立足“章首語”,教好“章引言課”——以蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材為例石志群(江蘇省泰州市教研室,225300)
摘要:蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材的章首語,是基于“章引言課”的基本構(gòu)想(目標(biāo))設(shè)計(jì)的。由此出發(fā),對章引言課的教學(xué)建議有:發(fā)現(xiàn)解決章首語提出的初始問題的問題鏈,得到本章內(nèi)容框架;多角度認(rèn)識章首語給出的基礎(chǔ)結(jié)論,形成本章知識系統(tǒng);聯(lián)想章首語給出的類比對象,設(shè)計(jì)本章內(nèi)容架構(gòu);運(yùn)用章首語提出的思想方法,確定本章研究框架。
關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);章引言課;教材;章首語
傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中,往往是一節(jié)課一個(gè)情境,使得數(shù)學(xué)內(nèi)容之間缺少聯(lián)系。比如,教學(xué)“三角函數(shù)”一章(主題或單元),由跳水中的旋轉(zhuǎn)動(dòng)作、鐘表的校正等引入任意角,由角度制引入弧度制,由銳角三角函數(shù)引入任意角的三角函數(shù)……各小節(jié)(課時(shí))的內(nèi)容孤立地存在。其結(jié)果是學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)散點(diǎn)化,數(shù)學(xué)能力得不到有效提升,數(shù)學(xué)觀念難以系統(tǒng)形成。
“章引言課”(基于主題或單元教學(xué)整體設(shè)計(jì)理念的教材中一章的起始課)的基本構(gòu)想(目標(biāo))是:讓學(xué)生在一章內(nèi)容的學(xué)習(xí)之初,就能了解本章內(nèi)容的背景,經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程,明確本章內(nèi)容的邏輯起點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上,經(jīng)歷概略性問題的解決過程,建構(gòu)本章內(nèi)容的整體研究背景、研究方法、知識體系以及價(jià)值觀念、思想方法,從而促使學(xué)生全面、系統(tǒng)地認(rèn)識本章內(nèi)容。
蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材(2019年版)的章首語正是基于這樣的構(gòu)想設(shè)計(jì)的。引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真研讀章首語,從整體視角認(rèn)識一章的知識結(jié)構(gòu),為本章的學(xué)習(xí)提供恰當(dāng)?shù)摹跋刃薪M織者”,是非常有必要的。本文由此出發(fā)談?wù)剬φ乱哉n的教學(xué)建議,以供參考。
一、發(fā)現(xiàn)解決章首語提出的初始問題的問題鏈,得到本章內(nèi)容框架
有些章首語基于一定的現(xiàn)實(shí)背景,提出了本章初始的“大問題”(主問題)。通過對大問題的概略性研究,可以發(fā)現(xiàn)解決大問題的系列子問題(具有邏輯關(guān)系的問題鏈),由此可以得到本章的內(nèi)容框架(研究的核心內(nèi)容、目標(biāo)定位)。這就是章引言課的基本形態(tài)。
例如,必修第二冊第9章《平面向量》的章首語為:
冬天到了,大雪過后,白雪皚皚。如果你穿上滑雪板,站在被雪覆蓋的、平滑的斜坡上(如圖1),你會(huì)感到有一個(gè)力拉著你向下滑行。而且,斜坡越陡,這個(gè)力就越大,下滑的加速度也越大。
同樣地,把木塊放置在光滑的斜面上(如圖2),木塊將向下滑動(dòng)。斜面的坡度越大,木塊下滑的加速度也越大。
這些運(yùn)動(dòng)中含有哪些物理量?
用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫這些物理量?
怎樣運(yùn)用這樣的數(shù)學(xué)模型去解決問題?
