含板類柔性附件的充液航天器動(dòng)力學(xué)研究

閆玉龍，申云峰，岳寶增

(1. 太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院， 太原 030024； 2. 鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院信息工程學(xué)院， 鄭州 451150； 3. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院， 北京 100081)

0 引 言

隨著現(xiàn)代航天事業(yè)的快速發(fā)展，航天器需要裝配柔性附件和一定數(shù)量的液體推進(jìn)劑以完成復(fù)雜的航天任務(wù)。例如，為實(shí)現(xiàn)航天器的長期在軌運(yùn)行，航天器通常安裝大型的太陽能帆板以提供必要的能量來源。因此，板類柔性附件是航天器系統(tǒng)的重要組成部分。航天器在軌過程中柔性附件會(huì)不可避免地產(chǎn)生彈性振動(dòng)，對航天器的姿態(tài)和軌道造成嚴(yán)重的影響。此外，在軌航天器往往處于微重力狀態(tài)，在該種情況下表面張力對液體推進(jìn)劑的動(dòng)力學(xué)行為起著不可忽略的影響，毛細(xì)效應(yīng)使得儲(chǔ)腔液體靜液面發(fā)生大幅彎曲呈現(xiàn)新月形[1-3]。同時(shí)，微重力環(huán)境使得液體晃動(dòng)的固有頻率顯著降低，與柔性附件的振動(dòng)頻率相接近，容易產(chǎn)生共振現(xiàn)象，對航天器的動(dòng)力學(xué)行為造成顯著影響。因此，對含有板類柔性附件的充液航天器動(dòng)力學(xué)研究具有十分重要的理論意義和工程價(jià)值。

在儲(chǔ)腔容積相同的情況下，球形儲(chǔ)腔的表面積最小，能夠有效地降低航天器的質(zhì)量。眾多學(xué)者對含有球形充液儲(chǔ)腔航天器系統(tǒng)的液體晃動(dòng)以及剛-液耦合動(dòng)力學(xué)和控制問題進(jìn)行深入研究[4-8]。由于該類曲壁軸對稱儲(chǔ)腔的壁面不平行于儲(chǔ)液腔的對稱軸，難以給出勢函數(shù)的解析表達(dá)式，因此對于該類儲(chǔ)腔液體晃動(dòng)的解析研究是較為困難的。通過變分法和最小勢能原理，能夠獲得凸軸對稱儲(chǔ)液腔靜液面的控制微分方程以及穩(wěn)態(tài)構(gòu)形[9]?；谇谳S對稱儲(chǔ)腔的幾何特點(diǎn)，文獻(xiàn)[10]采用特殊坐標(biāo)系得到凸軸對稱儲(chǔ)腔液體常重力下的晃動(dòng)頻率，且該方法適用于任意充液深度。Utsumi[11-14]通過引入特殊的球坐標(biāo)系對于凸軸對稱儲(chǔ)腔的液體晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究，采用Gauss超幾何級數(shù)獲得晃動(dòng)勢函數(shù)和液面波高的解析形式，從而得到球形儲(chǔ)腔中的液體在橫向和軸向激勵(lì)下的晃動(dòng)頻率、波高、晃動(dòng)力和力矩等晃動(dòng)參數(shù)，該種方法可用于研究常重力和不同微重力環(huán)境的工況下液體晃動(dòng)行為。對含有球形儲(chǔ)腔的充液航天器，可采用Hamilton-Ostrogradskiy變分原理推導(dǎo)動(dòng)力學(xué)方程，得到晃動(dòng)液體受到任意方向外激勵(lì)的等效力學(xué)模型[15]。對含有多個(gè)軸對稱充液儲(chǔ)腔的航天器，可通過復(fù)合控制方法對航天器的姿態(tài)和軌道機(jī)動(dòng)控制進(jìn)行研究。研究結(jié)果表明，若在設(shè)計(jì)姿態(tài)和軌道控制器時(shí)沒有充分考慮液體燃料晃動(dòng)的影響，則系統(tǒng)將會(huì)出現(xiàn)剛-液-控耦合問題并導(dǎo)致航天器姿態(tài)不穩(wěn)定[16-18]。

