基于Dirichlet-to-Neumann映射計算旋磁光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)*

楊華嬌， 胡真

(河海大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 211100)

光子晶體(Photonic Crystals)是一種新型的周期性人造材料，周期為光波長量級[1].光子晶體最重要的性質(zhì)之一是具有光子帶隙(Photonic Band Gap)，頻率落在光子帶隙范圍內(nèi)的光波將無法在光子晶體內(nèi)部進行傳播，從而光子晶體具有了控制光的傳播的能力，被制成各種光子晶體元件應(yīng)用于各個領(lǐng)域，如無損耗光波導(dǎo)[2]、高輻射亮度超微激光器[3]、高光電轉(zhuǎn)化效率薄膜光伏電池[4]等.

在過去的二十年中，對于二維光子晶體的研究主要集中在各向同性材料制成的光子晶體.近年來，人們發(fā)現(xiàn)基于旋磁各向異性材料制作的二維旋磁光子晶體具有更多特殊的性質(zhì).旋磁各向異性材料是指該材料的相對磁導(dǎo)率會隨著方向的變化而改變.利用二維旋磁光子晶體，Wang等設(shè)計并制作出了只能單向傳播的波導(dǎo)管[5-6]；He等設(shè)計了一種單向交叉波導(dǎo)分路器[7]；Chen等設(shè)計了一種無色散的慢光波導(dǎo)管[8].

分析設(shè)計二維旋磁光子晶體最基本的問題是計算旋磁光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu).計算帶隙結(jié)構(gòu)需要有效的數(shù)值方法，傳統(tǒng)的數(shù)值方法有：平面波展開法[9]、有限元法[10]、多重散射法[11]等等.但是這些方法各有不足：平面波展開法和有限元方法對于非色散介質(zhì)而言，建立的是線性特征值問題，但對于色散介質(zhì)建立的卻是非線性特征值問題；多重散射法需要格點求和技術(shù)，計算過程復(fù)雜.

近年來Lu等[15]提出了一種能有效分析各種光子晶體結(jié)構(gòu)的新的數(shù)值方法，叫作Dirichlet-to-Neumann(DtN)映射方法.單元晶格的DtN映射將單元晶格邊界上的波動場映射成邊界上的法向?qū)?shù)，通過DtN映射避免了在晶格內(nèi)部的離散，從而達(dá)到簡化運算的效果.DtN映射方法已經(jīng)被廣泛用于分析二維各向同性光子晶體結(jié)構(gòu)，

本文將DtN映射方法應(yīng)用于計算二維旋磁光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu).旋磁光子晶體的相對磁導(dǎo)率μ為一個矩陣，控制方程及不同介質(zhì)邊界面上的連續(xù)性條件均比較復(fù)雜，因此需要重新在旋磁光子晶體的單元晶格上構(gòu)造出相應(yīng)的DtN映射，再基于該DtN映射建立特征值問題來求解旋磁光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu).利用擴展的DtN映射建立的特征值問題以波數(shù)β的函數(shù)為特征值，以頻率ω為給定的參數(shù).通過旋磁光子晶體單元晶格的DtN映射，得到較小矩陣的特征值問題，且無論是色散介質(zhì)還是非色散介質(zhì)，該方法建立的特征值問題均為線性的.

1 基本方程

旋磁光子晶體的相對磁導(dǎo)率μ為3×3維的對稱矩陣

(1)

本文僅考慮二維問題，且只研究TE模式，利用Maxwell方程組，可得TE模式下的控制方程為

(2)

其中u為電場在z方向上的分量，是二維梯度算子，

2 二維旋磁光子晶體單元晶格的DtN映射

為了建立特征值問題來求解二維旋磁光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)，需要首先構(gòu)造出其單元晶格的DtN映射.單元晶格的DtN映射Λ將單元晶格邊界Γ上的波動場u映射成u在Γ上的法向?qū)?shù)，即

Λu|Γ=?vu|Γ

(3)

其中v表示邊界Γ上的單位法向量.旋磁光子晶體是由旋磁各向異性材料在空間中周期排列而構(gòu)成的人造材料，常用的周期排列方式有正方形、三角形和蜂巢狀三種(如圖1所示)；圖中線段框出的部分為對應(yīng)結(jié)構(gòu)的單元晶格，a為晶格常數(shù)，其中正方形和三角形周期排列的磁光子晶體的單元晶格都是只包含一個圓柱的晶格，他們的DtN映射可以直接構(gòu)造；蜂巢狀周期排列的旋磁光子晶體的單元晶格由三個小正六邊形晶格組成(兩個包含圓柱，一個不包含圓柱)，其DtN映射可以利用這三個小晶格的DtN映射構(gòu)造得到.

