金融數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)《常微分方程》的教學(xué)改革

趙利云 薄洪波

摘要：金融數(shù)學(xué)是由數(shù)學(xué)與金融學(xué)交叉發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新興邊緣學(xué)科，其學(xué)科方向偏重于文科類(lèi)，因此對(duì)于金融數(shù)學(xué)方向的學(xué)生來(lái)說(shuō)，《常微分方程》課程太過(guò)于理論化，難于完全理解和掌握。而對(duì)金融數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，《常微分方程》課程的教學(xué)目標(biāo)是必須掌握基本的知識(shí)點(diǎn)、基本的理論，會(huì)靈活應(yīng)用理論知識(shí)解決專(zhuān)業(yè)課程中出現(xiàn)的金融問(wèn)題?；诖?，將探索如何在教學(xué)過(guò)程融入金融案例，使得此門(mén)課程的教學(xué)內(nèi)容為學(xué)生所用。

關(guān)鍵詞：《常微分方程》 金融數(shù)學(xué)案例 教學(xué)方法 教學(xué)改革

中圖分類(lèi)號(hào)：O175? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? 文章編號(hào)：1009-5349（2020）07-0028-02

金融數(shù)學(xué)是這些年來(lái)由應(yīng)用數(shù)學(xué)與金融學(xué)交叉發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新興的邊緣性學(xué)科，是應(yīng)用數(shù)學(xué)基本理論和數(shù)學(xué)模型來(lái)研究人們的消費(fèi)和投資決策的。由于其具有很強(qiáng)的實(shí)用性和可操作性，故受到國(guó)際金融界和應(yīng)用數(shù)學(xué)界的高度重視，導(dǎo)致其理論得到了長(zhǎng)足發(fā)展。而它的進(jìn)一步發(fā)展是離不開(kāi)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的支撐的?！冻Ｎ⒎址匠獭纷鳛橐婚T(mén)理論性強(qiáng)、變化性強(qiáng)、解題思路和方法眾多的課程，對(duì)金融數(shù)學(xué)的學(xué)生而言，是必須掌握的，而且還需要能靈活應(yīng)用其解決專(zhuān)業(yè)課程中的問(wèn)題。同時(shí)，金融數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的《常微分方程》教學(xué)是繼《解析幾何》《數(shù)學(xué)分析》《高等代數(shù)》之后開(kāi)設(shè)的一門(mén)非常重要的基礎(chǔ)專(zhuān)業(yè)課，它是為后續(xù)的金融方面專(zhuān)業(yè)課服務(wù)的。《常微分方程》課程內(nèi)容的掌握程度對(duì)理解后續(xù)金融方面專(zhuān)業(yè)課起著舉足輕重的作用，因此，對(duì)此課程的改革有著廣泛的實(shí)用價(jià)值[1]。

一、《常微分方程》課程的學(xué)習(xí)和教學(xué)現(xiàn)狀

目前，大部分金融數(shù)學(xué)方向《常微分方程》課程的教學(xué)過(guò)程中，主要存在以下問(wèn)題：

（一）學(xué)生方面

一方面《常微分方程》部分內(nèi)容理論性太強(qiáng)，如解的存在唯一性定理、解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性、解的延拓定理、穩(wěn)定性理論等，這些內(nèi)容對(duì)金融數(shù)學(xué)的學(xué)生而言，有一定的難度，學(xué)生難以掌握。另一方面，很多學(xué)生不會(huì)利用常微分方程理論解決其在專(zhuān)業(yè)課中遇到的金融案例，不會(huì)利用常微分方程知識(shí)解釋金融過(guò)程中出現(xiàn)的現(xiàn)象。進(jìn)而導(dǎo)致其認(rèn)為學(xué)《常微分方程》沒(méi)有用，在以后的學(xué)習(xí)和實(shí)踐中起不到作用，因此缺乏學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性。