Kane等[19]討論了含有柔性附件剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)相互耦合的情況，首次提出由于柔性附件的幾何非線性變形與剛體運(yùn)動(dòng)相互耦合導(dǎo)致的動(dòng)力剛化這一概念。對由中心體和柔性附件組成的柔性航天器，可通過混合坐標(biāo)法，采用準(zhǔn)坐標(biāo)形式的Lagrange方程，建立柔性航天器的混合坐標(biāo)動(dòng)力學(xué)方程[20]。文獻(xiàn)[21-23]研究由剛性平臺(tái)和若干相對于剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的柔性附件組成的航天器系統(tǒng)，采用基于準(zhǔn)坐標(biāo)下的Lagrange方程構(gòu)建系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。通過空間離散化和截?cái)?，將系統(tǒng)的偏微分方程轉(zhuǎn)換為便于進(jìn)行數(shù)值仿真和計(jì)算的非線性離散狀態(tài)方程。對于中心剛體-旋轉(zhuǎn)梁的系統(tǒng)，梁的振動(dòng)頻率和模態(tài)會(huì)隨著剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和梁的轉(zhuǎn)速而發(fā)生改變[24]。文獻(xiàn)[25]對附著在空間運(yùn)動(dòng)體上柔性懸臂梁的動(dòng)力剛化問題進(jìn)行系統(tǒng)研究，考慮梁橫向二維振動(dòng)和縱向一維振動(dòng)的情況，采用假設(shè)模態(tài)法對柔性梁的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行離散，研究橫向變形和縱向變形的耦合效應(yīng)。此外，航天器柔性附件在瞬態(tài)熱效應(yīng)下產(chǎn)生熱變形，對航天器的姿態(tài)產(chǎn)生擾動(dòng)[26-27]；在航天器編隊(duì)飛行問題中，也存在柔性航天器和剛性航天器的相對姿態(tài)動(dòng)力學(xué)和主動(dòng)控制問題，需要設(shè)計(jì)姿態(tài)反饋控制器實(shí)現(xiàn)航天器編隊(duì)飛行[28]。由此可見，航天器動(dòng)力學(xué)和控制的研究中廣泛存在著剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)問題。

柔性航天器通常含有液體燃料，液體燃料的晃動(dòng)與剛體運(yùn)動(dòng)、柔性附件振動(dòng)相互耦合，會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象和控制問題[29-30]。對于該類復(fù)雜充液柔性航天器系統(tǒng)，通常采用多體動(dòng)力學(xué)的研究方法進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[31-32]將晃動(dòng)液體和柔性附件分別等效為兩個(gè)質(zhì)量-彈簧模型和懸臂板模型，并將重力梯度力矩作為航天器的主要擾動(dòng)力矩，設(shè)計(jì)PID控制器進(jìn)行航天器姿態(tài)鎮(zhèn)定，并對耦合情況進(jìn)行分析。呂敬等[33]對帶彈性附件以及矩形貯箱的剛-液-彈耦合系統(tǒng)進(jìn)行研究，得到外力矩作用下俯仰運(yùn)動(dòng)的耦合動(dòng)力學(xué)模型，分析液體和彈性體對航天器主剛體運(yùn)動(dòng)的影響。

板類柔性附件具有較大的長寬尺寸，但是厚度較小。基于航天器板類柔性附件的幾何尺寸和材料特點(diǎn)，可采用薄板模型對板類柔性附件進(jìn)行建模和動(dòng)力學(xué)行為研究。本文采用Kirchhoff-Love薄板模型對太陽能帆板的變形進(jìn)行研究，通過變分原理推導(dǎo)微重力環(huán)境下凸軸對稱充液儲(chǔ)腔的液體晃動(dòng)控制方程，獲得剛-液-柔耦合航天器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，研究了耦合航天器系統(tǒng)各部分的耦合效應(yīng)，并討論柔性附件的裝配位置對耦合航天器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，以期為航天器總體設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

