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    基于CVaR的次新股投資組合優(yōu)化模型與實證分析

    2020-06-03 17:01:48魏冰月
    中國集體經(jīng)濟 2020年13期
    關(guān)鍵詞:優(yōu)化模型次新股

    魏冰月

    摘要:參數(shù)方法需要假定次新股服從具體的分布,導(dǎo)致次新股的風(fēng)險存在誤差,為了克服參數(shù)方法的缺點,提出核密度估計方法計算次新股的風(fēng)險。建立基于CVaR核估計量的次新股投資組合優(yōu)化模型,以準確計算次新股的風(fēng)險。文章運用牛頓迭代算法設(shè)計其求解算法。通過實證分析表明,與參數(shù)方法相比核密度估計方法能夠描述風(fēng)險分布的尾部特征,給出更準確的估計結(jié)果,并發(fā)現(xiàn)次新股投資組合的CVaR核估計值隨著概率水平的增加而不斷減少。

    關(guān)鍵詞:核密度估計;CVaR;次新股;優(yōu)化模型

    由于股票發(fā)行機構(gòu)對新股發(fā)行的檢查更為嚴格,次新股的質(zhì)量往往比較好,所以次新股很受投資者的歡迎。但由于次新股的上市時間一般不會超過1年,相對于金融市場中其它類型的股票,已有的歷史數(shù)據(jù)往往比較少,本文試圖基于次新股已有的歷史數(shù)據(jù),通過分析短期內(nèi)風(fēng)險的統(tǒng)計特征,計算短期內(nèi)次新股的風(fēng)險。

    通常,基于參數(shù)方法去估計CVaR值。但由于參數(shù)方法往往需要假定風(fēng)險的概率模型,且需要大量的歷史數(shù)據(jù)才能保證估計的穩(wěn)定性和可靠性,為了克服參數(shù)方法的缺點,一些學(xué)者提出了非參數(shù)核密度估計方法度量CVaR值,Gourieroux等首次介紹了CVaR的核密度估計,結(jié)果表明,核密度估計方法無需對金融數(shù)據(jù)進行分布假設(shè)。Scaliet首次將非參數(shù)核密度估計方法應(yīng)用在CVaR及投資組合的風(fēng)險度量中,以圖示的形式討論了只存在兩只證券的情況下,證券組合頭寸的變化情況。但Scaliet并沒有找到精確的CVaR值及其組合頭寸。在文獻的基礎(chǔ)上,本文進一步研究如何基于CVaR做風(fēng)險投資組合優(yōu)化研究。本文預(yù)選取了2019年1月1日至2019年5月1日的次新股日收盤價數(shù)據(jù)做實證分析,并與參數(shù)方法下次新股風(fēng)險進行比較,驗證核密度估計方法的準確性及建立優(yōu)化模型的有效性。

    一、基于指數(shù)核函數(shù)的次新股CVaR相關(guān)核估計

    (一)單只次新股的CVaR核估計

    假設(shè){l}是某次新股在T期的股票收盤價,ct=log(lt/lt-1)是第t期的對數(shù)收益,{c}是相依嚴平穩(wěn)的時間序列。記Xt=-ct是第t期的對數(shù)損失,Xt的邊際分布函數(shù)為F(·),邊際密度函數(shù)為f(·),生存函數(shù)為S(·)。記Xt的邊際分布函數(shù)的核估計為云贊(·),邊際密度函數(shù)的核估計為棗贊(·),生存函數(shù)的核估計為雜贊(·)。在給定概率水平p時,記Xt的VaR為Vp,其數(shù)學(xué)表達式:Vp=inf{Vp:F(Xt)≥1-p}。記Xt的CVaR為Up,其數(shù)學(xué)表達式為:Up=E[Xt|Xt>Vp]。

    由于次新股的上市時間較短,可獲取相關(guān)次新股數(shù)據(jù)相對較少,基于非參數(shù)核密度估計方法對Xt的CVaR進行估計。當窗寬確定時,核函數(shù)的選取對核密度估計的影響不大,記Xt的邊際密度函數(shù)f(x)的核估計為棗贊(x),其表達式為:棗贊(x)=K

