從高考“函數(shù)與導數(shù)”壓軸題看數(shù)學學科核心素養(yǎng)

邱婉珠

【摘要】核心素養(yǎng)下的高考對學生的綜合素養(yǎng)提出了新的要求，“函數(shù)與導數(shù)”壓軸題是高中數(shù)學考查學生綜合素養(yǎng)的很好途徑.本文將以2016～2019四年高考理科全國Ⅰ卷為例來看高考中“函數(shù)與導數(shù)”壓軸題對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查情況.得出如下結(jié)論：函數(shù)與導數(shù)壓軸題主要考查學生的“數(shù)學運算”和“邏輯推理”核心素養(yǎng);高考對函數(shù)與導數(shù)的“數(shù)學運算”“邏輯推理”核心素養(yǎng)的考查要求有下降的趨勢.

【關(guān)鍵詞】高考;函數(shù)與導數(shù);數(shù)學運算;邏輯推理

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“新課標”）以六大數(shù)學學科核心素養(yǎng)為主題，分別是數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析，并且新課標強調(diào)數(shù)學學科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力.那么在高考全國卷中對學生關(guān)于數(shù)學學科核心素養(yǎng)是如何考查的呢？由于全國除了海南采取半自主命題，浙江、上海、江蘇、北京、天津采取自主命題外，其余省份陸續(xù)于2016年采取全國卷，其中河北、安徽、湖北、福建、湖南、山西、江西、廣東、河南、山東從2016年開始采取了全國Ⅰ卷對當?shù)乜忌M行數(shù)學學業(yè)質(zhì)量檢測.故本文將從2016～2019近四年高考理科全國Ⅰ卷的“函數(shù)與導數(shù)”壓軸題這一處于高考的重點熱點考點為例來看高考對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查，并給出積極教學、提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的幾點總結(jié).

一、數(shù)學學科核心素養(yǎng)

數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學學習和應用的過程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析.這些數(shù)學學科核心素養(yǎng)既相互獨立又相互交融，是一個有機的整體.在高考中“函數(shù)與導數(shù)”壓軸題主要考查學生的“邏輯推理”“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)，接下來將對這兩個數(shù)學學科核心素養(yǎng)進行簡單的介紹.

（一）“邏輯推理”核心素養(yǎng)的內(nèi)涵

“邏輯推理”是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng).主要包括兩類，分別是從特殊到一般的推理，推理形式主要是歸納和類比以及從一般到特殊的推理，推理形式主要是演繹.“邏輯推理”是得到數(shù)學結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學體系的重要方式，是數(shù)學嚴謹性的基本保證，是人們在數(shù)學活動中進行交流的基本思維品質(zhì).

學生通過高中數(shù)學課程的學習，能掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題;能夠在比較復雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，把握事物發(fā)展的脈絡(luò);形成重論〖JP3〗據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，增強交流能力.

（二）“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的內(nèi)涵

“數(shù)學運算”是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng).主要是對運算對象的理解，對運算法則的掌握，對運算思路的探究，對運算方法的選擇，對運算程序的設(shè)計以及得出運算結(jié)果等.“數(shù)學運算”是解決數(shù)學問題的基本手段，是演繹推理，用計算機解決問題的基礎(chǔ).

學生通過高中數(shù)學課程的學習，能進一步發(fā)展數(shù)學運算能力;有效借助運算方法解決實際問題;通過運算促進數(shù)學思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.

二、試題呈現(xiàn)與分析

（一）試題呈現(xiàn)

例1 （2016年高考數(shù)學全國卷Ⅰ理科第21題）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（1）求a的取值范圍;

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2<2.

本題主要通過分類討論思想考查函數(shù)與導數(shù)的不等式等基礎(chǔ)知識.第一問主要考查函數(shù)與導數(shù)的單調(diào)性和分類討論思想，第二問是綜合運用數(shù)學的知識證明不等式.

例2 （2017年高考數(shù)學全國卷Ⅰ理科第21題）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍.

解法 （1）求導，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論，即可求得f（x）的單調(diào)性;

本題是對導數(shù)的綜合考查，通過導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性及最值考查學生的分類討論思想，通過零點的判斷考查學生的計算能力.

例3 （2018年高考數(shù)學全國卷Ⅰ理科第21題）已知函數(shù)f（x）=1 x-x+alnx.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，證明：f（x1）-f（x2） x1-x2< a-2.

解法 （1）求出函數(shù)的定義域和導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系對參數(shù)a進行分類討論.

（2）將不等式進行等價轉(zhuǎn)換，構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值得以證明.

本題主要考查對函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及函數(shù)與不等式的綜合，通過分類討論的思想判斷函數(shù)的單調(diào)性;通過極值點的判斷結(jié)合轉(zhuǎn)化思想，考查學生的數(shù)學運算能力.

例4 （2019年高考數(shù)學全國卷Ⅰ理科第20題）已知函數(shù)f（x）=sinx-ln（1+x），f′（x）為f（x）的導數(shù).證明：

（1）f′（x）在區(qū)間-1，π2存在唯一極大值點;

（2）f（x）有且僅有2個零點.

