HPM視角下的“軌跡”概念同課異構(gòu)課例研究

張佳淳　汪曉勤

【摘 要】“軌跡”是滬教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，對(duì)于該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，已有的研究不多且存在些許問(wèn)題。文章采用HPM課例評(píng)析框架，對(duì)兩位教師執(zhí)教的“軌跡”概念課例進(jìn)行比較分析，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史在能力之助、探究之樂(lè)、文化之魅和德育之效等方面的教育價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】HPM;軌跡;同課異構(gòu)

【作者簡(jiǎn)介】張佳淳，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院在讀碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究;汪曉勤（本文通訊作者），華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。

【基金項(xiàng)目】上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣?huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地項(xiàng)目“數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中如何落實(shí)立德樹人研究”（A8）

“軌跡”是滬教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，現(xiàn)有的教學(xué)設(shè)計(jì)大多先利用實(shí)例形成表象認(rèn)識(shí)，再結(jié)合字面剖析軌跡概念，接著辨析三個(gè)基本軌跡，最后探求軌跡圖形[1-3]。雖然有研究者對(duì)此內(nèi)容做過(guò)研究，但還是存在些許問(wèn)題，如教師不明確教學(xué)目的，對(duì)為什么要教授“軌跡”心中無(wú)數(shù)[1]39-43;學(xué)生也不明白軌跡學(xué)習(xí)的必要性等。另外，很多教師對(duì)于軌跡概念的歷史知之甚少，HPM視角下的“軌跡”概念教學(xué)設(shè)計(jì)更是付之闕如。

鑒于此，HPM工作室開(kāi)展了“軌跡”概念的課例研究。本課例的執(zhí)教者分別是教師A和教師B，他們都從HPM的視角經(jīng)歷了選題與聚焦、研討與設(shè)計(jì)、實(shí)施與評(píng)價(jià)的課例研究過(guò)程，但由于學(xué)校文化、教師旨趣、學(xué)生基礎(chǔ)、史料選擇、教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)設(shè)計(jì)等方面的差異，最終形成了效果不同、各具特色的兩個(gè)課例。筆者采用HPM課例評(píng)析框架[4]，對(duì)兩位教師如何選擇和應(yīng)用數(shù)學(xué)史，數(shù)學(xué)史在兩節(jié)課中各體現(xiàn)的教育價(jià)值，以及兩節(jié)課各自的特色等進(jìn)行比較分析，以期為“軌跡”概念教學(xué)以及HPM課例研究提供借鑒。

一、歷史素材

唐代詩(shī)人王維有詩(shī)云：“大漠孤煙直，長(zhǎng)河落日?qǐng)A?！睂?shí)際上，直線和圓是人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中所見(jiàn)的形象經(jīng)過(guò)抽象而成的幾何概念，歐幾里得在《幾何原本》中給出兩者的靜態(tài)定義。古希臘人使用尺規(guī)來(lái)作圖，在尺規(guī)作圖的動(dòng)態(tài)過(guò)程中，古希臘人感悟到靜態(tài)的直線和圓，其實(shí)是通過(guò)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而形成的兩種軌跡，從而產(chǎn)生軌跡的概念。另外，現(xiàn)實(shí)世界物體的運(yùn)動(dòng)、天體的運(yùn)動(dòng)、流星等現(xiàn)象也會(huì)促進(jìn)他們對(duì)軌跡的認(rèn)識(shí)。公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿契塔明確提出了“曲線是點(diǎn)的軌跡”的觀點(diǎn)[5]。

在利用尺規(guī)解決三大幾何難題（化圓為方問(wèn)題、三等分角問(wèn)題、倍立方問(wèn)題）遭遇失敗后，古希臘數(shù)學(xué)家開(kāi)始用新的軌跡來(lái)解決問(wèn)題。公元前5世紀(jì)，希皮亞斯利用正方形相鄰兩邊的運(yùn)動(dòng)構(gòu)造了新的軌跡——割圓曲線[6];公元前3世紀(jì)，阿基米德則構(gòu)造了沿射線運(yùn)動(dòng)的一點(diǎn)，當(dāng)射線本身繞端點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)時(shí)的軌跡——阿基米德螺線[7]。割圓曲線和阿基米德螺線都可以用來(lái)解決三等分角問(wèn)題。