    其中:K(·)為核函數(shù)。記Xt的VaR核估計量為災(zāi)贊p,CVaR的核估計量為哉贊p,核密度估計分兩步計算。

    第一步先估計Xt的VaR核估計災(zāi)贊p,窗寬h由拇指法則確定,其表達式為:h=1.06T-0.2其中:σ2為單只次新股對數(shù)損失數(shù)據(jù)的方差;X單只次新股對數(shù)損失數(shù)據(jù)矩陣的轉(zhuǎn)置,當雜贊(x)=p時可得Xt的VaR核估計值災(zāi)贊p。第二步由Xt的CVaR的定義可知核估計表達式為:哉贊p=K(t)dt

    (二)次新股投資組合的CVaR核估計

    假設(shè)次新股之間的交易忽略中間成本,市場具有抵御下跌風(fēng)險的能力,n只次新股之間相互獨立。令第只股票的收益率為bi,b=(b1,b2,…,bn)′為n只次新股的樣本矩陣,投資者的財富標準化為1,記w=(w1,w2,…,w)′為投資者所持有的組合頭寸,組合頭寸滿足wi=1,則次新股投資組合的收益率為Bw=w′b。記n只次新股在T期內(nèi)的收益率為其中bt=(b1t,b2t,…,bnt)′,則次新股投資組合的均值矩陣b=bt,次新股投資組合的協(xié)方差陣∑表達式為:∑=(bt-b)(bt-b)′。次新股投資組合在T期內(nèi)的收益為:{Bwt},其中:Bwt=w′b。

    當概率水平為p時,記次新股組合的風(fēng)險價值為V(w,p),記次新股組合的條件風(fēng)險價值為U(w,p),其數(shù)學(xué)表達式為:U(w,p)=E[-w′b|-w′b≥V(w,p)]。次新股組合的窗寬h由拇指法則確定,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?h=1.06×T-0.2×

    定義1:[(τ1,τ2);τ3]=τ1K

    ,

    定義2:隕贊(ξ)=[bt,w′bt);u]du,

    次新股投資組合CVaR的核估計值分兩步計算。第一步計算次新股組合VaR的核估計,記次新股組合的VaR核估計為災(zāi)贊(w,p),通過[1,w′bt);u]du=p可得災(zāi)贊(w,p)。第二步計算次新股投資組合的CVaR核估計哉贊(w,p),由文獻[11]可知是條件期望E[b|w′b<-V(w,p)]的核估計,因此哉贊(w,p)的核估計可以通過哉贊(w,p)=隕贊(災(zāi)贊(w,p))計算。

    二、次新股投資組合CVaR核估計的風(fēng)險優(yōu)化

    (一)建立次新股投資組合的最小風(fēng)險組合優(yōu)化模型

    根據(jù)建立的非參數(shù)核估計方法計算次新股組合的CVaR的哉贊(w,p),建立基于CVaR核估計的次新股投資組合優(yōu)化模型A1:

    min哉贊(w,p)=-w′隕贊(災(zāi)贊(w,p))/p

    s.t.? w′D=1,

    0≤wi≤1,i=1,2,…,n

    其中,D=(1,1,…,1)′1×n,對模型A1求解可得次新股投資組合的最小CVaR核估計值及對應(yīng)的組合頭寸,對模型A1分析可得下面的引理。

    (二)次新股組合的風(fēng)險優(yōu)化模型求解

    顯然問題A1是凸優(yōu)化問題,因此本文通過設(shè)計牛頓迭代算法對次新股組合優(yōu)化問題求解。

    通過構(gòu)造Lagrange函數(shù)L(w,λ)=哉贊(w,p)+λ(w′E-1)求解哉贊(w,p)。哉贊(w,p)存在最優(yōu)解的必要條件是:首先滿足函數(shù)L(w,λ)的一階導(dǎo)數(shù)F′為0,其次二階導(dǎo)數(shù)矩陣H可逆,其中一階導(dǎo)數(shù)F′的計算公式如下:

    F

    =

    F

    =

    H是函數(shù)L(w,λ)的Hession,其計算公式如下

    Fww=

    =

    Fwλ=

    =D;Fλw=

    =D′;Fλλ=

    =0

    牛頓迭代算法的求解步驟如下:

