“整式乘法與因式分解”中考題例析

文倪 波

整式乘法與因式分解是互逆的兩種變形，因式分解是建立在整式乘法和乘法公式基礎(chǔ)之上的。它們既有區(qū)別又有聯(lián)系，是初中數(shù)學(xué)最重要的恒等變形之一，也是中考考查的重要知識(shí)點(diǎn)。

考點(diǎn)1 整式乘法

例1 （2017·四川南充）下列計(jì)算正確的是（ ）。

A.a8÷a4=a2B.（2a2）3=6a6

C.3a3-2a2=a D.3a（1-a）=3a-3a2

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪乘除法、積的乘方法則逐一計(jì)算，作出判斷：A中原式=a4，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B中原式=8a6，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C中3a3與 2a2不是同類項(xiàng)，不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)正確。故選D。

考點(diǎn)2 整式的混合運(yùn)算

例2 （2017·湖南懷化）先將下列代數(shù)式化簡(jiǎn)，再求值：（2a-1）2-2（a-1）（a+1）-a（a-2），其中

【分析】利用完全平方公式、平方差公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則將原式化簡(jiǎn)后，再將a代入求值。

解：原式=4a2-4a+1-2a2+2-a2+2a

=a2-2a+3。

考點(diǎn)3 乘法公式的幾何背景

例3 （2017·浙江衢州）如下圖，從邊長(zhǎng)為（a+3）的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方形（不重疊無(wú)縫隙），則拼成的長(zhǎng)方形的另一邊長(zhǎng)是 ______。

【分析】本題考查了平方差公式的幾何背景，表示出剩余部分的面積是解題的關(guān)鍵。

解：拼成的長(zhǎng)方形的面積=（a+3）2-32=（a+3+3）（a+3-3）=a（a+6）。

∵拼成的長(zhǎng)方形一邊長(zhǎng)為a，

∴另一邊長(zhǎng)是a+6。

考點(diǎn)4 因式分解的意義

例4 （2014·安徽）下列四個(gè)多項(xiàng)式中，能因式分解的是（ ）。

A.a2+1 B.a2-6a+9

C.x2+5y D.x2-5y

【分析】本題考查了因式分解的意義。把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式是解題關(guān)鍵。A、C、D都不能轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式積的形式，故A、C、D不能因式分解；B是完全平方公式的形式，故B能分解因式。

考點(diǎn)5 分解因式

例5 （2019·山東濰坊）下列分解因式正確的是（ ）。

A.3ax2-6ax=3（ax2-2ax）

B.-x2+y2=（-x+y）（-x-y）

C.a2+2ab+4b2=（a+2b）2

D.-ax2+2ax-a=-a（x-1）2

【分析】分解因式的一般步驟是首先看各項(xiàng)有沒有公因式，若有公因式，則把它提取出來(lái)，之后再觀察式子是否是完全平方式或平方差式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式。

選項(xiàng) A：3ax2-6ax應(yīng)分解為 3ax（x-2）；選項(xiàng) B：-x2+y2應(yīng)分解為（-x+y）（x+y）；選項(xiàng)C不能分解因式；選項(xiàng)D正確。

考點(diǎn)6 因式分解的應(yīng)用

例6 （2018·四川成都）已知x+y=0.2，x+3y=1，則代數(shù)式x2+4xy+4y2的值為________。

【分析】原式分解因式后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值。

解：已知x+y=0.2，x+3y=1，則2x+4y=1.2，x+2y=0.6，所以x2+4xy+4y2=（x+2y）2=0.36。

例7 （2019·河北）已知 A=（n2-1）2+（2n）2，整式B＞0。

嘗試化簡(jiǎn)整式A。

發(fā)現(xiàn)已知A=B2，求整式B。

聯(lián)想由上可知，B2=（n2-1）2+（2n）2。當(dāng)n＞1時(shí)，n2-1、2n、B為直角三角形的三邊長(zhǎng)，如圖，填寫下表中B的值：

_直角三角形三____邊___勾股____________數(shù)組Ⅰ___勾股數(shù)組Ⅱn2-1___/_____35 2n__B_8______/______

【分析】先利用乘法公式對(duì)整式A化簡(jiǎn)，然后利用因式分解求出B，最后根據(jù)相關(guān)條件求出表格中B的值。

【答案】A=n4+2n2+1；B=n2+1；17，37。

考點(diǎn)7 整式乘法與因式分解的綜合運(yùn)用

例8 （2017·山東濱州）（1）計(jì)算：（a-b）（a2+ab+b2）；

【分析】（1）利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算即可；（2）借助（1）的結(jié)論來(lái)解決問(wèn)題。

解：（1）原式=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3。