一類非Newton微極流體方程組強(qiáng)解的存在唯一性

史偉偉, 王長佳, 高艷超

(長春理工大學(xué) 理學(xué)院, 長春 130022)

1 引言與主要結(jié)果

微極流體模型[1]是對經(jīng)典Navier-Stokes方程的推廣, 它考慮了流體顆粒的微觀結(jié)構(gòu).物理上, 微極流體可表示由懸浮在黏性介質(zhì)中的剛性隨機(jī)取向粒子組成的流體[2], 如懸浮液、潤滑劑、動物血液以及液晶流體等.

令Ω?n(n=2,3)為一光滑有界區(qū)域, 考慮如下非Newton微極流體方程組的Dirichlet問題:

(1)

對于系統(tǒng)(1), 若p=2, 則其退化為經(jīng)典的Newton型微極流體模型, 關(guān)于其存在唯一性的研究目前已有很多結(jié)果[3-7]; 若p≠2, 則系統(tǒng)(1)成為非Newton微極流體模型.Araújo等[8]通過結(jié)合使用Galerkin方法與緊性方法證明了其弱解的存在性, 并討論了解的唯一性與周期性結(jié)果； 文獻(xiàn)[9]在二維光滑有界區(qū)域上討論了其解的漸近性, 并證明了系統(tǒng)拉回吸引子的存在性以及關(guān)于黏性系數(shù)的上半連續(xù)性.

(2)

引入空間

對于q>r>n和δ>0, 用Bδ表示下列凸集：

‖(ξ,η)‖1,q,r∶=max{‖ξ‖1,q,‖η‖1,r}.

定義1如果下列積分等式成立:

則稱u∈Vp,w∈W01,q(Ω)為問題(1)的弱解.

本文主要結(jié)果如下.

2 引 理

引理1[10]設(shè)m≥-1為一個整數(shù),Ω?n(n=2,3)為一個有界區(qū)域, 邊界?Ω∈Ck, 其中k=(m+2,2)+.則對?ψ∈Wm,ρ(Ω), 方程組

存在唯一解[u,π]∈Wm+2,ρ(Ω)×Wm+1,ρ(Ω), 且估計式

‖u‖m+1,ρ+‖π‖m+1,ρ/≤Cm‖ψ‖m,ρ

成立, 其中Cm=Cm(n,ρ,Ω)是一個正常數(shù).

引理2[11]設(shè)rp,γp由式(2)給出, 定義函數(shù)G:+→如下：

G(δ)=Aδ2-δ+EδH(δ)+D,

其中A,E,D是正常數(shù), H(x)=x2rp(1+x)(p-4)+.如果不等式

AD+ED2rp(1+D)(p-4)+≤γp

成立, 則G至少有一個根δ0, 且δ0>D.此外, 對每個β∈[1,2], 下列估計式成立：

‖T(u)-T(v)‖Y≤K‖u-v‖Y, ?u,v∈B, 0

則T在B上存在唯一不動點.

3 主要結(jié)果的證明

下面應(yīng)用不動點定理(引理3)給出定理1的證明.首先, 將問題(1)重寫如下：

(4)

(5)

T: (ξ,η)→(u,w).

下面證明對某個δ0>0,T為一個Bδ0到其自身的壓縮映射.

(6)

證明: 設(shè)(ξ,η)∈Bδ.由引理1知u∈V2,q, 且有

(7)

對式(7)右端各項, 首先有

(8)

其次由文獻(xiàn)[11]中推導(dǎo), 可得

(9)

綜合式(7)～(9)可得

其中

另一方面, 由文獻(xiàn)[13]知, 存在常數(shù)c1>0, 使得

其中

不妨假設(shè)δ≤1, 若使T(Bδ)?Bδ, 則需使下列條件成立：

(11)

AD+ED2rp(1+D)(p-4)+≤γp,

在引理2中取β=2, 又可得

其次, 將式(11)中第二個不等式寫為

(12)

如果判別式

即

則存在δ使得式(12)成立.

取常數(shù)D滿足δ-

由于對每個δ∈[δ-,δ+]都有式(12)成立, 故可取δ2∈(δ-,D), 使得下式成立：

綜上, 得

因此, 取δ0=δ1, 有T(Bδ0)?Bδ0.

其中:

首先, 由引理1, 有

對式(14)右端項, 首先有

(15)

根據(jù)文獻(xiàn)[11]中推導(dǎo)又有

(16)

(17)

綜合式(14)～(17)可得

(18)

其中

M3=max{CC-1(Cp+1),CC-1Cp(Cpq+1)1/q,CC-1}.

另一方面, 由文獻(xiàn)[13]知存在c2>0, 使得

對式(19)右端各項計算可得

(20)

(21)

綜合式(19)～(22)可得

(23)

其中

結(jié)合式(18)與式(23)可得