(a)正方形周期排列介質(zhì)柱型 (b)三角形周期排列薄板型 (c)蜂巢狀周期排列介質(zhì)柱型

圖1 旋磁光子晶體

Fig.1 Gyromagnetic photonic crystals

2.1 只包含一個圓柱的晶格的DtN映射

控制方程(4)在只含有一個圓柱的結(jié)構(gòu)上的通解u(x,y)可以用特解φj(r)eijθ的線性組合來表示，即

(4)

其中，cj為未知系數(shù)，(r,θ)是點(x,y)在極坐標(biāo)下的坐標(biāo)，φj(r)與Bessel函數(shù)Jj、Yj有關(guān)，表示為

(5)

Jj(q)Aj+Yj(q)Bj=Jj(s)

(6)

其中，s=k0n1a,q=k0n2a.

(7)

為了構(gòu)造晶格的DtN映射，還需要將通解u(x,y)的法向?qū)?shù)用特解法向?qū)?shù)的線性組合表示出來：

(8)

由(4)式和(8)式消去未知系數(shù)cj,從而得到只包含一個圓柱的晶格的DtN映射Λ.例如，假設(shè)在邊界Γ上共離散p個點(p為偶數(shù))，離散點的坐標(biāo)為(xk,yk),(rk,θk)為該點的極坐標(biāo)，其中k=1,2,…,p,則由(4)式得到

(9)

再由(8)式得到

(10)

將(9)和(10)改寫為矩陣形式

(11)

Λ=BAV-1

若在正邊形晶格的每條邊上離散N個點，則p=4N,Λ近似為(4N)×(4N)的矩陣；若在六邊形晶格的每條邊上離散N個點，則p=6N,Λ近似為(6N)×(6N)的矩陣.

2.2 不包含圓柱的晶格的DtN映射

對不包含圓柱的晶格而言，其DtN映射的構(gòu)造過程和包含圓柱的晶格的DtN映射構(gòu)造過程類似，唯一的區(qū)別在于方程(4)的特解更加簡單，為

φj(r)=Jj(k0nr)

2.3 蜂巢狀單元晶格的DtN映射

蜂巢狀單元晶格由兩個只包含一個圓柱的小晶格和一個不包含圓柱的小晶格組成.為了構(gòu)造出蜂巢狀單元晶格的DtN映射，需要先建立Ω2、Ω3(如圖2(c)所示)這兩個小晶格的DtN映射Λ(2)、Λ(3),再利用2.2節(jié)中介紹的方法構(gòu)造不包含圓柱的晶格Ω1的映射Λ(1).利用這三個小晶格的DtN映射可以在公共邊上建立如下方程：

A1V=A2U

(12)

其中，U為蜂巢狀單元晶邊界上的波動場，V為三條公共邊上的波動場.

蜂巢狀單元晶格邊界上波動場的法向?qū)?shù)可以由對應(yīng)小晶格的DtN映射得到

?vU=B1U+B2V

(13)

通過方程(12)和(13)消去公共邊上的波動場V,從而得到蜂巢狀單元晶格的DtN映射

3 特征值問題

構(gòu)造了二維旋磁光子晶體單元晶格的DtN映射之后，便可以建立求解旋磁光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的特征值問題.這一建立過程與求解各向同性光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的建立過程類似，其中求解正方形、三角形和蜂巢狀周期排列的各向同性光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的特征值問題分別在Yuan[16]、Yuan[17]和李靜[18]的文章中有詳細(xì)介紹.下文簡要介紹這一過程.

分析旋磁光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)，需要求解方程(4)在相應(yīng)結(jié)構(gòu)中的Bloch模式解：

u(x,y)=ei(αx+βy)Ψ(x,y)

其中，(α,β)為Bloch波矢，Ψ為周期函數(shù).

將在第2節(jié)中得到的單元晶格的DtN映射Λ按照單元晶格的邊數(shù)m進行分塊，使其每一個分塊均為N×N的矩陣，且記單元晶格每條邊上的波動場分別為u1,u2,…,um(正方形m=4；六邊形m=6,蜂巢狀m=12)，從而可將(3)式改寫為

(14)

再分別利用正方形、三角形和蜂巢狀周期排列的旋磁光子晶體的擬周期邊界條件和(14)式，便可以得到求解他們帶隙結(jié)構(gòu)的特征值問題.由于這三種結(jié)構(gòu)建立特征值問題的過程類似，只以正方形周期排列的旋磁光子晶體結(jié)構(gòu)為例說明此過程.

圖2 正方形周期排列旋磁光子晶體的布里淵區(qū)Fig.2 Brillouin zone of a square photonic crystals

正方形單元晶格的擬周期邊界條件為：

u3=ρβu1,?vu3=ρβ?vu1；u4=ραu2,?vu4=ρα?vu2

(15)

其中，ρα=eiαL,ρβ=eiβL.

將(13)式代入(12)式，便可得到求解正方形周期排列旋磁光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的特征值問題：

其中，I為單位矩陣，V=[λUT,UT]T,U=[u1,u2]T,特征值λ和矩陣M0、M1、M2的取值與正方形周期排列旋磁光子晶體的布里淵區(qū)有關(guān).

