物體在地球隧道中的運(yùn)動(dòng)

吳岱宗 劉玉穎

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué) 1工學(xué)院； 2理學(xué)院，北京 100083)

圖1 地球隧道示意圖

地球隧道，顧名思義，是指一條穿行于地球內(nèi)部的隧道(如圖1所示)?！凹傧朐诘厍騼?nèi)部鉆一隧道通過地心到達(dá)地球另一側(cè)，試分析物體距地心為r時(shí)物體所受到的引力，若物體掉入洞中，且假設(shè)沒有摩擦力，該物體將做何種運(yùn)動(dòng)？該物體從一側(cè)到達(dá)另一側(cè)的時(shí)間為多長呢？”[1]。 本文從一道習(xí)題出發(fā)，進(jìn)行以下探究。 首先，如果認(rèn)為地球是一個(gè)勻質(zhì)球體，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)在地球內(nèi)部的受力情況，證明了物體在地球隧道中的運(yùn)動(dòng)是簡諧振動(dòng)。 由簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，得出物體的運(yùn)動(dòng)周期和最大運(yùn)動(dòng)速度。 基于物體沿著直徑隧道的往返運(yùn)動(dòng)，我們又?jǐn)U展到若物體在通過一條弦線的隧道時(shí)，運(yùn)動(dòng)周期有無變化？本文對此進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)。 真實(shí)的地球并不是勻質(zhì)球體，根據(jù)地質(zhì)測量數(shù)據(jù)，本文中，我們重新建立地球模型探究物體在隧道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況，得出了物體運(yùn)動(dòng)周期和最大運(yùn)動(dòng)速度與理想情況下存在差異。通過Matlab繪制運(yùn)動(dòng)圖像直觀地比較了物體在兩個(gè)模型中的運(yùn)動(dòng)情況。

1 地球重力分布

先討論較為簡單的理想情況，即：設(shè)定地球是一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體。

牛頓在其著作《自然科學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中是這樣論述地球外部的重力的：在地球外部，物體所受的地球重力符合萬有引力定律[2]，即

(1)

其中，G是萬有引力常量，G=(6.674×10-11±0.003)N·m2/kg2[3]；M表示地球的質(zhì)量；m代表所研究物體的質(zhì)量；r是物體與地球球心之間的距離?？梢宰C明：理想情況下，質(zhì)點(diǎn)在地球外部受到的重力(或萬有引力)指向球心，計(jì)算大小時(shí)可以認(rèn)為地球的質(zhì)量集中于球心，且質(zhì)點(diǎn)受到的重力大小F與它到地球球心的距離r的平方成反比。

對于地球內(nèi)部重力的分布，在《自然科學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中，牛頓指出：在質(zhì)量分布均勻的球殼內(nèi)部，該球殼對任意一點(diǎn)的萬有引力合力為零[2]。 換言之，地球內(nèi)部一點(diǎn)受到的萬有引力僅來自于該點(diǎn)與球心之間的部分，而與外部無關(guān)。

可以看出，地球內(nèi)部重力分布與地球外部的重力有所不同。 當(dāng)物體位于距地球球心r處時(shí)，參照式(1)，可以得到物體受到的萬有引力公式：

(2)

其中，G是萬有引力常量；M內(nèi)部表示該點(diǎn)與球心之間的球體的質(zhì)量；m代表所研究物體的質(zhì)量；r是物體與地球球心之間的距離；ρ是地球的密度。 進(jìn)而地球內(nèi)部的重力加速度

(3)

通過該公式發(fā)現(xiàn)物體在地球內(nèi)部受到的萬有引力也指向球心，但是大小與物體與球心的距離r成正比例關(guān)系。

根據(jù)以上描述，可以得到地球重力加速度隨著距地心距離的分布情況(如圖2所示)。

圖2 地球重力加速度分布圖

地球隧道最早于1864年由法國作家儒勒·凡爾納提出，在他的科幻小說《地心游記》中，他設(shè)想出的一條假想隧道，通過該隧道，人們可以通過該隧道直通地球的彼岸，并在沿途欣賞到地心的美景。 雖然依靠現(xiàn)有的科學(xué)技術(shù)，暫時(shí)還無法克服地心7000℃的高溫和強(qiáng)大的地心壓力，地球隧道在短期內(nèi)還無法實(shí)現(xiàn)，但是地球隧道卻不失為研究簡諧振動(dòng)的一個(gè)經(jīng)典模型。

