基于平面向量的概念教學(xué)

從建華 王芳

【摘 要】數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的重要組成部分，平面向量中的概念有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和豐富的物理背景，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁。本文通過(guò)對(duì)平面向量高考題的多種解法，簡(jiǎn)要說(shuō)明概念教學(xué)的重要性，以及在教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】平面向量;概念教學(xué);核心素養(yǎng)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ?【文章編號(hào)】1671-8437（2020）04-0054-02

平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)，既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，更是高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)[1]。近年來(lái)，高考對(duì)向量知識(shí)的命題，既充分體現(xiàn)自身知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的命題形式多樣化，又保持與平面幾何或解析幾何相結(jié)合的命題思路，呈現(xiàn)出“綜合應(yīng)用、融會(huì)貫通”的特色，充分彰顯了平面向量的交匯價(jià)值。筆者下面就從高考真題的角度出發(fā)，詳細(xì)研討向量概念教學(xué)在高中教學(xué)中的重要作用。

解法解讀：本題是要求的值，這就讓我們聯(lián)想到“阿波羅尼斯圓”的相關(guān)結(jié)論，“已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足且不等于1的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱(chēng)阿氏圓”。由可以先設(shè)為定值，然后再利用題目條件研究點(diǎn)A的軌跡方程，兩個(gè)方程都表示點(diǎn)A的軌跡，最后求出的值。能夠逆用定理解決問(wèn)題，是對(duì)定理掌握的較高要求?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》里學(xué)業(yè)質(zhì)量水平二明確表示：“能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，抽象出一般的數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，確定運(yùn)算對(duì)象，轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)?！碑?dāng)然本題還有其他的坐標(biāo)法，譬如可以從不同角度建系：以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建系;或以E為原點(diǎn)，EC所在直線為x軸建系;又或假定AB，AC垂直，以A為原點(diǎn)建系等，然后通過(guò)聯(lián)立方程組求得直線的交點(diǎn)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得問(wèn)題的解[2]。

3 ? 教學(xué)策略與思考

向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本工具，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問(wèn)題的基礎(chǔ)。鑒于近幾年江蘇高考的要求，在高中平面向量的教學(xué)策略中要高度重視概念的教學(xué)，筆者有以下三點(diǎn)思考：

3.1 ?利用高考真題，剖析真題內(nèi)在涵義

高考真題是經(jīng)過(guò)多位專(zhuān)家教授認(rèn)真研究、反復(fù)推敲、不斷修改形成的，試題具有明確的導(dǎo)向性和選拔性。近幾年江蘇省高考試題中，平面向量占據(jù)重要的位置，2014年填空第12題考查了數(shù)量積;2015年填空第14題與三角數(shù)列融合一體;2016年填空第13題考查數(shù)量積;2017年填空第12題;2018年填空第12題與直線與圓合成一題，2019年第12題從向量的基底法（共線與基本定理）、平面幾何、解析幾何等幾個(gè)角度進(jìn)行了考查，題目看似單一，實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含的知識(shí)相當(dāng)多，綜合度、交匯度都很高，是一道很好的能力考查題.

3.2 ?借助課本原題，挖掘原題思想方法

高中數(shù)學(xué)教輔資料數(shù)不勝數(shù)，數(shù)學(xué)的“題海教學(xué)”也隨處可見(jiàn)。通過(guò)高考真題的訓(xùn)練，筆者認(rèn)為教材才是題根的真正來(lái)源，無(wú)論是高一高二的新課教學(xué)，還是高三的復(fù)習(xí)教學(xué)，都應(yīng)該緊緊圍繞教材，充分用好教材中每一個(gè)典型例題習(xí)題，深度挖掘其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，起到以一當(dāng)十，甚至以一當(dāng)百的效果。教材是專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)的積累、智慧的結(jié)晶，教師不僅自己、還要引領(lǐng)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行深度研究。近年來(lái)，課本原題或變式備受專(zhuān)家的青睞，在期末卷、模擬卷甚至高考卷中都能找到它們的影子.

3.3 ?滲透思想方法，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)

本題從表面上看考查的是向量知識(shí)，但究其根本不難發(fā)現(xiàn)平面幾何、解析幾何、軌跡思想等也融入其中，呈現(xiàn)出“綜合應(yīng)用，融會(huì)貫通”的特色，這是歷年高考考查的主要方向。因此，在平時(shí)的解題教學(xué)中，教師應(yīng)滲透數(shù)學(xué)思想方法，重視學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。筆者認(rèn)為在本題的教學(xué)中應(yīng)遵循以下教學(xué)流程：①采用常規(guī)方法——“基底法”讓學(xué)生體驗(yàn)基底運(yùn)算難易繁簡(jiǎn)，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng);②從平面幾何的角度尋找優(yōu)化解法，讓學(xué)生與前者比較，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng);③從研究動(dòng)點(diǎn)軌跡的角度發(fā)現(xiàn)“代數(shù)法”，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)中的美，知識(shí)間的大幅度跨越，數(shù)學(xué)思想方法的更替交換：代數(shù)→幾何→代數(shù)。三個(gè)流程體現(xiàn)了三個(gè)層次，對(duì)基礎(chǔ)較弱的學(xué)生講透流程一，讓其充分感受運(yùn)算的重要性;對(duì)基礎(chǔ)較好的學(xué)生重在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何圖形中的特殊位置關(guān)系，感受數(shù)形結(jié)合的優(yōu)美之處;對(duì)數(shù)學(xué)功底較好、探究精神較強(qiáng)的學(xué)生，可以讓其分析、思考隱藏在題目中的內(nèi)在聯(lián)系，充分挖掘其隱含條件，構(gòu)造“阿波羅尼斯圓”來(lái)解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2017.