《幾何原本》中的一些命題與軌跡也有密切的聯(lián)系。如第一卷命題37：“同底且同位于兩條平行線之間的三角形彼此相等。”第一卷命題39：“同底同側(cè)且相等的三角形同位于兩條平行線之間?！盵8]這兩個(gè)命題分別體現(xiàn)了直線軌跡的純粹性和完備性。

給定底邊，則以底邊的一條平行線上任一點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積彼此相等。

給定底邊，則面積彼此相等的所有同側(cè)三角形的頂點(diǎn)都位于底邊的一條平行線上。

《幾何原本》第三卷命題21：“在一個(gè)圓中，同一弓形中的（圓周）角彼此相等。”第三卷命題31的一部分：“半圓上的（圓周）角為直角。”對(duì)應(yīng)的是圓弧軌跡的純粹性。

以圓的弓形底邊為底邊，圓?。ú缓走叺亩它c(diǎn)）上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形的頂角都彼此相等。

以圓的直徑為底邊，半圓（不含直徑的端點(diǎn)）上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形的頂角都是直角。

如果我們相應(yīng)地補(bǔ)充完備，可分別得到以下命題。

給定底邊，頂角相等的所有三角形的頂點(diǎn)都位于同一圓?。ú缓走叺亩它c(diǎn)）上。

給定底邊，頂角為直角的所有三角形的頂點(diǎn)都位于同一半圓（不含直徑的端點(diǎn)）上。

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在《平面軌跡》中證明了一系列平面軌跡命題[9]，其中與本節(jié)課聯(lián)系密切的有以下命題。

到兩條已知直線（平行或相交）的距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線。

到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓。

到n個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓。

17世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬用運(yùn)動(dòng)來(lái)刻畫軌跡：取一條固定直線及其上一固定點(diǎn)，當(dāng)一條變線段的一個(gè)端點(diǎn)沿直線移動(dòng)時(shí)，另一端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)即形成了軌跡[10]。類似地，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒通過(guò)建立坐標(biāo)系（單軸、斜坐標(biāo)）來(lái)研究軌跡問(wèn)題。費(fèi)馬和笛卡兒成了解析幾何的創(chuàng)始人。有了解析幾何這一新工具，人們得以用代數(shù)方法來(lái)研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉希爾將橢圓定義為平面上到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡[11]，這個(gè)定義也可以改編為與三角形相關(guān)的命題：“給定底邊，周長(zhǎng)相等的所有三角形的頂點(diǎn)都位于一個(gè)橢圓上（不含橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)）?！焙商m數(shù)學(xué)家舒騰還設(shè)計(jì)了橢圓的多種機(jī)械作圖工具。

在開(kāi)展“軌跡”概念課例研究之初，教師A和教師B都研讀了上述史料，并將部分史料用于教學(xué)設(shè)計(jì)。

二、宏觀比較

（一）教學(xué)重難點(diǎn)及教學(xué)目標(biāo)

教師A和教師B所擬訂的教學(xué)重難點(diǎn)基本一致。

教學(xué)重點(diǎn)：（1）點(diǎn)的軌跡的意義;（2）軌跡的完備性和純粹性。

教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用基本軌跡和描點(diǎn)法畫出符合條件的軌跡，并能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言準(zhǔn)確描述軌跡。

為突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，兩位教師對(duì)教學(xué)目標(biāo)的定位如下。

教學(xué)目標(biāo)：

（1）依據(jù)生活中的軌跡形象，理解軌跡的概念與現(xiàn)實(shí)意義;

（2）經(jīng)歷軌跡的探究活動(dòng)，會(huì)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看待圖形，會(huì)從完備性與純粹性（以下簡(jiǎn)稱“二性”）的角度分析軌跡，能夠運(yùn)用基本軌跡和描點(diǎn)法畫出軌跡，提高學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)表達(dá)能力;