那么地球隧道又是如何與簡諧振動(dòng)聯(lián)系起來的呢？

2 物體在地球隧道中作簡諧振動(dòng)

首先，在不考慮地球自轉(zhuǎn)，認(rèn)為地球是一個(gè)球體且質(zhì)量分布均勻、其內(nèi)部無摩擦的情況下，物體在地球隧道中運(yùn)動(dòng)時(shí)符合簡諧振動(dòng)的特點(diǎn)。 根據(jù)前文對于地球重力分布的描述，我們已經(jīng)得到了地球內(nèi)部萬有引力公式

(4)

如果考慮F和r的方向，我們得到

(5)

其中r的方向沿徑向向外。

由于G，ρ，m均為常數(shù)，我們令

(6)

則

F=-kr

(7)

其中k是常數(shù)。 顯然，當(dāng)物體在地球內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體受到的萬有引力符合簡諧振動(dòng)回復(fù)力的特征，所以得出結(jié)論：物體在地球內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)是作簡諧振動(dòng)的。

3 物體在地球隧道中的運(yùn)動(dòng)情況

3.1 物體的運(yùn)動(dòng)周期

在得出地球隧道中的物體是在作簡諧振動(dòng)后，通過計(jì)算可以得出該物體運(yùn)動(dòng)的很多性質(zhì)，其中最重要也是人們關(guān)注最多的是物體從地球的一端到達(dá)另一端所需的時(shí)間。 對于一般的簡諧振動(dòng)，物體的運(yùn)動(dòng)周期

(8)

(9)

其中G=(6.674×10-11±0.003)N·m2/kg2，ρ=(5.514±0.001)×103kg/m3[4]。 經(jīng)過計(jì)算，物體運(yùn)動(dòng)的周期T=5060.7±0.6s=84.3±0.1min，即物體從地球的一端到另一端單程的時(shí)間約為42.2min。

圖3 衛(wèi)星的受力分析

3.2 物體在球心處的運(yùn)動(dòng)速度

根據(jù)簡諧振動(dòng)的速度公式

v=-ωAsin(ωt+φ)

(10)

其中，A表示簡諧振動(dòng)的振幅;φ是初相。 可以得到，最大速度

vmax=ωA

(11)

根據(jù)ω的定義，

(12)

把式(12)代入式(11)。 同時(shí)，振幅A取地球半徑R=(6.371±0.015)×103km[4]，得

(13)

也就是說，在地球隧道中運(yùn)動(dòng)的物體，在球心處的速度能達(dá)到7.91km/s。

這個(gè)速度與平時(shí)我們知道的第一宇宙速度非常接近，它們之間是否有聯(lián)系呢？

4 簡諧振動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)

第一宇宙速度是近地衛(wèi)星環(huán)繞地球的速度。 在地球表面之外，衛(wèi)星只受到地球?qū)λ娜f有引力作用，這個(gè)力充當(dāng)衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)所需的向心力。 對衛(wèi)星進(jìn)行受力分析，如圖3所示。 衛(wèi)星受到的萬有引力指向圓心，處于任意位置的衛(wèi)星與豎直方向的夾角為θ。 對加速度a沿水平和豎直方向分解，得到ax和ay。

我們關(guān)心的是衛(wèi)星沿豎直方向的加速度ay。 容易得出，衛(wèi)星沿豎直方向的加速度ay與一般的簡諧振動(dòng)加速度表達(dá)式具有相同的形式，也就是說衛(wèi)星在近地面環(huán)繞地球的過程中在豎直y方向上是作簡諧振動(dòng)的。

根據(jù)向心加速度a的表達(dá)式，可以得到近地衛(wèi)星環(huán)繞地球的速度v。

(17)

此時(shí)的r和A均是地球的半徑R。

可以算出

(18)

計(jì)算過程中，地球質(zhì)量M=(5.9723±0.013)×1024kg[4]，地球半徑R=(6.371±0.015)×103km。

根據(jù)公式(11)，有

v=ωA=(7.91±0.05)km/s

(19)

所以，我們的結(jié)論是近地衛(wèi)星環(huán)繞地球的運(yùn)動(dòng)在豎直方向上的投影就是在該方向上地球隧道中的簡諧振動(dòng)。

5 物體運(yùn)動(dòng)軌跡不通過圓心時(shí)的運(yùn)動(dòng)分析

如果隧道不通過地球球心(運(yùn)動(dòng)路徑為任意一段弦)，物體是否還作簡諧運(yùn)動(dòng)呢？如果是，它運(yùn)動(dòng)的周期又是多少呢？