1 耦合航天器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

考慮如圖1所示的剛-液-柔耦合航天器系統(tǒng)，由航天器主剛性平臺(tái)、板類柔性附件和軸對稱充液儲(chǔ)腔組成。在研究中做出如下基本假設(shè)：1)儲(chǔ)液腔的液體運(yùn)動(dòng)是無黏、無旋、無阻尼、不可壓縮；2)儲(chǔ)液腔為剛性；3)液體表面位移相對于靜平衡液面足夠小，在研究過程中可用線性化理論進(jìn)行處理；4)采用Kirchhoff-Love板模型分析板類柔性附件的變形，板彎曲時(shí)中面各點(diǎn)只有垂直中面的位移w，沒有平行中面的位移。

圖1 剛-液-柔耦合航天器示意圖Fig.1 Diagram of rigid-liquid-flex coupled spacecraft system

1.1 柔性航天器動(dòng)力學(xué)

考慮如圖1所示的耦合航天器系統(tǒng)。航天器剛體平臺(tái)質(zhì)量為m0，為研究航天器位置和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，引入如下坐標(biāo)系統(tǒng)：OeXeYeZe為慣性坐標(biāo)系，以航天器剛性平臺(tái)的質(zhì)心O為原點(diǎn)建立航天器本體坐標(biāo)系Oxyz，其中Ox,Oy,Oz軸為慣性主軸，航天器主剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0=diag(J11,J22,J33)。令θ=[θx,θy,θz]T為本體坐標(biāo)系相對于慣性系的Euler角。為方便起見，定義坐標(biāo)變換矩陣按照Ox→Oy→Oz的順序，從慣性坐標(biāo)系OeXeYeZe到本體坐標(biāo)系Oxyz的轉(zhuǎn)換矩陣為

(1)

其中，sk=sinθk,ck=cosθk,k=x,y,z(下同)，rOeO為O相對于原點(diǎn)Oe的矢徑，本體系在慣性系下的角速度為ω=[ω1,ω2,ω3]T，原點(diǎn)O在慣性系下的平動(dòng)速度為v=[v1,v2,v3]T，則

(2)

式中:

(3)

板類柔性附件的一邊與航天器主剛體相固連，其余三邊為自由端，該類柔性附件也稱為懸臂板。板的中性面位于航天器本體系的Oxy平面。如圖2所示，點(diǎn)B位于板中性面的邊緣，該點(diǎn)在航天器本體系的矢量為rOB=[xb,yb,0]T。板沿Ox,Oy,Oz軸的長度分別為a,b,h，即板的長度、寬度和厚度，板的密度為ρ，彈性模量為E，泊松比為μ，質(zhì)量為ma=ρa(bǔ)bh。

圖2 板類柔性附件示意圖Fig.2 Diagram of plate-type appendage

考慮板類柔性附件中性面上的任意點(diǎn)P，則有rBP=[x,y,0]T，其中x∈[0,a],y∈[0,b]，從而點(diǎn)P在本體系Oxyz的矢徑為

rOP=rOB+rBP=[xb+x,yb+y,0]T

(4)

薄板單位元的慣性力為-ρhap3，根據(jù)D’Alembert原理，可得

(5)

其中,cz為板的結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)。下面采用假設(shè)模態(tài)法求解以上偏微分方程。由于懸臂板振動(dòng)的準(zhǔn)確模態(tài)函數(shù)是未知的，因此需要尋找滿足幾何邊界條件的特征函數(shù)，參考文獻(xiàn)[34]，可將懸臂板模態(tài)函數(shù)表示為:

W(x,y)q(t)

(6)

式中:φm(x)為懸臂梁的第m階模態(tài)函數(shù)，ψn(y)為自由-自由梁的第n階模態(tài)函數(shù)，其中ψ1,ψ2分別對應(yīng)于自由-自由梁的平動(dòng)模態(tài)、轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)。模態(tài)函數(shù)的表達(dá)式為

(7)

其中，

(8)

式中:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，對應(yīng)于板的對稱模態(tài)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，對應(yīng)于板的反對稱模態(tài)。將式(6)代入式(5)，兩邊乘以WT，并對全板積分，可得

(9)

式中:

分別表示板的質(zhì)量和剛度矩陣，方程(9)稱為板的振動(dòng)方程。根據(jù)板上任意點(diǎn)加速度的表達(dá)式(4)，并對板進(jìn)行積分，可得到板的慣性力F，以及對本體系原點(diǎn)慣性力矩M=[Mx,My,Mz]T的解析形式

(10)

剛體航天器的Lagrange函數(shù)為

(11)

對主剛體采用準(zhǔn)坐標(biāo)下的Lagrange方程

(12)

其中,F0,M0分別為航天器剛體受到的非保守力和非保守力矩。結(jié)合方程(9)和(12)寫成矩陣形式，可得到含有柔性附件的航天器的動(dòng)力學(xué)方程

(13)

式(13)中質(zhì)量矩陣的非對角部分M2表明航天器剛性平臺(tái)和柔性附件的耦合效應(yīng)。由于篇幅限制，質(zhì)量矩陣和廣義外力的具體形式不再給出。耦合航天器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程(13)和剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(2)構(gòu)成含有太陽能帆板的航天器系統(tǒng)控制方程。

1.2 曲壁軸對稱儲(chǔ)液腔的液體晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)

在軌航天器往往處于微重力環(huán)境，液體表面張力在儲(chǔ)腔的液體晃動(dòng)中將起著不可忽略的作用。當(dāng)Bond數(shù)較小時(shí)儲(chǔ)液腔的靜液面會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重彎曲，此外，曲壁軸對稱儲(chǔ)腔具有壁面不平行于儲(chǔ)腔對稱軸的特點(diǎn)，儲(chǔ)腔充液深度的變化導(dǎo)致靜液面的構(gòu)形發(fā)生改變，對儲(chǔ)腔液體晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)行為造成影響。下面考慮如圖3所示的曲壁軸對稱充液儲(chǔ)腔。

圖3 軸對稱儲(chǔ)腔示意圖Fig.3 Diagram of axisymmetrical tanks

如圖3所示，儲(chǔ)腔中的虛線和實(shí)線分別表示靜液面和擾動(dòng)液面，分別用M,F表示；靜液面與儲(chǔ)液腔壁面相交的部分稱為接觸線。通過引入球坐標(biāo)系統(tǒng)O1R1θ1φ1對儲(chǔ)腔液體晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究，其中原點(diǎn)O1為圓錐的頂點(diǎn)，圓錐的側(cè)面與儲(chǔ)腔壁面在接觸線處相切。液體表面位移ζ的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)镽1方向。通過球坐標(biāo)系，靜液面、擾動(dòng)液面、儲(chǔ)腔壁面分別表示為：

以球腔的底部頂點(diǎn)o1為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系o1x1y1z1，其中o1z1軸為儲(chǔ)腔的對稱軸，方向向上，平面o1x1z1為球腔垂直方向剖面，即球坐標(biāo)系中的O1R1θ1平面。接觸線上的任意點(diǎn)在直角坐標(biāo)系o1x1y1z1的坐標(biāo)記為(xc,yc,zc)。由于儲(chǔ)腔是軸對稱的，接觸線任意點(diǎn)到o1x1y1平面的距離都相同，即接觸線上點(diǎn)的zc值不發(fā)生變化。令R0為儲(chǔ)腔垂直方向的半徑，若zc>R0，球坐標(biāo)O1的原點(diǎn)位于儲(chǔ)腔上方；若zc

對于耦合航天器系統(tǒng)，考慮儲(chǔ)腔為剛性，且液體為小幅線性晃動(dòng)。儲(chǔ)腔液體的速度勢函數(shù)φ可通過疊加原理分解為相對晃動(dòng)勢函數(shù)φr和牽連晃動(dòng)勢函數(shù)φe。儲(chǔ)腔中任意點(diǎn)p的速度為vp=v+ω×·(rOo1+ro1p)，則牽連晃動(dòng)勢函數(shù)的表達(dá)式為

φe=(v1+ω2z0-ω3y0)R1sinθ1cosφ1+(v2+

ω3x0-ω1z0)R1sinθ1sinφ1+(v3+ω1y0-

ω2x0)(h1-εR1cosθ1)

(14)

對于儲(chǔ)腔液體晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)，可通過變分原理[35]得到相應(yīng)的控制方程

(15)