（3）通過(guò)數(shù)學(xué)史，了解古代數(shù)學(xué)家的思想，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，樹立研究數(shù)學(xué)的信心。

教師B還在教學(xué)目標(biāo)（3）中增加“借助數(shù)學(xué)史，感受古人的智慧，體會(huì)數(shù)學(xué)的理性精神”。

（二） 教學(xué)流程

由表1可知，兩位教師的教學(xué)過(guò)程都包含六個(gè)環(huán)節(jié)，但進(jìn)度和安排不同。教師A的設(shè)計(jì)與已有的教學(xué)設(shè)計(jì)類似，前兩個(gè)環(huán)節(jié)通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境引入概念，第三個(gè)環(huán)節(jié)直接給出三個(gè)基本軌跡并進(jìn)行二性辨析，第四個(gè)環(huán)節(jié)重在習(xí)題訓(xùn)練，第五個(gè)環(huán)節(jié)從數(shù)學(xué)的軌跡上升到人生的軌跡。

教師B采用翻轉(zhuǎn)課堂的形式。學(xué)生在課前已利用HPM微視頻自學(xué)，但他們的理解不一定正確，于是在第一個(gè)環(huán)節(jié)教師B針對(duì)學(xué)生回答的情況，強(qiáng)調(diào)運(yùn)動(dòng)與集合的觀點(diǎn)，糾正部分學(xué)生對(duì)軌跡概念存在的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí);第二個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)入基本軌跡和二性辨析的學(xué)習(xí)，不同于教師A的直接講授，教師B在此使用幾何畫板，輔助學(xué)生直觀理解二性的辨析過(guò)程;第三個(gè)環(huán)節(jié)運(yùn)用基本軌跡解決問(wèn)題;第四個(gè)環(huán)節(jié)以小組為單位進(jìn)行習(xí)題探究;第五個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行小結(jié)。另外，在布置作業(yè)環(huán)節(jié)，教師B布置了基于數(shù)學(xué)史提出的難度較大的軌跡問(wèn)題。

兩位教師都使用了HPM微視頻。教師A在第二個(gè)環(huán)節(jié)中利用微視頻介紹軌跡的部分歷史，主要包括阿契塔、阿波羅尼奧斯、阿基米德的研究成果，并展示生活中的軌跡實(shí)例;教師B讓學(xué)生利用微視頻課前自學(xué)，主要呈現(xiàn)生活中的軌跡形象，介紹三大基本軌跡以及費(fèi)馬的軌跡思想，歸納探求軌跡方程的常見(jiàn)方法。

三、微觀比較

（一）史料的適切性

數(shù)學(xué)史料的選取需要遵循趣味性、科學(xué)性、有效性、可學(xué)性、人文性五項(xiàng)原則[12]，兩位執(zhí)教者在各教學(xué)環(huán)節(jié)所用歷史素材對(duì)比見(jiàn)表2。

教師A和教師B所選用的史料源于原始文獻(xiàn)或?qū)I(yè)數(shù)學(xué)史研究文獻(xiàn)，符合科學(xué)性。但教師A在介紹阿波羅尼奧斯的《平面軌跡》一書時(shí)，使用了圓錐曲線的配圖。在古希臘數(shù)學(xué)中，平面軌跡只涉及直線和圓，圓錐曲線屬于立體軌跡，因此，教師A配圖不恰當(dāng)。

本節(jié)課的落腳點(diǎn)是探求軌跡問(wèn)題，兩位教師都根據(jù)阿波羅尼奧斯關(guān)于平面軌跡的命題和拉希爾的橢圓定義，提出有別于教科書和傳統(tǒng)教輔書中的軌跡問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生掌握運(yùn)用基本軌跡和描點(diǎn)法，同時(shí)認(rèn)識(shí)軌跡表達(dá)的精準(zhǔn)性要求，從而實(shí)現(xiàn)本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)，符合有效性。另外，教師B還選擇了《幾何原本》中的有關(guān)命題。