圖4 地球隧道不通過地球球心

如圖4所示，物體在任意一條弦上運(yùn)動(dòng)。 它從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置P時(shí)，如果設(shè)M′為該點(diǎn)與地心之間球殼(圖中陰影部分)的質(zhì)量，則它受到的萬有引力大小為

(20)

方向指向球心。 它的表達(dá)公式與穿過球心的力的表達(dá)公式類似，只是此時(shí)它受到的回復(fù)力不再沿著軌道方向，而是指向球心。 接下來研究F沿軌道方向的分力Fx。 經(jīng)過計(jì)算，

(21)

由Fx的表達(dá)式，可以得出當(dāng)物體在地球隧道內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如果該隧道不通過地心，而是一段連接地球表面兩點(diǎn)的弦線中運(yùn)動(dòng)時(shí)，它作的還是簡諧運(yùn)動(dòng)，且受力情況與通過地心時(shí)相同，因?yàn)樗鼈兊膋是相等的。 由于k相等，所以周期T也是相等的。 也就是說，質(zhì)點(diǎn)通過地球內(nèi)部任何一條路徑到達(dá)地球的另一側(cè)，所需的時(shí)間都是42.17min(理想情況)，而與它通過的路徑長短無關(guān)。

6 非理想情況下的地球隧道

我們知道，地球?qū)嶋H上是一個(gè)質(zhì)量分布不均勻的球體，地球內(nèi)部的重力加速度隨深度的增加并不是線性減少的。 那么地球內(nèi)部的重力加速度在真實(shí)情況下是如何變化的？

地球的內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以分為地殼、地幔和地核。 李安生[6]和Bullen[7]均在各自的文章中記錄了地球特殊位置的重力加速度，其中李安生的數(shù)據(jù)與Bullen的B2模型所得的數(shù)據(jù)重合度很高。 本文采用的數(shù)據(jù)主要來源于二者的文獻(xiàn)，經(jīng)整理后匯總在表1中。 從表1可以看出，地殼、地幔的密度比地核的密度小很多，大部分的地球質(zhì)量都集中在內(nèi)層的地核處，這對我們計(jì)算地球隧道的屬性產(chǎn)生了很大影響。 正是因?yàn)榈厍蛸|(zhì)量分布的不均勻，導(dǎo)致地球內(nèi)部的重力加速度變化不均勻。

表1 地球的密度分布和重力加速度分布[6,7]

續(xù)表

*注：h指距離地表的距離，即深度。

如表1和圖5所示，在地殼、地幔處，隨著深度的增加，重力加速度幾乎不發(fā)生改變，甚至出現(xiàn)重力加速度增大的反?，F(xiàn)象。 這是由于地核擁有的質(zhì)量遠(yuǎn)大于地殼、地幔的質(zhì)量，從一定程度上補(bǔ)償了由于深度增加地殼、地幔對重力加速度減小的作用。

圖5 地球內(nèi)部實(shí)際密度ρ和重力加速度g隨深度h變化圖[6, 7]

通過上述分析，有必要重新對地球模型進(jìn)行建模和對物體在地球隧道中的運(yùn)動(dòng)周期進(jìn)行計(jì)算。

根據(jù)圖5所示的重力加速度隨深度增加的變化圖，我們重新定義重力加速度在地球內(nèi)部的變化規(guī)律。 以幔核界面為界，將物體的運(yùn)動(dòng)分為兩個(gè)階段。

階段1(0～2898km)：由表1數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，重力加速度g在該階段變化不大，我們認(rèn)為物體在0～33km、33～413km、413～984km、984～2000km和2000～2898km所受重力加速度不發(fā)生改變，即物體在各階段均作勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度分別為(9.85±0.01)m·s-2、(9.96±0.04)m·s-2、(9.97±0.03)m·s-2、(10.01±0.02)m·s-2和(10.73±0.03)m·s-2。

根據(jù)勻加速運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，可以得到各階段物體的末速度v和所用的時(shí)間t。 將數(shù)據(jù)匯總在表2中。

表2 階段I物體的速度和所用時(shí)間

根據(jù)表2的數(shù)據(jù)，可以求得物體在階段Ⅰ所用的總時(shí)間t1=(762.4±2.2)s，階段Ⅰ最終的末速度v1=(7695±34)m/s。

階段2：為了更直觀地研究階段2物體的運(yùn)動(dòng)情況，假設(shè)x為物體所在位置距地心的距離，對表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