其中,pl,pg分別為液體和氣體壓強(qiáng)，σ,σ1,σ2分別為汽-液分界面F、固-液分界面W1、汽-固分界面W2的單位面積表面能，可推導(dǎo)得到液體相對晃動(dòng)勢函數(shù)φr以及自由液面晃動(dòng)波高函數(shù)ζ[11]

(16)

式中特征函數(shù)Θmk的解析形式為

Θmk(θ1)=sinmθ1·G(m-αmk,αmk+m+1,

m+1,(1-cosθ1)/2)

其中,G(α,β,γ,x)為Gauss超幾何級數(shù)，當(dāng)|x|<1時(shí)，級數(shù)為收斂的。qm,pm為液體晃動(dòng)的模態(tài)系數(shù)，amk,bmk,cmk是通過晃動(dòng)頻率決定的系數(shù)，la,lb是用于提升收斂速率的系數(shù)，αmk是由儲(chǔ)腔邊界條件確定的常數(shù)。對式(16)關(guān)于模態(tài)系數(shù)qm,pm進(jìn)行變分，代入液體晃動(dòng)的控制方程(15)，根據(jù)變分的獨(dú)立性，可得到模態(tài)系數(shù)的控制方程

(17)

1.3 耦合航天器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)

儲(chǔ)液腔的液體晃動(dòng)產(chǎn)生的晃動(dòng)力和晃動(dòng)力矩會(huì)對耦合航天器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為造成影響，同時(shí)耦合航天器系統(tǒng)的位置和姿態(tài)的變化也會(huì)影響液體的晃動(dòng)行為。兩者相互作用，構(gòu)成耦合航天器動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。曲壁軸對稱儲(chǔ)腔的液體晃動(dòng)力Fslosh和晃動(dòng)力矩Mslosh是由于液體的動(dòng)壓強(qiáng)以及表面張力動(dòng)接觸線的非平衡拖動(dòng)產(chǎn)生的，由于篇幅限制，晃動(dòng)力和晃動(dòng)力矩的具體形式不再給出。將晃動(dòng)力和晃動(dòng)力矩代入方程(13)，可得

(18)

結(jié)合耦合航天器系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(2)和動(dòng)力學(xué)方程(18)，以及液體晃動(dòng)模態(tài)系數(shù)的控制方程(17)，構(gòu)成含有板類柔性附件和軸對稱儲(chǔ)腔的耦合航天器系統(tǒng)的控制方程。

2 仿真校驗(yàn)

下面通過數(shù)值仿真，研究耦合航天器模型的動(dòng)力學(xué)行為和各部分的耦合效應(yīng)。首先驗(yàn)證薄板模型的正確性，與相關(guān)文獻(xiàn)[36]的結(jié)果進(jìn)行對比：考慮薄板繞其固定端旋轉(zhuǎn)時(shí)，薄板的變形響應(yīng)。其中物理參數(shù)為：薄板的長、寬和厚度分別為a=1.8288 m,b=1.2192 m,h=0.00254 m，薄板的彈性模量為E=70 GPa，密度為ρ=2000 kg/m3，泊松比為ν=0.3。薄板定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

式中:T=30 s,Ω=0.2π rad/s，薄板末端角點(diǎn)彈性變形的響應(yīng)如圖4所示，其中Case 1為本文計(jì)算的結(jié)果，Case 2為文獻(xiàn)的相關(guān)數(shù)據(jù)，兩者具有較好的一致性。

圖4 板的末端角點(diǎn)變形Fig.4 The response of corner deformation of plate

為驗(yàn)證晃動(dòng)模型的有效性，考慮球腔液體在橫向簡諧激勵(lì)下的晃動(dòng)力響應(yīng)。本文晃動(dòng)模型的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[37]的CFD數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比。參數(shù)為：球腔半徑為R0=0.148 m，充液比為0.5，簡諧激勵(lì)的幅值為0.93 mm，頻率為0.98倍液體晃動(dòng)的基階頻率。液體晃動(dòng)力的響應(yīng)如圖5所示，其中Case 1為本文給出晃動(dòng)模型的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，Case 2和Case 3分別為文獻(xiàn)[37]的CFD數(shù)值仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。根據(jù)本文晃動(dòng)模型的數(shù)值仿真結(jié)果與文獻(xiàn)[37]的實(shí)驗(yàn)和CFD計(jì)算結(jié)果相比，在頻率和相位上有較好的吻合效果，幅值上略小于文獻(xiàn)[37]的結(jié)果。