本題通過數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)與方程思想，通過求導解決函數(shù)的極值與零點的相關(guān)問題，來考查學生的邏輯思維能力與推理運算能力.

（二）試題分析

近幾年，以函數(shù)與導數(shù)命制的壓軸題占據(jù)著高考數(shù)學的制高點，這些試題是命題專家將高中知識與大學知識進行巧妙結(jié)合，常常以高等數(shù)學知識為背景精心設(shè)計的問題，注重考查學生的“四能”以及學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和探究、創(chuàng)新意識.本文主要研究高考函數(shù)與導數(shù)這一壓軸題是如何對學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)進行考查.

由試題呈現(xiàn)我們可以知道，近四年高考數(shù)學全國卷Ⅰ理科卷對函數(shù)與導數(shù)的考查均是兩個問題組成，其中第二個問題均需要在解決第一個問題的基礎(chǔ)上進行解答.通過分析我們發(fā)現(xiàn)，前三年關(guān)于函數(shù)與導數(shù)均作為必答題的最后一道壓軸題，并且第一個問題均是要經(jīng)過對參數(shù)的分類討論從而對問題進行解答，主要運用分類討論思想，學生通過掌握基本形式和規(guī)則，探索和表述解題過程，理解命題體系，有邏輯地解答，主要是對學生的“邏輯推理”核心素養(yǎng)的考查.第二個問題在第一個問題的基礎(chǔ)上，綜合運用數(shù)學的單調(diào)性、極值、最值、零點等知識，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想等，考查學生推理論證以及運算能力，學生通過理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路最終求得運算結(jié)果，主要是對學生的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的考查.對2019年高考數(shù)學全國卷Ⅰ理科卷，相對前三年有些許變化.在試題分布方面，2019年全國Ⅰ理科卷分布在必答題的導數(shù)第二題，即20題;在試題的題干中，函數(shù)并不存在參數(shù)，而是一個具體的函數(shù)表達式;在試題的問題設(shè)置上并不存在明顯的討論題目.

雖然2019年全國Ⅰ卷理科卷關(guān)于函數(shù)與導數(shù)的考查相比于前三年的試題發(fā)生了些許變化，但是所謂萬變不離其宗，對函數(shù)與導數(shù)的考查仍位于高考壓軸題的地位，對函數(shù)與導數(shù)的相關(guān)極值、最值、零點、單調(diào)性等知識的考查，具有較強的綜合性，難度較大，通過對函數(shù)求導再求導，結(jié)合單調(diào)性以及零點存在定理，證明f′（x）在區(qū)間〖JB（（〗-1，π 2存在唯一極大值點，要求學生通過對運算對象的理解、運算法則的掌握、運算思路的探究、運算方法的選擇，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果，得以證明結(jié)論，主要對學生數(shù)學運算核心素養(yǎng)的考查.通過數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想，推斷出x，f′（x）和f（x）的變化情況表，從而證明f（x）在定義域內(nèi)有且僅有2個零點，要求學生掌握基本形式和規(guī)則，學會對論證過程的表述和探索，對命題體系的理解，能夠有邏輯地表達證明過程并得出證明.

三、總結(jié)提升

筆者將結(jié)合前面的試題分析做出如下的總結(jié)：

（1）函數(shù)與導數(shù)壓軸題主要考查學生的“數(shù)學運算”與“邏輯推理”核心素養(yǎng)，對函數(shù)與導數(shù)的相關(guān)知識的考查相對比較綜合，難度較大.學生在平時做此類型的題時，要注重對“數(shù)學運算”與“邏輯推理”核心素養(yǎng)的培養(yǎng).筆者通過對學生答題卡進行分析以及對部分學生的訪談發(fā)現(xiàn)，學生在解決此類題型時，理解了解題思路就認為完成了任務(wù)，懶于下筆、懶于反思，這將不利于學生“數(shù)學運算”與“邏輯推理”的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，不利于學生對此類題的思考，在今后仍然對此類題無從下手.所以筆者建議學生應該勤下筆、勤反思，多計算、多思考，培養(yǎng)學生的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)、“邏輯推理”核心素養(yǎng)，爭取學會舉一反三，培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神，靈活解決問題.

（2）高考對函數(shù)與導數(shù)的“數(shù)學運算”“邏輯推理”核心素養(yǎng)的考查要求有下降的趨勢.2016～2018年關(guān)于函數(shù)與導數(shù)的考查試題均分布在必答題的最后一道題，即21題，難度較大;2019年關(guān)于函數(shù)與導數(shù)的考查試題分布在必答題的倒數(shù)第二道題，即20題，難度相比前三年有所降低.前三年所給出的函數(shù)含有參數(shù)，需要對參數(shù)進行分類討論，解決問題;2019年所給出的函數(shù)是一個具體的函數(shù)表達式，不含參數(shù).由此也可看出難度相比前三年有所降低.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]王建清.高考數(shù)學中導數(shù)的考查[J].數(shù)學學習與研究，2019（11）：132-133.

[3]黃林盛.高考導數(shù)壓軸題的那“點”事[J].中學數(shù)學研究，2018（12）：35-37.