    1.記W=(w,λ),給定初值W=(w0,λ0)和一個正數(shù)ε,取迭代變量為k。

    2.將給定初值w0,將次新股組合的協(xié)方差陣代入可得hk與災(zāi)贊(wk,p)。由災(zāi)贊(wk,p)和hk可得哉贊(wk,p),同時計算F′和H;如果||F||<ε,停止迭代,輸出Wk;否則計算H-1,如果H-1不存在則迭代失敗,如果H-1存在則轉(zhuǎn)入步驟c)。

    3.計算Wk+1=Wk-H-1F′,如果||Wk+1-Wk||<ε則停止迭代,否則k=k+1, 返回步驟b)。

    三、實證分析

    (一)單只次新股的CVaR核估計實證分析

    參數(shù)方法通常假設(shè)次新股的日收盤價數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布,由文獻可知,正態(tài)分布下CVaR估計為Up=-μ+σ?(zp)/p,其中:μ為次新股的均值,σ為次新股的標準差,?(·)為標準正態(tài)分布下的密度函數(shù),zp為標準正態(tài)分布下p的分位數(shù)?;诓煌椒案怕仕较碌腃VaR值見表1。

    由表1可得,在相同的概率損失下,基于參數(shù)方法計算的次新股CVaR值均大于核估計方法下的CVaR值。隨著概率水平的增加次新股各自的CVaR值變化逐漸減少?;趨?shù)方法下,隨著概率水平的增加,四只次新股的CVaR值在不斷變小。比較核估計方法與參數(shù)方法可以發(fā)現(xiàn),參數(shù)方法低估了短期內(nèi)次新股的風(fēng)險,從兩只次新股的日收盤價直方圖可以看出,假定兩只次新股的日收盤價數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布是不準確的,因而會導(dǎo)致計算誤差。核密度估計是從數(shù)據(jù)本身出發(fā)對次新股的風(fēng)險進行估計,避免了假定具體分布而導(dǎo)致的誤差,從核密度擬合曲線可以看出,核估計方法計算的風(fēng)險價值更接近真實值,從而提高了計算的準確性。

    (二)次新股組合的最小CVaR及其組合頭寸實證分析

    本文選取了四川天邑(300504)、新疆交建(002941)、光弘科技(300735)、天奧電子(002935)的2019年1月1日至2019年5月1日的日收收盤價數(shù)據(jù),通過Python編程計算不同概率水平下的組合頭寸及CVaR值見表2。

    由表2可得,不同概率水平下的四只股票的組合頭寸和對應(yīng)的最小CVaR值;組合CVaR值隨著概率水平的增加不斷變大。在概率水平為1%時,短期內(nèi)四只次新股投資組合的風(fēng)險核估計值為1.9065,小于單只次新股的風(fēng)險。短期內(nèi)四只次新股投資組合的最小CVaR值為1.7332,取得最小風(fēng)險時的組合頭寸為w=(0.1945,0.3686,0.3793,0.0576)′。對比表1可以發(fā)現(xiàn)在概率水平小于或等于5%時,次新股投資組合最小CVaR核估計值小于單只股票CVaR核估計值,滿足投資的分散化原理。從而驗證了本文建立優(yōu)化模型的有效性。

    四、結(jié)論

    為了準確的計算次新股的風(fēng)險,克服參數(shù)方法需要假定次新股服從具體分布而導(dǎo)致次新股風(fēng)險計算有誤差的缺點。本文基于核密度估計方法建立次新股投資組合優(yōu)化模型,并設(shè)計牛頓迭代算法對其求解。實證分析表明:核密度估計方法能夠描述風(fēng)險分布的尾部特征,給出更準確的估計結(jié)果。

    參考文獻:

    [1]Jorion P. Value at Risk[M]. 2rd ed. McGraw-Hill,2001.

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    [3]黃金波,李仲飛,姚海祥.條件VaR和條件CVaR的核估計及其實證分析[J]. 數(shù)理統(tǒng)計與管理,2016(02).

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    [7]孫志華,尹俊平,陳菲菲,等.非參數(shù)與半?yún)?shù)統(tǒng)計[M].清華大學(xué)出版社,2016.

    [8]黃金波,李仲飛,姚海翔.基于CVaR核估計量的風(fēng)險管理[J].管理科學(xué)學(xué)報,2014(03).

    [9]黃雯.基于核密度估計的上證A股收益率分析[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015(05).

    (作者單位:浙江理工大學(xué)理學(xué)院)

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