阿波羅尼奧斯關(guān)于平面軌跡的命題是三個(gè)基本軌跡的來(lái)源，對(duì)應(yīng)學(xué)生在上節(jié)課所學(xué)的三個(gè)幾何定理及其逆定理;《幾何原本》中的有關(guān)命題則對(duì)應(yīng)學(xué)生此前學(xué)過(guò)的平行線的性質(zhì)（兩平行線間的距離處處相等）、圓周角的性質(zhì)（直徑所對(duì)的圓周角等于90°）。兩則史料均符合學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)，有助于加深學(xué)生對(duì)軌跡的理解，符合可學(xué)性。但前者基本局限于三個(gè)基本軌跡，后者不僅引出其他軌跡，而且以三角形為背景，在問(wèn)題解決過(guò)程中，學(xué)生需要注意排除三角形底邊端點(diǎn)，做到“不重不漏”。因此，教師B的問(wèn)題更有助于引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)二性辨析的意識(shí)。

教科書和已有教學(xué)設(shè)計(jì)一般僅從生活實(shí)例出發(fā)，讓學(xué)生感受幾何中的運(yùn)動(dòng)與變化，而教師A在“概念探究”環(huán)節(jié)采用阿契塔關(guān)于軌跡的觀點(diǎn)、阿基米德螺線，以及在“變式拓展”環(huán)節(jié)舒騰的橢圓作圖工具的動(dòng)畫演示，教師B在“檢查自學(xué)”環(huán)節(jié)介紹費(fèi)馬的軌跡思想，都使學(xué)生感受到運(yùn)動(dòng)對(duì)軌跡生成的重要性，領(lǐng)悟軌跡形成過(guò)程中存在的不變的關(guān)系，這是生活實(shí)例無(wú)法呈現(xiàn)的效果，既生動(dòng)有趣，又非老生常談，符合趣味性。

兩位教師都展示了相關(guān)數(shù)學(xué)家的畫像與數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)，教師B還介紹了費(fèi)馬對(duì)數(shù)學(xué)研究的熱衷與勤勉、阿波羅尼奧斯在軌跡研究上的執(zhí)著與創(chuàng)新，激勵(lì)學(xué)生努力上進(jìn)，符合人文性。

（二） 方式的多樣性

兩位教師都展示了相關(guān)數(shù)學(xué)家的畫像，講述他們的數(shù)學(xué)成就，屬于附加式。

教師B通過(guò)幾何畫板動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)費(fèi)馬的軌跡思想，先展示變線段長(zhǎng)度固定且垂直于定直線時(shí)表示勻速運(yùn)動(dòng)的直線軌跡，即費(fèi)馬軌跡思想中的一類情況，接著調(diào)節(jié)變線段的變化規(guī)律，得到兩種不同的曲線軌跡（如圖1），再使變線段與定直線成固定角度，同樣可以得到直線或曲線軌跡（如圖2）。教師B在上述教學(xué)過(guò)程中借鑒史料并適當(dāng)對(duì)其加以改編，在重現(xiàn)費(fèi)馬的軌跡思想的同時(shí)，融入了自己的理解，屬于順應(yīng)式。

兩位教師都根據(jù)史料編制了軌跡問(wèn)題，也屬于順應(yīng)式。教師A的例1、習(xí)題1、習(xí)題2、習(xí)題3和教師B的問(wèn)題均源自數(shù)學(xué)史料，具體改編方式見(jiàn)表3。由表3可知，教師B更靈活創(chuàng)新地編制了新問(wèn)題，一方面基于一則史料能形成難度差異較大的不同問(wèn)題，另一方面問(wèn)題基本都以△ABC為背景，部分問(wèn)題之間具備關(guān)聯(lián)性和遞進(jìn)性。另外，教師A和教師B都沒(méi)有采用復(fù)制式和重構(gòu)式。

（三） 融入的自然性

在HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)史主要充當(dāng)改善教學(xué)的工具，教師需要分析數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的邏輯序、歷史序以及學(xué)生的心理序，只有將三者統(tǒng)一起來(lái)，才能達(dá)到自然無(wú)痕的教學(xué)效果。