圖5 球腔液體的晃動(dòng)力響應(yīng)Fig.5 The liquid sloshing force response of the spherical tank with the transverse excitation

下面通過數(shù)值仿真研究含軸對稱充液儲(chǔ)腔和板類柔性附件的航天器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為和耦合機(jī)理。板類柔性附件是由兩塊鋁合金板面板和蜂窩狀鋁合金內(nèi)芯通過樹脂粘合而成，其材料參數(shù)為[27]：長、寬、厚度分別為a=9 m,b=3 m,h=0.0262 m，剛度E=4.45 Gpa，材料密度ρ=94.5 kg/m3，泊松比ν=0.3，阻尼系數(shù)cz=0.001。航天主剛體的參數(shù)為：質(zhì)量m0=5000 kg，關(guān)于航天器本體系的慣量矩陣J0=diag(1250,1250,1500) kg·m2，板的連接點(diǎn)位置xb=1.0 m,yb=-1.5 m。液體推進(jìn)劑的參數(shù)為：儲(chǔ)液腔為球形儲(chǔ)腔，半徑R0=0.4 m,充液比0.4，液體密度ρf=1000 kg/m3,表面張力σ=0.0725 N/m,重力加速度g=0.02 m/s2，儲(chǔ)腔在本體系的位置(-0.1,-0.15,-0.4) m。在該參數(shù)下，液體晃動(dòng)的前兩階固有頻率為0.2864 rad/s, 0.4673 rad/s，柔性附件的最低階固有頻率為2.3616 rad/s，考慮耦合航天器系統(tǒng)受到如下形式的零角動(dòng)量的外激勵(lì)

圖6(a)、圖6(b)分別為航天器相對于慣性系的速度、角速度響應(yīng)。如圖6所示，當(dāng)航天器系統(tǒng)受到外激勵(lì)時(shí)，航天器的速度和角速度發(fā)生變化，航天器的速度分量v1,v3和角速度分量ω2不為零，而速度和角速度的其他分量為零；在外激勵(lì)結(jié)束后，航天器的速度和角速度均不為零，即航天器仍然存在平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。這主要是由于航天器剛性平臺(tái)與推進(jìn)劑晃動(dòng)、柔性附件振動(dòng)的相互耦合效應(yīng)引起的，若忽略推進(jìn)劑晃動(dòng)和帆板振動(dòng)的影響，則航天器在零角動(dòng)量的外激勵(lì)下為先加速后減速的過程，最后狀態(tài)為靜止。圖7為儲(chǔ)腔液面波高的響應(yīng)ζx，液體晃動(dòng)以一階反對稱模態(tài)為主，高階模態(tài)也會(huì)對液體晃動(dòng)造成影響。液體僅存在沿著Ox方向的晃動(dòng)，不存在沿Oy方向的晃動(dòng)，這與外激勵(lì)作用形式和柔性附件裝配位置有關(guān)。圖8為帆板末端彈性變形的響應(yīng)。當(dāng)外力矩作用于航天器系統(tǒng)時(shí)，帆板發(fā)生振動(dòng)，彈性變形的響應(yīng)與外激勵(lì)的形式、作用時(shí)間有關(guān)；在外激勵(lì)作用結(jié)束后，帆板仍然存在彈性振動(dòng)，由于帆板結(jié)構(gòu)阻尼較小，帆板的響應(yīng)為衰減振動(dòng)。振動(dòng)以一階對稱模態(tài)(即彎曲變形)為主，高階對稱模態(tài)也會(huì)對帆板的振動(dòng)造成影響。

圖6 航天器剛性平臺(tái)的響應(yīng)Fig.6 The response of rigid platform of spacecraft

圖7 液體液面波高的響應(yīng)Fig.7 The response of liquid surface displacement

圖8 柔性附件末端角點(diǎn)的彈性變形Fig.8 The response of corner elastic deformation of flexible appendage