把表3中的數(shù)據(jù)畫在同一坐標(biāo)系下，發(fā)現(xiàn)g與x的圖像與一次函數(shù)接近，遂用Matlab對表3的數(shù)據(jù)進(jìn)行一次函數(shù)擬合。 得到如圖6所示圖形。

表3 階段2重力加速度g與x的變化關(guān)系

圖6 階段II重力加速度g與x的擬合曲線

根據(jù)Matlab提供的擬合數(shù)據(jù)，考慮到物體所受萬有引力方向與物體運(yùn)動(dòng)方向相反，可以得到x的二階導(dǎo)數(shù)x″關(guān)于x的表達(dá)式

x″=(-3.094×10-6)·x

(22)

這是一個(gè)二階常系數(shù)微分方程，我們采用特征根法對其進(jìn)行求解。

把上述方程變化為

x″+(3.094×10-6)·x=0

(23)

其特征方程為

λ2+3.094×10-6=0

(24)

即方程有特征根λ=±1.759×10-3i,且兩個(gè)特征根都是單根。 由此，可以得到方程的兩個(gè)實(shí)值解

cos(1.759×10-3)t, sin(1.759×10-3)t

故通解為

x=c1cos(1.759×10-3)t+c2sin(1.759×10-3)t

(25)

根據(jù)初值條件，當(dāng)t=0時(shí)，x=3473km，v=(7695±34)m/s，可以求出通解中的常數(shù)c1和c2

(26)

如果在計(jì)算中考慮誤差，那么

通過上述計(jì)算，得到了第二階段位移x隨時(shí)間t的方程

(27)

現(xiàn)在，只需要令x=0，就可以求出物體在地核中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2。

(28)

在得到t1和t2后，就可以求得在更精確的模型下物體通過地球隧道到達(dá)地球另一邊所需要的時(shí)間t。

(29)

可以看出，在地球密度不均勻的模型下，物體在地球隧道中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間比理想模型要短近4分鐘的時(shí)間。

7 誤差分析

對于本文中涉及的計(jì)算，特別是第6節(jié)非理想條件下物體的運(yùn)動(dòng)的計(jì)算，是存在誤差的。

首先，萬有引力常數(shù)G的引用存在誤差。 在Mohr等人的文章[3]中，來自3個(gè)不同來源的萬有引力常數(shù)被摘錄，其中G的取值在小數(shù)點(diǎn)后第三位開始存在較大差異，最大誤差為0.05%。

其次，對于地球內(nèi)部的重力加速度數(shù)據(jù)，雖然李安生和Bullen的B2模型所得的數(shù)據(jù)重合度很高，但是在某些位置，如距地表5120km處，兩者的誤差可達(dá)近0.7%。 綜合其他位置，兩者平均的誤差在0.4%左右。

最后，在第6節(jié)的計(jì)算中，不管是在地殼、地幔層(階段1)對各層次加速度恒定的假設(shè)，還是在地核層(階段2)對恒定加速度的擬合，都會(huì)對最后的結(jié)果產(chǎn)生誤差。 例如，如果能繼續(xù)將階段1繼續(xù)細(xì)分，那么得到的計(jì)算結(jié)果一定會(huì)比本文中涉及的計(jì)算更加精確。 讀者可根據(jù)Bullen的數(shù)據(jù)將階段1進(jìn)一步細(xì)化，獲得更精確的結(jié)果。

綜上所述，雖然本文中的計(jì)算存在誤差，但是我們認(rèn)為本文中的誤差仍在可接受范圍內(nèi)。

8 理想與非理想模型的圖像對比

在經(jīng)過上述計(jì)算之后，我們使用Matlab模擬在兩個(gè)模型下得到的地球隧道模型的v-t圖，結(jié)論會(huì)更加直觀。

如圖7所示，利用Matlab畫出兩個(gè)模型的v-t圖。 通過圖7可以更加直觀地得到理想模型和非理想模型的差別。物體在非理想模型中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間更短，在地心處達(dá)到的速度也更快。

圖7 理想模型與非理想模型的v-t圖

9 地球隧道在設(shè)計(jì)過程中遇到的困難

事實(shí)上，在設(shè)計(jì)地球隧道的過程中，我們不僅要考慮地球質(zhì)量分布不均勻?qū)Φ厍蛩淼涝O(shè)計(jì)帶來的影響，還要考慮諸如地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的地轉(zhuǎn)偏向力對物體運(yùn)動(dòng)軌跡的影響、隧道中空氣對物體的影響和隧道內(nèi)壁對物體產(chǎn)生的摩擦的影響等因素。

