壓桿失穩(wěn)引起的振動分析

尚仁杰

(中冶建筑研究總院有限公司 北京 100088)

引言

壓桿廣泛應(yīng)用在各類結(jié)構(gòu)中，壓桿最關(guān)鍵的問題是整體穩(wěn)定問題。歐拉最早提出了細(xì)長壓桿失穩(wěn)變形的彈性曲線問題，并用橢圓積分表示了細(xì)長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線方程的精確解，目前，求解壓桿穩(wěn)定的方法有很多[1,2]，但是，基本都是求解靜力問題，或者是動態(tài)屈曲研究[3-5]，很少去研究失穩(wěn)的動力過程[6-8]，而實際工程中失穩(wěn)都伴隨著突然的變形，引起強(qiáng)烈的振動。

對于軸向受壓的細(xì)長彈性理想直桿，給桿件以微小側(cè)向干擾使其稍微彎曲，則在去掉干擾后會出現(xiàn)兩種不同情況：當(dāng)軸向受壓較小時，壓桿最終恢復(fù)其原有直線形狀；當(dāng)軸向受壓較大時，干擾會引起壓桿側(cè)向振動，并離開直線位置?？梢姡谳S向壓力逐漸增大的過程中，壓桿經(jīng)歷了兩種不同性質(zhì)的平衡狀態(tài)：穩(wěn)定直線平衡態(tài)和不穩(wěn)定直線平衡態(tài)。理想軸心壓桿，當(dāng)軸向壓力小于臨界荷載Fcr時，壓桿保持直線穩(wěn)定平衡，見圖1b的OA段；當(dāng)壓力超過Fcr時，桿件既可以在直線平衡段AC，也可以在彎曲平衡段AD，AC段是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，任何微小的擾動都會使其離開直線段AC而失去穩(wěn)定，兩種平衡的臨界點A對應(yīng)的荷載就是臨界荷載Fcr。由于壓桿在AC段積累了應(yīng)變能，失穩(wěn)時應(yīng)變能的釋放會引起壓桿的側(cè)向振動。失穩(wěn)往往伴隨著突跳[9]，是瞬間的、快速的，本文就是研究從AC段不穩(wěn)定直線平衡態(tài)失穩(wěn)引起的振動以及失穩(wěn)過程的時間。

圖1 壓桿及F-w示意Fig.1 Compressive bar and equilibrium path curve

1 壓桿失穩(wěn)過程微分方程

假設(shè)受壓桿長度為2L，如圖1所示，兩端靠位移加載，加載到一定程度后控制兩端的位置不動，分析壓桿的穩(wěn)定性，以及失穩(wěn)的過程。

壓桿失穩(wěn)后產(chǎn)生側(cè)向彎曲變形，變形后曲線方程可按式(1):

(1)

其中：w(t)為壓桿中間點側(cè)向位移值，是時間的函數(shù)。

壓桿各點側(cè)向位移速度為：

(2)

壓桿變形曲線各點斜率為：

(3)

壓桿變形曲線各點曲率為：

(4)

t時刻，壓桿側(cè)向運(yùn)動的動能：

(5)

壓桿失穩(wěn)彎曲后曲線微段長度：

(6)

壓桿曲線長度：

壓桿長度變化：

(7)

失穩(wěn)過程壓桿界面彎矩為：

(8)

根據(jù)歐拉公式，壓桿的臨界荷載為：

(9)

設(shè)壓桿壓力達(dá)到臨界值的α倍，即：

(10)

0時刻，壓桿還未彎曲變形時，軸向壓縮的應(yīng)變能為：

(11)

t時刻，失穩(wěn)側(cè)向彎曲過程中彎曲應(yīng)變能可根據(jù)式(8)積分得到：

(12)

t時刻，壓縮應(yīng)變能：

(13)

(14)

根據(jù)能量守恒：

EMt+EPt+EKt=EP0+Ek0

(15)

(16)

(17)

(18)

2 失穩(wěn)過程振動分析

將方程(18)簡化為：

(19)

2.1 無擾動，

①當(dāng)α<1時，只有零解，w(t)=0。

②當(dāng)α=1時，也只有零解，w(t)=0，原因是兩端有軸向約束，要失穩(wěn)，需要軸向壓縮變形才可以。這與一般的臨界荷載時失穩(wěn)有些不同。

(α-1)aw2(t)-bw4(t)=0

(20)

(21)

壓桿達(dá)到新平衡位置時軸向變形新增：

壓桿內(nèi)力為：

(22)

重新達(dá)到臨界軸力Fcr。

2.2 有微小擾動，為微小量

①當(dāng)α<1時:

(23)

②當(dāng)α=1時：

(24)

壓桿失穩(wěn)后找到一個新的平衡位置w(t2)，達(dá)到w(t1)后開始返回。

從失穩(wěn)開始到振動到最大位置的時間可通過數(shù)值積分[10]得到：

(25)

由此可以計算出失穩(wěn)過程的時間。

3 算例

鋼壓桿，截面圓管，外徑100mm，壁厚5mm，長度2L=10m，彈性模量E=2×1011N/m2，截面積A=1.492×10-3m2,截面慣性矩I=1.688×10-6m4，線密度m=11.71kg/m。

臨界荷載：

α=1.25時，得到:

α=1.5時，得到:

α=2時，得到:

圖2 壓桿失穩(wěn)過程相圖Fig.2 Phase diagram of buckling of the bar

圖3 壓桿失穩(wěn)過程時間-位移圖Fig.3 Displacement-time curve of buckling of the bar

臨界力Fcr=3.332×104N對應(yīng)的應(yīng)力為22.4MPa，10m長壓桿壓縮變形為1.12mm，加載采用位移控制加載，α=2對應(yīng)的桿件壓縮為2.24mm，如果加載在0.1s內(nèi)壓力達(dá)到α=2，壓桿在α=1前失穩(wěn)時由于來不及產(chǎn)生足夠的側(cè)向變形，壓力會繼續(xù)增大到α=2，積累應(yīng)變能，隨后產(chǎn)生側(cè)向振動，側(cè)向振動能量耗散后達(dá)到平衡位置，軸向力仍為Fcr；如果緩慢加載，壓桿會在臨界力前側(cè)向失穩(wěn)，來不及加載到α=2而產(chǎn)生大幅度彎曲，軸向力保持為Fcr。

4 結(jié)論

本文通過能量守恒推導(dǎo)了理想壓桿失穩(wěn)動力學(xué)過程的微分方程，通過微分方程分析和算例分析，可得到以下結(jié)論：

1.控制壓桿兩端位移的情況下，失穩(wěn)過程微分方程可表達(dá)為：

2.當(dāng)軸向壓力不大于臨界荷載時，振動為平衡位置的自由振動；

4.壓桿失穩(wěn)過程的位移-時間曲線見圖3，軸向壓力越大，失穩(wěn)速度越快。

需要說明的是，本文是假設(shè)兩端位移控制加載，當(dāng)用荷載控制加載時，失穩(wěn)過程會有所不同。