下面考慮帆板裝配位置的改變對于耦合航天器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。令連接點(diǎn)B的位置發(fā)生變化，參數(shù)yb變?yōu)?1.25 m，其余參數(shù)均不發(fā)生變化，航天器系統(tǒng)受到的外激勵(lì)的形式不變，圖9(a)、圖9(b)分別為航天器相對于慣性系的速度、角速度的響應(yīng)。由于帆板裝配位置的改變，導(dǎo)致航天器主剛體存在更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，航天器的速度和角速度的各個(gè)分量均不為零。液體晃動(dòng)參數(shù)的響應(yīng)如圖10所示，圖10(a)、圖10(b)分別為儲(chǔ)腔液面波高在Ox,Oy方向的響應(yīng)。與前一種工況相比，液體存在兩個(gè)方向的晃動(dòng)，柔性附件的裝配位置的改變使得液體晃動(dòng)的動(dòng)力學(xué)行為更為復(fù)雜，即柔性附件與儲(chǔ)腔液體晃動(dòng)之間的相互耦合效應(yīng)。圖11為柔性附件末端彈性位移的響應(yīng)，帆板的響應(yīng)類似于前一種工況，但相位和幅值略有不同。

綜上所述，帆板裝配位置的改變深刻影響航天器動(dòng)力學(xué)和液體晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)，反應(yīng)了航天器主剛體運(yùn)動(dòng)、柔性附件振動(dòng)和儲(chǔ)腔液體晃動(dòng)之間的復(fù)雜耦合效應(yīng)。當(dāng)帆板的對稱軸位于本體系慣性主軸時(shí)，帆板振動(dòng)對于航天器主剛體和液體晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)的影響較小，即航天器的速度和角速度的某些分量為零，且液體僅在某個(gè)方向發(fā)生晃動(dòng)。

圖9 航天器剛體平臺(tái)的響應(yīng)Fig.9 The response of rigid platform of spacecraft

圖10 液體液面波高的響應(yīng)Fig.10 The response of liquid surface displacement

圖11 柔性附件末端角點(diǎn)的彈性位移Fig.11 The response of corner elastic deformation of flexible appendage

3 結(jié) 論

本文對含有板類柔性附件和軸對稱充液儲(chǔ)腔的耦合航天器系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模和剛-液-柔耦合效應(yīng)研究。通過數(shù)值仿真，對含有帆板和球形充液儲(chǔ)腔的航天器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究。研究結(jié)果表明，耦合航天器在外激勵(lì)作用下存在復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，主剛體、柔性附件、儲(chǔ)腔液體各部分之間存在明顯的耦合效應(yīng)。在零角動(dòng)量階躍驅(qū)動(dòng)下，航天器主剛體的運(yùn)動(dòng)會(huì)引起儲(chǔ)腔推進(jìn)劑晃動(dòng)和帆板的振動(dòng)，同時(shí)液體晃動(dòng)和柔性附件的振動(dòng)對于航天器姿態(tài)和位置有著不可忽略的影響；當(dāng)躍驅(qū)動(dòng)結(jié)束后，剛-液-柔耦合航天器系統(tǒng)仍然存在平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，若只考慮航天器主剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體航天器在驅(qū)動(dòng)完成后為靜止?fàn)顟B(tài)；在驅(qū)動(dòng)施加和撤除的瞬間，液體晃動(dòng)力和晃動(dòng)力矩存在不連續(xù)的變化，液體晃動(dòng)和帆板振動(dòng)的參數(shù)幅值存在較大的改變。柔性附件的振動(dòng)以一階對稱模態(tài)為主，高階對稱模態(tài)也會(huì)對帆板的振動(dòng)造成影響；帆板的裝配位置改變影響系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為，當(dāng)帆板的對稱軸位于本體系慣性主軸時(shí)，帆板振動(dòng)對于航天器主剛體和液體晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)的影響較小，航天器的速度和角速度某些分量為零。這可為耦合航天器系統(tǒng)的總體設(shè)計(jì)和姿態(tài)-軌道控制器設(shè)計(jì)提供一定參考。