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    “因式分解”易錯點辨析

    2020-06-03 04:09:58文郝金良
    初中生世界 2020年13期
    關(guān)鍵詞:因式分解公因式平方差

    文郝金良

    整式乘法與因式分解是基本而重要的代數(shù)初步知識,是進(jìn)一步學(xué)習(xí)分式和根式運算、函數(shù)等的基礎(chǔ),在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要意義,同時,也是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等其他學(xué)科時,不可缺少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識。

    對于整式乘法的學(xué)習(xí),因為有了整式加減的學(xué)習(xí)經(jīng)驗,同學(xué)們可以很容易地完成類比和遷移,將有理數(shù)乘法的研究思路和方法,與整式乘法聯(lián)系起來,將“數(shù)”的運算擴(kuò)充到“式”的運算。但對于因式分解,很多同學(xué)卻難以理解。因為因式分解不屬于“式”的運算,而是從“逆向”的角度進(jìn)行“式”的恒等變形。只有弄清因式分解的本質(zhì),才能避免混淆。下面對常見錯誤類型進(jìn)行歸納,以幫助同學(xué)們加深理解,提高解題能力。

    一、概念理解要清晰,由“和”到“積”莫模糊

    例1 因式分解:

    (1)(x+y)2-x2;(2)x2-4x+4。

    【錯解】(1)原式=(x+y+x)(x+y-x)

    =(2x+y)y=y2+2xy。

    【錯因】因式分解是把一個多項式化成幾個整式的積的形式,是由“和”到“積”的過程。由(1)可以發(fā)現(xiàn),該同學(xué)會用平法差公式進(jìn)行因式分解,但在求得結(jié)果后,該同學(xué)又進(jìn)行了整式的計算,將“積”的形式又化為了“和”的形式。由(2)可以發(fā)現(xiàn),該同學(xué)直接進(jìn)行了提取,但剩余的多項式并不是整式。這兩種錯誤,本質(zhì)原因是對因式分解的概念不清楚。

    【正解】(1)原式=(x+y+x)(x+y-x)=(2x+y)y。

    (2)原式=(x-2)2。

    二、公因式要找準(zhǔn),全部提取莫漏“1”

    例2 因式分解:

    (1)6m2n-9mn;(2)(a+b)2-a-b。

    【錯解】(1)原式=mn(6m-9)。

    (2)原式=(a+b)2-(a+b)

    =(a+b)(a+b)

    =(a+b)2。

    【錯因】提公因式法是最基本的,也是最重要的因式分解的方法。由(1)可以發(fā)現(xiàn),提公因式時,對數(shù)字系數(shù)和字母應(yīng)分別進(jìn)行考慮。如果是整數(shù)系數(shù),就應(yīng)該提最大公約數(shù)。為避免錯誤,在學(xué)習(xí)的前期,同學(xué)們可以把公因式單獨寫出來,以示醒目。由(2)可以發(fā)現(xiàn),提公因式的本質(zhì)是逆用乘法分配律,所以對一項進(jìn)行整體提取后,還剩“1”,這里一定要避免漏項。我們可以在因式分解完成后,按照整式乘法,把因式再乘回去,看結(jié)果是否與原式相等。如果相同就說明沒有漏項,否則就漏項了。

    【正解】(1)6m2n-9mn=3mn(2m-3)。

    (2)(a+b)2-a-b=(a+b)(a+b-1)。

    三、套用公式要謹(jǐn)慎,認(rèn)清a、b是前提

    例3 因式分解

    (2)(4a2+b2)2-16a2b2。

    【錯解】(1)原式

    (2)原式=(4a2+b2)2-(4ab)2

    =(4a2+b2-4ab)2=(2a-b)4。

    【錯因】對于(1),該同學(xué)可以根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解,但對于平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)的運用出現(xiàn)了錯誤,沒有認(rèn)清多項式中的a、b。本題應(yīng)先轉(zhuǎn)化的形式。然后我們可以很容易發(fā)現(xiàn),公式中的“a”,再套用公式,就不易出錯。對于(2),該同學(xué)混淆了平方差公式與完全平方公式,錯誤地認(rèn)為a2-b2=(a-b)2。本質(zhì)上還是對公式的理解不夠透徹,對公式的認(rèn)識僅僅停留在記憶層面,對公式的運用僅僅停留在“臨摹”階段,沒有完全掌握公式的模型特征,更談不上主動變形建模。

    【正解】

    (2)(4a2+b2)2-16a2b2=(4a2+b2)2-(4ab)2

    =(4a2+b2+4ab)(4a2+b2-4ab)

    =(2a+b)(22a-b)2。

    四、恒等變形有技巧,分解一定要徹底

    例4 因 式 分 解 :(2)-12+12x4。

    【錯解】(1)錯誤1:原式;錯誤2:原式=-a2b2+4ab-4=-(ab-2)2。

    (2)原式=12(x4-1)=12(x2+1)(x2-1)。

    【錯因】對于(1),錯誤1和錯誤2都是沒有理解因式分解的恒等變形本質(zhì)。錯誤1直接改變了式子整體的符號;錯誤2將式子整體擴(kuò)大了4倍。此題因式分解的難點在于前后有兩個“-”號,因此,可以提取因數(shù)“-1”,也可以提因數(shù)“,以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的目的。(2)的主要問題是分解不徹底,因式分解的結(jié)果中含有還能再分解的因式。這種情況一般出現(xiàn)在提公因式或者利用公式完成第一步分解后。所以同學(xué)們在完成分解后,一定要對結(jié)果進(jìn)行思考,看看還能否用其他方法進(jìn)行因式分解,直到不能再分解為止。

    【正解】(1)解法1:原式

    (2)原式=12(x4-1)

    =12(x2+1)(x2-1)

    =12(x2+1)(x+1)(x-1)。

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