一道有趣不等式再探究

湖北省武漢市鋼城第十六中學(xué) (430080) 鄭 玲

安振平老師在文[1]中提出了30個(gè)有趣不等式，本文將對(duì)其中第29個(gè)不等式給出證明，同時(shí)對(duì)該問(wèn)題作進(jìn)一步探究，希望對(duì)讀者有所幫助.

該不等式為數(shù)學(xué)中著名的Weisenbock不等式，它也曾是第三屆國(guó)際中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題中的第2題，應(yīng)該說(shuō)，該不等式是三角形中的一個(gè)經(jīng)典不等式.對(duì)比上述第29個(gè)優(yōu)美不等式與Weisenbock不等式，不難看出二者有一定的相似性.那么對(duì)于一般的三角形“a2+b2+c2”與“3a2+3b2-c2”之間又有何種大小關(guān)系呢？

結(jié)論1ΔABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c,面積為S，

此式顯然成立.故ab+bc+ca≥

由結(jié)論1即知待證不等式成立.

類似地，我們不難得到如下類似的結(jié)論：

結(jié)論3ΔABC的三邊長(zhǎng)為a,b,c,面積為S，