在ΓX、XM、MΓ邊上特征值λ與矩陣M0、M1、M2的取值分別如下所示：

(1)從Γ到X,λ=eiαa(0<α≤π/a)且

(2)從X到M,λ=eiβa(0<β≤π/a)且

(3)從M到Γ,λ=eiαa=eiβa(0<α=β≤π/a)且

建立求解三角形和蜂巢狀周期排列的旋磁光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)的特征值問題的過程與此類似，差別僅在于擬周期邊界條件以及相對應(yīng)的布里淵區(qū)略有不同.

4 數(shù)值算例

分別以正方形、三角形和蜂巢狀周期排列的二維旋磁光子晶體為例驗證方法的有效性，并且基于該方法優(yōu)化設(shè)計出了帶隙更寬的蜂巢狀周期排列的旋磁光子晶體.

4.1 正方形周期排列的介質(zhì)柱型旋磁光子晶體

首先計算二維正方形周期排列的介質(zhì)柱型旋磁光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu).Wang等用有限元法也計算過這一旋磁光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)，旋磁各向異性材料采用的是YIG材料[5].YIG的相對介電常數(shù)為εr=15,介質(zhì)柱半徑為r=0.11a,a為晶格常數(shù).當(dāng)外加磁場的作用下引發(fā)YIG強烈的各向異性，此時μr=14,μk=-12.4.計算結(jié)果如圖3所示，陰影部分表示光子帶隙，標(biāo)準(zhǔn)化頻率的帶隙范圍為[0.324 2,0.448]、[0.527,0.576]和[0.611,0.647 5],結(jié)果與Wang等一致.

圖3 計算結(jié)果 圖4 計算結(jié)果

4.2 三角形周期排列的薄板型旋磁光子晶體

接下來，計算二維三角形周期排列的薄板型旋磁光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu).Lu等用有限元法和平面波展開法計算過這一旋磁光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)，采用的旋磁材料也為YIG材料，材料參數(shù)與4.1中相同，且空氣洞半徑為r=0.44a[14].同樣，在外加磁場的作用下光子晶體磁化.計算結(jié)果如圖4所示，陰影部分表示光子帶隙，標(biāo)準(zhǔn)化頻率的帶隙范圍為[0.341 5,0.361 1],與Lu等一致.

4.3 蜂巢狀周期排列的介質(zhì)柱型旋磁光子晶體

最后，計算二維蜂巢狀周期排列的介質(zhì)柱型旋磁光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu).Ao等用多重散射法計算過這一旋磁光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)，采用的旋磁各向異性材料為鐵氧體，相對介電常數(shù)εm=15,介質(zhì)柱半徑r=0.2a(其中a=10 mm)[13].鐵氧體光子晶體被外加的恒定磁場沿+z方向飽和磁化后便會呈現(xiàn)出各向異性的性質(zhì)，其中H0=500 Oe,H0是外加磁場，4πMs=1 750 G(4πMs是飽和磁化強度

ω0=γH0是進動頻率(旋磁比γ=2.8×106rad·s-1·G-1).計算結(jié)果如圖5所示，第三條能帶和第四條能帶間的標(biāo)準(zhǔn)化的帶隙范圍為[0.252 9,0.272 5]，與Ao等一致.

由于蜂巢狀旋磁光子晶體的單元晶格由三個小正六邊形晶格構(gòu)成，所以有更多的結(jié)構(gòu)參數(shù)可供調(diào)整，特別適合進行優(yōu)化設(shè)計.下面嘗試對圖1(c)所示的蜂巢狀旋磁光子晶體結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，僅通過調(diào)整小晶格Ω2、Ω3中圓柱的半徑大小，來擴大其帶隙范圍.當(dāng)r2=r3=0.27 a時，得到了較寬的帶隙結(jié)構(gòu)，計算結(jié)果如圖6所示，第二條能帶和第三條能帶間的帶隙范圍擴大到了[0.221 3,0.257 5].

圖5 計算結(jié)果 圖6計算結(jié)果

5 結(jié) 語

擴展了DtN映射方法，建立了二維旋磁光子晶體單元晶格的DtN映射，并將其用于計算正方形、三角形及蜂巢狀周期排列的旋磁光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)，方法避免了在單元晶格內(nèi)部的離散，只需要在邊界上進行離散，從而得到矩陣較小的特征值問題，且計算快速并易于調(diào)整參數(shù)，非常有利于優(yōu)化設(shè)計出具有更寬帶隙的二維旋磁光子晶體.目前考慮的旋磁光子晶體都是由圓柱周期排列構(gòu)成的，柱體的截面均為圓形，所以可以使用柱面波展開法來構(gòu)造DtN映射，接下來將進一步研究非圓柱構(gòu)成的旋磁光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)，如柱體的截面為三角形、橢圓等其他形狀，這時需要重新設(shè)法來構(gòu)造單元晶格的DtN映射.此外，還可以研究三維旋磁光子晶體的帶隙結(jié)構(gòu)，比如在有限厚度的板上周期性的挖取空氣洞形成的結(jié)構(gòu)等.