對習(xí)題進(jìn)行多角度的探索。課本習(xí)題往往蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)涵，教師應(yīng)充分運(yùn)用習(xí)題的各種變式與拓展，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力，從而提高數(shù)學(xué)課堂的效率。并且要關(guān)注學(xué)法，讓學(xué)生理解一些結(jié)論的獲得過程，并學(xué)會正遷移，如根系關(guān)系就是求根公式的靈活運(yùn)用。讓學(xué)生掌握算理的同時，明確運(yùn)算的方向，從而培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算求解的能力，并會舉一反三、觸類旁通。

作者簡介：

王偉，福建省泉州市，福建省惠安第一中學(xué)。