首先,考慮地轉(zhuǎn)偏向力。 地轉(zhuǎn)偏向力，又稱科里奧利力，是地球自轉(zhuǎn)引起的一種慣性力，它的方向始終與在地球上(包括內(nèi)部)運(yùn)動(dòng)的物體方向垂直，即不改變物體的運(yùn)動(dòng)速率，但會(huì)改變物體的運(yùn)動(dòng)方向。 當(dāng)物體在地球隧道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體會(huì)因?yàn)槭艿娇评飱W利力的作用速度方向不再指向圓心，從而撞上隧道的內(nèi)壁，產(chǎn)生動(dòng)能損耗。 出現(xiàn)動(dòng)能的損耗就意味著物體不能夠到達(dá)地球的另一端。 可能的解決方法是將隧道內(nèi)加一磁場，把所運(yùn)輸?shù)奈矬w放在一個(gè)磁性材料制成的“電梯”中，通過計(jì)算機(jī)調(diào)節(jié)磁場的大小和方向，起到實(shí)時(shí)糾正物體的運(yùn)動(dòng)軌跡的作用，防止物體出現(xiàn)碰撞隧道內(nèi)壁的情況。

其次，隧道內(nèi)的真空條件是必不可少的。物體在隧道內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度最快能達(dá)到7.9km/s，在非理想模型中能達(dá)到近10km/s的高速，即便是稀薄的空氣也會(huì)因?yàn)槲矬w與之摩擦而產(chǎn)生大量的熱。 如果認(rèn)為地球是一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體，考慮空氣阻力，那么這就是“阻尼振動(dòng)”模型。 根據(jù)“阻尼振動(dòng)”的性質(zhì)[8]，物體振動(dòng)的最大偏移量隨著時(shí)間不斷減少。 這意味著物體在這個(gè)模型中運(yùn)動(dòng)時(shí)是不可能達(dá)到地球另一端的同等高度的，且最后物體會(huì)在不斷發(fā)生的能量損耗中停在地球球心處。

再次，地球核心的溫度高達(dá)7000℃，目前世界上最耐熱的材料碳化鉭鉿合金(Ta4HfC5)的熔點(diǎn)僅有4215℃。 可以說，就目前人類掌握的材料學(xué)知識(shí)而言，沒有材料能經(jīng)受住地球核心7000℃的高溫。 但是，在不久的將來，材料學(xué)家可能就會(huì)發(fā)現(xiàn)能夠滿足地球隧道要求的新型材料。

最后，地球的結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，地殼、地幔和地核都可以繼續(xù)細(xì)分，且地球內(nèi)部多為液態(tài)圈層或液態(tài)—固態(tài)混合圈層，流動(dòng)性強(qiáng)，穩(wěn)定性不足。 如果在地球表面向下挖一個(gè)貫穿地球核心的隧道，需要時(shí)刻留意地球各圈層的移動(dòng)對隧道結(jié)構(gòu)造成的破壞。 這其實(shí)也是在考驗(yàn)建造地球隧道的材料的物理性質(zhì)。

綜上分析，尋找能夠經(jīng)受住地核高溫和抵抗強(qiáng)大地球內(nèi)部擠壓的材料已經(jīng)成為建造地球隧道的首要難題。

10 結(jié)論

本文詳細(xì)論述了地球內(nèi)部和外部重力分布的特點(diǎn)，分析了物體在地球內(nèi)部隧道中的運(yùn)動(dòng)，證明了物體在過地心的地球隧道內(nèi)部做簡諧振動(dòng)，計(jì)算出物體在地球隧道(過地心的直徑)中的運(yùn)動(dòng)周期約為42min、運(yùn)動(dòng)最大速度約為7.9km/s等。 本文討論連接地球表面的任意兩點(diǎn)的通過地球內(nèi)部的一條弦線中的物體的運(yùn)動(dòng)，得出了與過地心的地球直徑隧道周期相同。 我們比較了地球?yàn)閯蛸|(zhì)球體的理想情況和真實(shí)質(zhì)量分布情況下的物體在隧道內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，使用Matlab對兩個(gè)模型下物體的運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行模擬，并得出：在真實(shí)地球模型下物體運(yùn)動(dòng)得更快，到達(dá)地球另一端的時(shí)間更短，只需38min。