根據(jù)前面的歷史分析，平面軌跡概念的歷史大致分成以下幾個(gè)階段。

萌芽階段：數(shù)學(xué)外部因素（物體的運(yùn)動(dòng)軌跡）和內(nèi)部因素（尺規(guī)作圖、問(wèn)題解決）促進(jìn)了軌跡概念的產(chǎn)生。

形成階段：靜態(tài)曲線和動(dòng)態(tài)軌跡有機(jī)統(tǒng)一，個(gè)別平面軌跡的純粹性和完備性研究。

發(fā)展階段：平面軌跡的系統(tǒng)研究和應(yīng)用。

關(guān)于萌芽階段的歷史融入，兩位教師的教學(xué)都從數(shù)學(xué)外部因素引入抽象的純數(shù)學(xué)概念，既遵循上述歷史序，也符合教科書所呈現(xiàn)的邏輯序（從生活實(shí)例到三種基本軌跡），但都未涉及數(shù)學(xué)內(nèi)部因素，無(wú)法解釋軌跡概念誕生的歷史動(dòng)因，更無(wú)法指出概念學(xué)習(xí)的必要性，因而不能激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。

關(guān)于形成階段的歷史融入，雖然兩位教師都采用了根據(jù)數(shù)學(xué)史料改編而成的軌跡問(wèn)題，但他們未能進(jìn)行古今聯(lián)系，影響了數(shù)學(xué)史融入的自然性。實(shí)際上，雖然在軌跡概念的形成階段，古希臘數(shù)學(xué)家在個(gè)別軌跡上呈現(xiàn)了純粹性和完備性，但在多數(shù)情況下，他們往往只關(guān)注純粹性而忽略了完備性，甚至將兩者等價(jià)起來(lái)。在兩位教師的課堂上也有學(xué)生出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤，這種錯(cuò)誤具有明顯的歷史相似性。如果教師在學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，提及古希臘數(shù)學(xué)家類似的疏忽，數(shù)學(xué)史的應(yīng)用就水到渠成了。

弗賴登塔爾認(rèn)為，教學(xué)不必原原本本地按照歷史發(fā)展的歷程在學(xué)生身上重現(xiàn)[13]。從整體上看，兩位教師選用的數(shù)學(xué)史基本集中于前兩個(gè)階段，教師A將主要的史料按時(shí)間順序排列，“打包”式地濃縮在一個(gè)微視頻中，但只是 “流水賬”式的敘述，學(xué)生在看完視頻后不了了之。教師B沒(méi)有完全將歷史的發(fā)展順序作為課堂教學(xué)的邏輯順序，而是視教學(xué)需要融入歷史，在第一個(gè)環(huán)節(jié)剖析軌跡的概念后，鏈接費(fèi)馬的軌跡思想，在第二個(gè)環(huán)節(jié)講解三個(gè)基本軌跡后向?qū)W生提問(wèn)“那么大家知道這三個(gè)基本軌跡是哪個(gè)數(shù)學(xué)家研究出的嗎？”，適時(shí)地引入相關(guān)史料，構(gòu)建起史料與知識(shí)之間的聯(lián)系。但教師B只選用了一個(gè)關(guān)于軌跡概念本身的史料，且各史料間彼此獨(dú)立，無(wú)法讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到概念的發(fā)展過(guò)程和數(shù)學(xué)家在其中起到的突破性作用。如果教師能使用發(fā)生教學(xué)法重構(gòu)軌跡的演變進(jìn)程，并注重史料與所學(xué)內(nèi)容之間的對(duì)應(yīng)，更符合學(xué)生的心理序，使學(xué)生更自然地接受數(shù)學(xué)史。

（四）價(jià)值的深刻性

在教學(xué)中，兩位教師都根據(jù)史料改編了難度不同的軌跡問(wèn)題，既為學(xué)生提供探究之樂(lè)，又有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)，幫助教師實(shí)現(xiàn)能力之助;還展示了軌跡的歷史片段，體現(xiàn)文化之魅。

