直觀奇妙的“形數(shù)”

林革

所謂“形數(shù)”，顧名思義就是指有形狀可以構(gòu)成圖形的數(shù)。相信許多讀者一定會感到奇怪：數(shù)怎么會有形狀呢？這得從其發(fā)明者—古希臘最著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯說起。

畢達(dá)哥拉斯研究數(shù)的概念時，喜歡把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，而小石子又能夠擺成不同的幾何圖形，于是，就產(chǎn)生一系列的“形數(shù)”。譬如，當(dāng)小石子的數(shù)目是1、3、6、10等數(shù)字時，小石子都能被擺成正三角形，這些數(shù)就叫“三角形數(shù)”；當(dāng)小石子的數(shù)目是1、4、9、16等數(shù)字時，它們都能夠被擺成正方形，這些數(shù)就叫“正方形數(shù)”（如圖1）。

除此之外，畢達(dá)哥拉斯還擺出了多邊形數(shù)，并進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了各種“形數(shù)”之間的內(nèi)在聯(lián)系。由此，“形數(shù)”正式面世并引發(fā)了世人的關(guān)注。

羊群、石子和形數(shù)

有一天，畢達(dá)哥拉斯到郊外的一個牧場散步，遇到一位須發(fā)皆白的老翁正在那里牧羊。見了綠油油的草地，羊群四散開來，它們爭先恐后地啃食鮮嫩的青草。正在一旁玩石子的牧羊老翁認(rèn)出身邊的人就是大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，便與他閑聊起來。

其間，畢達(dá)哥拉斯隨口問道：“老先生，您放的這群羊一共有多少只？”

老翁望了望遠(yuǎn)處的羊群，忽然眼前一亮，說道：“真是巧了！我的這群羊，除去待在我身邊的這只頭羊，其他的剛好是按1、3、5、7……分成若干群。最多的一群，我剛剛數(shù)了數(shù)，共有17只。至于總共有多少只嘛，大師，您能數(shù)出來嗎？”

見牧羊老翁并未直接回答，反而出了道難題，要考考自己，畢達(dá)哥拉斯也不多說，蹲下身，撿拾地上的石子。

“您是全希臘絕頂聰明的大師，請原諒我沒有直接回答您的問題。我就是想見識見識您的非凡智慧?！蹦裂蚶衔探忉尩?。

“總共應(yīng)該有82只吧。”畢達(dá)哥拉斯頭也不抬地答道。

聽了這話，牧羊老翁愣住了：沒想到，畢達(dá)哥拉斯這么快就算出來了！他不禁脫口而出：“這也太神奇了！”

牧羊老翁向畢達(dá)哥拉斯請教其中的玄機。畢達(dá)哥拉斯不慌不忙地擺弄起地上的石子，又用老翁牧羊用的鞭子在擺好的石子旁畫上方框（如圖2）；然后，指著地上的圖形，解釋道：“您瞧，第一個方格里放了1塊石子，可以看作1=1×1；第二個方格里放的石子數(shù)是1塊和3塊，剛好有1+3=2×2；第三個方格里放的石子數(shù)是1塊、3塊和5塊，剛好有1+3+5=3×3；第四個方格里的石子數(shù)就是1+3+5+7=4×4；第五個方格里的石子數(shù)就是1+3+5+7+9=5×5……這就是用圖形直觀表示的‘形數(shù)?！?/p>

老翁恍然大悟，興奮地答道：“按照這樣的規(guī)律依次類推，1、3、5、7、……、17只羊共有9群，那么1+3+5+…+15+17=9×9=81，再加上我身邊的這只頭羊，總共就有82只羊。對吧？”

畢達(dá)哥拉斯點頭稱是。

“怪不得今天的羊群分布得如此奇特，原來就是為您的‘形數(shù)準(zhǔn)備的??！”牧羊老翁連連感嘆自己大開眼界，稱贊畢達(dá)哥拉斯名不虛傳。

三角形數(shù)和正方形數(shù)

畢達(dá)哥拉斯把自然數(shù)看成是點的集合，尤其對可以排成三角形、正方形的數(shù)情有獨鐘，因此，研究兩者之間的某些奇妙關(guān)聯(lián)就在情理之中。

眾所周知，自然數(shù)的構(gòu)成是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、……“三角形數(shù)”實際上就是從1開始的一些連續(xù)自然數(shù)的和（參照圖1）：