（二）教師方面

在教學(xué)內(nèi)容上，任課教師，特別是純數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的教師，過(guò)分強(qiáng)調(diào)微分方程理論的嚴(yán)密性，以及一些有關(guān)微分方程的理論，忽略它與金融課程的聯(lián)系，不太注重這些微分方程在金融問(wèn)題中的實(shí)際意義及如何利用微分方程建立金融問(wèn)題模型，造成學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容不感興趣，過(guò)后不會(huì)應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的局面。因此，如何在教學(xué)中突出其實(shí)踐性已成為近年來(lái)教學(xué)改革的熱點(diǎn)。此外，在教學(xué)方法上，存在的問(wèn)題主要表現(xiàn)為在授課過(guò)程中沒(méi)有應(yīng)用到計(jì)算機(jī)軟件（像Maple，Matlab，Mathematics）等去演示和仿真，這樣不利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)及應(yīng)用能力的培養(yǎng)和提高。

針對(duì)以上存在的問(wèn)題，本論文主要立意于改革《常微分方程》的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)模式。此項(xiàng)改革對(duì)于金融數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的發(fā)展有著重要的意義，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：第一，通過(guò)教學(xué)內(nèi)容重組和優(yōu)化可以減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，使學(xué)生具有明確的學(xué)習(xí)目標(biāo);第二，通過(guò)在授課過(guò)程中結(jié)合金融案例，可以幫助學(xué)生更好地理解《常微分方程》中的一些概念和理論，達(dá)到將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通的目的;第三，數(shù)學(xué)軟件的引入，提高了學(xué)生應(yīng)用理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，從而更深刻地理解所學(xué)的金融數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)問(wèn)題;第四，教學(xué)模式和教學(xué)方法的改革，尤其是讓學(xué)生參與教學(xué)過(guò)程，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及學(xué)習(xí)主動(dòng)性，從而培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力及整體素質(zhì)。因此，在本論文中提到的改革的實(shí)施將會(huì)使金融數(shù)學(xué)方向的學(xué)生成為學(xué)習(xí)能力、專(zhuān)業(yè)實(shí)踐和創(chuàng)新能力都較強(qiáng)的應(yīng)用型人才。

二、改革的具體措施

針對(duì)金融數(shù)學(xué)學(xué)生存在的上述問(wèn)題，本論文提出一些改革的具體措施：

（一）對(duì)原有《常微分方程》課程內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化重組、適當(dāng)刪減

1.將微分方程的解法歸納為一個(gè)部分，這部分內(nèi)容重于應(yīng)用

通過(guò)對(duì)一階、二階線性及非線性微分方程的講解，讓學(xué)生會(huì)求這類(lèi)微分方程的解。因?yàn)檫@部分內(nèi)容在《高等數(shù)學(xué)》中已有涉及，所以這部分內(nèi)容對(duì)于學(xué)生的學(xué)和教師的教都不具有挑戰(zhàn)性，但這部分內(nèi)容在實(shí)際應(yīng)用中卻發(fā)揮著舉足輕重的作用，因此，必須重視對(duì)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

2.把解的存在、唯一性定理、解的穩(wěn)定性作為第二部分

這部分內(nèi)容理論性較強(qiáng)，讓學(xué)生了解理論知識(shí)即可。對(duì)于難度大的定理的證明，不講證明過(guò)程，要求學(xué)生記住定理內(nèi)容，會(huì)應(yīng)用定理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。比如，延拓定理和解對(duì)初值的依賴性定理，我們只講直觀的幾何解釋?zhuān)恢v定理的證明，這樣既達(dá)到了教學(xué)大綱要求，又減輕了學(xué)生負(fù)擔(dān)，對(duì)此不可深入挖掘，否則會(huì)讓學(xué)生陷入?yún)拰W(xué)的狀態(tài)。

3.微分方程的應(yīng)用

這部分內(nèi)容是重點(diǎn)，學(xué)生一定要深入理解這部分內(nèi)容，并會(huì)利用理論知識(shí)理解和解決金融問(wèn)題。用解的穩(wěn)定性理論來(lái)預(yù)測(cè)現(xiàn)實(shí)中金融問(wèn)題的走向，作出正確的決策，進(jìn)而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)其勇于創(chuàng)新、敢于探索的意識(shí)。