課堂中融入數(shù)學(xué)文化的根本目的在于育人，本節(jié)課的價(jià)值還在于德育之效。一是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信念。數(shù)學(xué)史的融入使學(xué)生穿越時(shí)空與數(shù)學(xué)家對(duì)話，想數(shù)學(xué)家所想，給學(xué)生以自信，讓他們覺(jué)得自己也能解答古希臘數(shù)學(xué)家費(fèi)盡心思研究的問(wèn)題，阿波羅尼奧斯可以視為課堂中一名額外的“學(xué)生”[14]。而從事律師工作的費(fèi)馬喜歡數(shù)學(xué)，他利用業(yè)余時(shí)間始終堅(jiān)持自己的興趣，在數(shù)學(xué)研究上做出了杰出的貢獻(xiàn)，教師以此激發(fā)學(xué)生對(duì)興趣的堅(jiān)持和對(duì)學(xué)術(shù)研究的向往之心。二是培養(yǎng)學(xué)生良好的道德品質(zhì)，例如教師B指出費(fèi)馬為人謙遜敦厚、公正廉明，培養(yǎng)學(xué)生謙虛、正直的良好品質(zhì)。

四、結(jié)論與教學(xué)啟示

從以上比較分析可見(jiàn)，兩節(jié)課各有特色。共性在于，在史料的選取上都符合科學(xué)性、有效性、可學(xué)性、趣味性和人文性;運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式都是附加式和順應(yīng)式;都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史在探究之樂(lè)、能力之助、文化之魅和德育之效上的教育價(jià)值。但兩位教師都未采用重構(gòu)式重現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生歷史，沒(méi)能揭示“軌跡”在歷史長(zhǎng)河中的嬗變過(guò)程，缺乏數(shù)學(xué)史在構(gòu)建知識(shí)之諧方面的價(jià)值，在融入的自然性上也有待改進(jìn)。差異在于，教師A所選的歷史素材多而廣，多元化地呈現(xiàn)了不同數(shù)學(xué)家對(duì)軌跡概念的認(rèn)識(shí)與解釋;教師B借鑒歷史素材少而精，將數(shù)學(xué)史與信息技術(shù)巧妙整合，使數(shù)學(xué)史直觀化、可視化，多次借助數(shù)學(xué)家的生平趣事調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)充分利用數(shù)學(xué)史提出諸多創(chuàng)新的軌跡問(wèn)題。通過(guò)HPM視角下“軌跡”概念同課異構(gòu)的比較與分析，得到以下啟示。

（1）重視史料的剖析消化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。很多教師往往只看到史料的表面內(nèi)容，而缺乏深度剖析的意識(shí)。深究軌跡概念的歷史素材可知，軌跡概念產(chǎn)生的歷史動(dòng)因是為了解決幾何難題和研究生活實(shí)例。

（2）關(guān)注史料的多元價(jià)值，提供學(xué)習(xí)的多種渠道。教科書作為知識(shí)講述型材料，呈現(xiàn)的是靜態(tài)的事實(shí)概要，掩蓋了科學(xué)的試探性、數(shù)學(xué)概念歷史發(fā)展的曲折性，以及不同數(shù)學(xué)家對(duì)其解釋的多樣性。而數(shù)學(xué)史能克服以上缺陷并且具有多元教育價(jià)值。但有的教師會(huì)認(rèn)為史料繁多，而且有的數(shù)學(xué)史料對(duì)于初中學(xué)生理解起來(lái)有一定難度，直接扼殺了學(xué)生了解史料的機(jī)會(huì)。實(shí)際上，教師可以通過(guò)其他方式，例如印發(fā)閱讀材料，提供給學(xué)生自主學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，相信學(xué)生有能力、有興趣了解知識(shí)之源。

（3）營(yíng)造課堂的探究氛圍，致力系統(tǒng)的問(wèn)題設(shè)計(jì)。兩位教師所選用的題目缺乏系統(tǒng)性，沒(méi)有完整的邏輯線。基于數(shù)學(xué)史編制問(wèn)題串，教師可以重構(gòu)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，讓學(xué)生有更清晰的探究思路，并在探究后進(jìn)行系統(tǒng)總結(jié)，而不是就題解題。

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（責(zé)任編輯：陸順演）