1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、……、1225……①

“正方形數(shù)”實際上就是自然數(shù)a的平方a2：

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、……、1225……②

1、36、1225、41616、1413721、48024900……③

耐人尋味的是，如果對數(shù)列③繼續(xù)探究，便會發(fā)現(xiàn)，這類既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的數(shù)，是兩個正方形數(shù)的積的平方，可寫成一般式b2c2。譬如，

瞧，上面提到的b、c神奇地在分子、分母中悄然出現(xiàn)，讓人不得不瞠目驚嘆！

形數(shù)和數(shù)學(xué)公式

畢達(dá)哥拉斯利用“形數(shù)”發(fā)現(xiàn)了許多自然數(shù)的規(guī)律和定理，并直觀歸納出一些重要而常用的數(shù)學(xué)公式。下面擷取數(shù)則，以饗讀者。

三、求連續(xù)偶數(shù)的和的公式：2+4+6+…+2n=n（n+1）

形數(shù)操作：按每層的折線劃分，每個區(qū)域是連續(xù)的偶數(shù)2、4、6、8、10，剛好組成一個長方形數(shù)（如圖5），由此不難得出：2+4+6+8+10=5×6= 5×（5+1）。

推而廣之，如果長方形數(shù)有n層，第n層就有2n個點，則有：2+4+6+…+2n=n（n+1）。

形數(shù)的奇妙性質(zhì)

在三角形數(shù)和正方形數(shù)基礎(chǔ)上，如果把三角形數(shù)1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66……“一層一層疊加”，就形成了“四面體數(shù)”（所謂四面體，是指底面是三角形的錐體）：

1、4、10、20、35、56、84、120……④

同樣，如果把正方形數(shù)1、4、9、16、25、36、49、64、81、100……“一層一層疊加”，就形成了“金字塔數(shù)”（所謂金字塔，是指底面是正方形的錐體）：

1、5、1 4、3 0、5 5、9 1、1 4 0、204……⑤

有人突發(fā)奇想開始在⑤中探尋恰好是正方形數(shù)又是金字塔數(shù)的數(shù)，結(jié)果竟然只有一個，那就是4900。這令人頗感意外。不過，有關(guān)自然數(shù)、三角形數(shù)、正方形數(shù)、四面體數(shù)、金字塔數(shù)之間的奇妙性質(zhì)，更讓人嘖嘖稱奇。

1.從1開始的連續(xù)自然數(shù)的立方和，等于相應(yīng)的三角形數(shù)的平方。

3.任意兩個相鄰的四面體數(shù)的和，都是金字塔數(shù)。

譬如，四面體數(shù)④中，1+4=5，4+10=14，10+20=30，20+35=55，35+56=91，56+84=140，84+120=204；而5、14、30、55、91、140、204都是金字塔數(shù)。

或許，正是由于這些具有幾何特征的數(shù)字的奇妙特性，畢達(dá)哥拉斯和他所創(chuàng)立的學(xué)派崇尚“萬物皆數(shù)”，認(rèn)為“數(shù)是萬物之源”。即用1表示點，用2表示線，用3表示面，用4表示體（如圖9），世間萬物皆由點、線、面、體所組成。而1+2+3+4=10，因此，10就可以表示宇宙。

用現(xiàn)代技術(shù)和知識進(jìn)行評判顯然不夠客觀與科學(xué)，不過，畢達(dá)哥拉斯發(fā)明的“形數(shù)”確實讓人們認(rèn)識到自然數(shù)的鬼斧神工和奇特絕妙，以上種種便是佐證。

形數(shù)的影響

“形數(shù)”之所以歷久不衰，引發(fā)關(guān)注，除了其巧妙利用數(shù)形結(jié)合和合情推理的特點之外，能夠充分反映出數(shù)學(xué)內(nèi)在的奧秘和魅力似乎更具說服力。

需要說明的是，在公元前6世紀(jì)，紙張還沒有出現(xiàn)，所以，這種用小石子來研究數(shù)的性質(zhì)的方法，不僅是認(rèn)識數(shù)的一種簡潔而直觀的方法，更是古希臘人的一種偉大創(chuàng)造。正因為此，英文中的“計算”（calculation）一詞來源于拉丁字calculus，而calculus正是小石子的意思。這充分說明了西方人對畢氏“形數(shù)”的重視和尊重。就此而言，畢達(dá)哥拉斯非同凡響的思維和創(chuàng)新能力理應(yīng)獲得我們的敬仰和欽佩。