（二）教學(xué)過(guò)程中加入一些《常微分方程》的金融背景介紹

適時(shí)用金融案例替換教材中涉及其他學(xué)科的案例，幫助學(xué)生理解金融問(wèn)題和《常微分方程》的關(guān)系;創(chuàng)設(shè)與教材的內(nèi)容相吻合的金融情境，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)基本理論和基本內(nèi)容。這樣既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能幫助學(xué)生明確金融方面的專(zhuān)業(yè)課和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的關(guān)系，進(jìn)而初步建立具有金融數(shù)學(xué)模型的思維方式。比如：在講微分方程的穩(wěn)定性時(shí)，可以引入一個(gè)生產(chǎn)子塊、貨幣子塊、證券子塊所組成的金融模型，并講明它所代表的具體意義。而且這個(gè)模型的系數(shù)在一定的范圍內(nèi)時(shí)，微分方程會(huì)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，也即經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)的不穩(wěn)定，無(wú)序，無(wú)規(guī)律性[2]。后續(xù)任課教師可以查找相關(guān)資料，找出大量的類(lèi)似案例進(jìn)行講解。

（三）引入數(shù)學(xué)軟件，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)應(yīng)用能力

對(duì)于實(shí)際的金融案例，通過(guò)金融背景知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型。分析此數(shù)學(xué)模型的實(shí)際意義，預(yù)測(cè)模型的穩(wěn)定性或其趨勢(shì)，進(jìn)而理解方程。引入Maple、Matlab、Mathematic等數(shù)學(xué)軟件對(duì)上述問(wèn)題求解析解，對(duì)金融數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，進(jìn)而作圖進(jìn)行數(shù)值仿真以驗(yàn)證預(yù)測(cè)的穩(wěn)定性或其趨勢(shì)是否正確。同時(shí)，通過(guò)利用軟件編程的過(guò)程，讓學(xué)生理解龍哥—庫(kù)塔迭代算法的本質(zhì)，也為學(xué)生學(xué)習(xí)《數(shù)值分析》課程奠定了基礎(chǔ)。進(jìn)而使學(xué)生能夠把所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決金融衍生資產(chǎn)定價(jià)、金融風(fēng)險(xiǎn)管理等問(wèn)題中去，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究解決問(wèn)題時(shí)所需的理解力、洞察力和想象力。此外，通過(guò)數(shù)學(xué)軟件的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生從復(fù)雜的影響因素中分析出關(guān)鍵因素并設(shè)計(jì)解決方案的基本能力，具備通過(guò)數(shù)值計(jì)算對(duì)金融問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值分析和檢驗(yàn)預(yù)測(cè)猜想的方案的能力[3]。

（四）讓學(xué)生參與教學(xué)以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性

當(dāng)前不少學(xué)校存在一個(gè)現(xiàn)象，學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性比較差，總是被教師牽著鼻子走。而教學(xué)活動(dòng)是教師指導(dǎo)下學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的過(guò)程，教與學(xué)是一個(gè)過(guò)程的兩個(gè)方面，二者相伴相隨。學(xué)生參與教學(xué)，就是要參與到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，教師利用好各個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，發(fā)揮他們的主觀能動(dòng)性。因而，為了鼓勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、培養(yǎng)自學(xué)能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和綜合能力，我們可以把相對(duì)平行的內(nèi)容單拿出來(lái)讓學(xué)生分組自己來(lái)講。引導(dǎo)學(xué)生從被動(dòng)學(xué)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)，從機(jī)械地聽(tīng)和記變?yōu)樽杂X(jué)地探索與思考，從根本上改變了目前許多學(xué)生“上課記筆記、下課抄筆記、考試背筆記、畢業(yè)扔筆記”的現(xiàn)狀，從而培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立求知和獨(dú)立思考、解決問(wèn)題的能力。最后，師生共同評(píng)議，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和自信心。

三、結(jié)語(yǔ)

對(duì)于如何在金融數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)中進(jìn)行《常微分方程》課程的教學(xué)，教師在上述改革的基礎(chǔ)上還需要不斷摸索適合本校學(xué)生的教學(xué)方法和教學(xué)目標(biāo)。而教學(xué)中融入金融數(shù)學(xué)案例的思想，不單單是課程的融入，更重要的是在學(xué)生思維中的鑲嵌[4]。在實(shí)踐中，教師們應(yīng)從常微分課程教學(xué)實(shí)際情況出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)去認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決實(shí)際金融問(wèn)題的能力，建立適合本校應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)模式。

參考文獻(xiàn)：

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責(zé)任編輯：張蕊