淺談數(shù)值分析對研究生數(shù)學建模的作用

楊帆 朱鑫玉 李敦剛 付軍良

【摘要】結合近十年給工科研究生上“數(shù)值分析”學位課中積累的經(jīng)驗，從“數(shù)值分析”的主要教學內(nèi)容：數(shù)據(jù)建模、求解方程和數(shù)值算法三個主要方面說明了“數(shù)值分析”課程對研究生數(shù)學建模的重要性.

【關鍵詞】研究生建模;數(shù)值分析;數(shù)據(jù)建模

隨著計算機和計算方法的飛速發(fā)展，科學計算已與科學理論和科學實驗鼎立為現(xiàn)代科學的三大組成部分之一，并在許多科學和工程領域中逐漸形成了計算性學科分支.這些計算性的科學和工程領域，又以數(shù)值計算方法作為其共性基礎和聯(lián)系紐帶[1].數(shù)值分析，也稱為數(shù)值計算方法，是數(shù)學學科中關于數(shù)值計算的一門學問，其主要研究如何借助計算工具求得數(shù)學問題的數(shù)值解答.數(shù)學作為一種精確的科學語言，是以一種極其抽象的形式出現(xiàn)的.要用數(shù)學方法解決一個實際問題，就必須在實際問題與數(shù)學之間架起一座橋梁，而數(shù)學模型就是在解決這類問題[2][3].全國研究生數(shù)學建模競賽是面向全國在讀研究生的科技競賽活動，目的在于激發(fā)研究生群體的創(chuàng)新活力和學習興趣，提高研究生建立數(shù)學模型和運用計算機解決實際問題的綜合能力，拓寬知識面，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和團隊合作意識，促進研究生中優(yōu)秀人才的脫穎而出、迅速成長，推動研究生教育改革，增進各高校之間以及高校、研究所與企業(yè)之間的交流與合作.數(shù)學建模是數(shù)值分析聯(lián)系實際的橋梁，在數(shù)學建模過程中，無論是模型的建立還是模型的求解都要用到數(shù)值分析課程中所涉及的算法，如插值方法、最小二乘法、數(shù)值微分等.因此，在數(shù)學建模中，數(shù)值分析內(nèi)容對解決實際問題起到關鍵性作用.筆者從以下三個方面談談數(shù)值分析在研究生數(shù)學建模中的作用.

一、數(shù)據(jù)分析

全國研究生數(shù)學建模競賽賽題大多來自工程實際問題，其中就有數(shù)據(jù)處理問題，并且所給的數(shù)據(jù)都是比較多，比較龐大的.這些數(shù)據(jù)都是實際測量得到的，具有真實性，這些數(shù)據(jù)往往隱藏著某種關系，具有一定的研究價值.因此，如何處理及分析數(shù)據(jù)成為解決問題的關鍵性一步.在數(shù)值分析中，對數(shù)據(jù)建模有兩大類方法：一類是插值方法，如拉格朗日插值法、牛頓插值法、三次樣條插值法等;另一類是擬合方法，如最小二乘法.一般而言，插值方法比較適合數(shù)據(jù)準確或數(shù)據(jù)量較少的情形，而擬合方法則比較適合數(shù)據(jù)有誤差或數(shù)據(jù)量較大的情形.這兩種方法在數(shù)學建模中經(jīng)常被運用于數(shù)據(jù)分析.因此，數(shù)值分析在研究生數(shù)學建模中對數(shù)據(jù)分析起到了重要作用.

二、求解方程

在工程計算和科學研究中，如電路和電力系統(tǒng)計算、非線性力學等許多領域的實際問題都可以轉(zhuǎn)化為一個非線性方程的求根問題.已經(jīng)證明，對五次及五次以上的一元多項式不存在精確的求根公式，至于超越方程更難求其精確解了.因此，求解一個非線性方程的近似根，已成為目前相關領域的科研工作者迫切需要解決的問題.在數(shù)值分析中，對求解這類問題的方法主要有二分法、牛頓法、割線法、簡單迭代法及其加速法等.

在科學與工程計算中的許多實際問題的數(shù)學模型可以用常微分方程來描述.由于絕大多數(shù)常微分方程難以求得其精確解，因此，研究常微分方程的數(shù)值解法具有十分重要的應用意義.在數(shù)值分析中，常微分方程初值問題的數(shù)值解法一般分為兩大類：一類是單步法，其代表是龍格-庫塔方法;另一類是多步法，其代表是亞當斯方法.

全國研究生數(shù)學建模競賽賽題大多來自工程實際問題，而這些實際問題可以轉(zhuǎn)化為求解一個方程、方程組或者求解一個矩陣問題.在數(shù)值分析中，對求解以上問題都給出了一些比較成熟有效的方法.因此，數(shù)值分析對解決一些工程實際問題有著不可替代的作用.

三、數(shù)值算法

當前，科學計算的應用范圍非常廣泛，如天氣預報、工程設計、流體計算、經(jīng)濟規(guī)劃和預測以及國防尖端的一些科研項目，以及核武器的研制、導彈和火箭的發(fā)射等，始終是科學計算最為活躍的領域.面對這些實際問題提出了越來越多的復雜的數(shù)值計算問題，必須依靠電子計算機快速準確的數(shù)據(jù)處理能力.因此，尋找適合在計算機上求解各種數(shù)值問題的算法就顯得至關重要了.一個好的算法應該具備以下特征：（1）必須結構簡單，易于計算機實現(xiàn);（2）理論上必須保證方法的收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性;（3）計算效率必須高，即計算速度快且節(jié)省存儲量;（4）必須經(jīng)過數(shù)值實驗檢驗，證明行之有效.在數(shù)值分析中，對算法的選擇與設計，提出了一些理論和原則，如誤差的基本理論、數(shù)值算法設計的若干原則等.

數(shù)值分析中對數(shù)值算法理論的一些應用體現(xiàn)在求解問題的各個方面，如前面提到的數(shù)據(jù)分析以及求解方程等問題.并且數(shù)值分析對數(shù)學分析中出現(xiàn)的積分計算以及微分計算，提出了一些有效的求積公式和求導公式.因此，數(shù)值分析應用各行各業(yè)，對求解實際問題起到了關鍵性的作用.

總之，數(shù)值分析知識應用到各行各業(yè)，對求解一些實際問題給出了解決方法.學好數(shù)值分析這門課程，也為參加數(shù)學建模競賽打下一個良好的基礎.

【參考文獻】

[1]馬昌鳳.現(xiàn)代數(shù)值分析（MATLAB版）[M].北京：國防工業(yè)出版社，2013.

[2]周麗.略論數(shù)學建模教育與高校數(shù)學教學方式改革[J].南昌教育學院學報，2011（3）：83-85.

[3]姜啟源.數(shù)學模型[M].北京：高等教育出版社，1987.