非線性中立型分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性

勾明志，付 洋，蔡克珍

（安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽安慶246133）

早在十七世紀(jì)七十年代Leibniz就提出了微分方程的概念，其應(yīng)用非常廣泛。分?jǐn)?shù)階微積分[1-4]的誕生最早可以追溯到創(chuàng)立微積分的時代。它與整數(shù)階微積分是統(tǒng)一的，并且是整數(shù)階微積分的推廣，具有遺傳與記憶的效應(yīng)。如今，分?jǐn)?shù)階作為描述物理及相關(guān)學(xué)科理論的工具已被接受。分?jǐn)?shù)階與微分方程二者的結(jié)合是有重要意義的，它們的結(jié)合便有了更廣泛的應(yīng)用空間。文獻(xiàn)[5-8]討論了下列非線性常微分方程解的存在性

本文對方程（1）進(jìn)行推廣，討論非線性中立型微分方程解的存在性問題，即

和初值問題x( 0 )=x0，其中，x(t)是在區(qū)間[ 0 ,b]上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)。當(dāng)方程（1）利用Lipschitz條件時，只用到一個Lipschitz 常數(shù)，即 |f(t,y1)-f(t,y2)|≤k1|y1-y2|,k1∈ ?+，而方程（2）要用到具有兩個常數(shù)的Lipschitz條件 ，即 |f(t,y1,z1)-f(t,y2,z2)|≤k1|y1-y2|+k2|z1-z2|,k1,k2∈?+。當(dāng)方程（2）用到Picard逐次逼近時，隨著逼近的次數(shù)越多，分裂的項(xiàng)也就越多，逼近到n次的時候就分裂成了n項(xiàng)。這時再用牛頓二項(xiàng)式定理，將n項(xiàng)進(jìn)行放大，然后再判別無窮級數(shù)的斂散性。與方程（1）不同的是，方程（1）只用到一個常數(shù)的Lipschitz條件，無論逼近多少次分裂的項(xiàng)始終是一項(xiàng)。

1 預(yù)備知識

下面介紹分?jǐn)?shù)階微積分中的定義、性質(zhì)和引理。

定義1[1]設(shè)f∈C([ 0 ,+∞ ),? ),t≥ 0,對 ?α∈ ?+，稱為f(t)的α階分?jǐn)?shù)積分，其中Γ(?)為Gamma函數(shù)。

定義2[2]設(shè)f∈C([ 0 ,+∞ ),? ),t≥ 0,?α∈ (0,1)，稱的α階Caputo型分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)。

性質(zhì)1[3]分?jǐn)?shù)階積分算子滿足如下線性關(guān)系

性質(zhì)2[3]分?jǐn)?shù)階積分算子滿足合成復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)。

引理1[10]對于（2）式和滿足初值的積分等價方程為

條件（H） 對于函數(shù)f(t,y,z)滿足Lipschitz條件可表示為

其中k1,k2稱為Lipschitz常數(shù)。

2 主要結(jié)果

利用Picard逐次逼近法獲得滿足初值問題的微分方程（2）解的存在性結(jié)果。

定理1若滿足初值問題的常微分方程（2）滿足條件（H），（i）當(dāng)b≤ 1時，且滿足，則方程有解；（ii）當(dāng)b＞ 1時，且滿足時，則方程有解。

證明根據(jù)引理構(gòu)造如下Picard逐次逼近函數(shù)列。取，

即

為了得到結(jié)果，需要考慮函數(shù)列x(n)的斂散性，首先，把x(n)作如下分解，

存在正實(shí)數(shù)M，使得成立，可得

以此類推可得

接下來分兩種情況討論。

（i）當(dāng)b≤ 1 時，由（4）式可得根據(jù) D,Alembert判別法可得：

接下來討論第二種情況。

（ii）當(dāng)b＞ 1 時，由（4）式可得根據(jù)D,Alembert判別法可得

當(dāng)對（5）式采取不同方法縮放時，得到的結(jié)果也不同，接下來的定理是對（5）式采取不同的處理方法得到的結(jié)果。

定理2若滿足初值條件的方程（2）滿足條件（H），且則方程（2）有解。

證明由（5）式，得

其中t∈ [ 0 ,b],n=1,2,…。對于α＞ 0，存在唯一α0∈ (1 ,2 )使得Γ(nα)＞ Γ[(n-1)α]＞ Γ(α0)，其中nα＞ (n-1)α＞α0，可得

用D,Alembert判別法可得

接下來證明解的唯一性。設(shè)滿足條件（H），φ(t)和φ(t)是方程（2）在t∈ [ 0 ,b]上的兩個解。由（3）式可得

根據(jù)D,Alembert 判別法可得：當(dāng)時 ，級 數(shù)收 斂 ，即故方程具有唯一解。用同樣的方法也可以證明定理1有唯一解。

3 應(yīng)用舉例

下面通過舉例來說明定理的適用性。

其中x(t)＞0且導(dǎo)數(shù)連續(xù)。

4 總 結(jié)

本文巧妙地運(yùn)用了二項(xiàng)式定理討論了一類中立型分?jǐn)?shù)階常微分方程初值問題解的存在性，從而將復(fù)雜的公式簡便化。文章雖然對一些已有結(jié)果進(jìn)行了推廣，但不足之處是此類微分方程并不含有時滯項(xiàng)，所以本文還可以推廣到含有時滯的微分方程中去。