通過對滑雪原型的物理模型(斜面上放置的木塊)的受力、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析,可以得到力、加速度、速度、位移等物理量。通過對這些物理量的數(shù)學(xué)抽象,可以引出本章第1節(jié)內(nèi)容——“向量概念”。
類比數(shù)量,可以確定第1節(jié)研究的主要內(nèi)容:什么叫向量(概念)、相等向量(同一性標(biāo)準(zhǔn))?向量之間有什么關(guān)系?……
數(shù)學(xué)對象,尤其是“量”(如數(shù)量),都能進(jìn)行運(yùn)算。而物理中的力有合力、位移有合位移……也就是說,向量也能進(jìn)行運(yùn)算。由此引出本章第2節(jié)內(nèi)容——“向量運(yùn)算”。
類比數(shù)量,以力、位移等為原型,從合力、合位移等可以概括出向量的加法、減法運(yùn)算;由加數(shù)相同時(shí)的特殊加法想到相等的向量的加法,可以得到向量的“乘法”運(yùn)算(數(shù)與向量相乘);由數(shù)與數(shù)相乘想到向量與向量相乘,那么可以找到怎樣的物理原型?由此可以建立怎樣的向量乘法運(yùn)算?
向量既有大小,又有方向,說明其除了幾何特征,還有代數(shù)特征,那么如何用代數(shù)語言刻畫(表示)向量?在這種代數(shù)語言下,向量的關(guān)系、運(yùn)算如何刻畫(表示)?這便是本章第3節(jié)內(nèi)容——“向量基本定理及坐標(biāo)表示”。
從向量的原型(來源)和向量的特征分析,向量可以在哪些方面有所應(yīng)用?這便是本章第4節(jié)內(nèi)容——“向量應(yīng)用”。
……
至此,本章的知識體系自然形成了(見圖3)。
與此同時(shí),本章知識建構(gòu)的方法也基本明確:通過對物理原型進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,形成相應(yīng)的概念、表示、運(yùn)算等。
這里需要說明的是,因?yàn)橹皇歉怕孕缘难芯?,所以,框架中的?nèi)容不能過細(xì),不能將后續(xù)具體內(nèi)容的教學(xué)放在引言課上展開。要根據(jù)過程展開的需要確定研究到什么層次,例如“向量概念”中需要研究哪些內(nèi)容是可以討論的——如“什么是向量”“向量如何表示”“向量的同一性(相等向量)”“向量的關(guān)系”等內(nèi)容,但這些內(nèi)容具體是什么是不需要研究的。
二、多角度認(rèn)識章首語給出的基礎(chǔ)結(jié)論,形成本章知識系統(tǒng)
有些章首語基于一定的知識背景,給出了本章的基礎(chǔ)結(jié)論(核心關(guān)系)。從不同的角度認(rèn)識(推演)這一結(jié)論(關(guān)系),便可以形成本章的知識系統(tǒng)(具有邏輯聯(lián)系、體現(xiàn)內(nèi)在關(guān)聯(lián)的一組知識內(nèi)容及其結(jié)構(gòu))。這也是章引言課的基本形態(tài)。
例如,必修第一冊第4章《指數(shù)與對數(shù)》的章首語為:
在初中,我們就知道了
a-n=1an(a≠0,n∈N)。
這樣,指數(shù)冪的概念中,指數(shù)的范圍就從正整數(shù)拓展到了負(fù)整數(shù)。自然地,我們想知道:指數(shù)冪中的指數(shù)的范圍能否再拓展呢?
例如,a12有意義嗎?
設(shè)想將整數(shù)指數(shù)運(yùn)算aman=am+n(m、n∈Z)進(jìn)行推廣。
令m=n=12,得
a12·a12=(a12)2=a12×2=a=a12+12。
這說明,如果將a12看成一個(gè)數(shù),那么它是a的平方根。用同樣的思路,我們可以獲得anm(m、n∈N,m≠0)的意義。
這樣,我們將指數(shù)冪ab中指數(shù)b的范圍從正整數(shù)推廣到負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)。
更一般地,
對一般的實(shí)數(shù)b,ab的意義是什么?
這一章首語給出了本章研究的核心問題(指數(shù)冪中的指數(shù)的范圍能否再拓展)、基礎(chǔ)結(jié)論(aman=am+n)以及研究案例和思路。由此出發(fā),可以先看a13、a14、a15……(即分子為1的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪),就要知道什么叫3次方根、4次方根等,需要對“根式”進(jìn)行推廣。有了這樣的基礎(chǔ),就可以對一般的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行意義建構(gòu),并進(jìn)一步將指數(shù)b推廣到一般的實(shí)數(shù)。既然當(dāng)b為任意實(shí)數(shù)時(shí),ab都有意義,那么,若ab=N,則b與a、N之間的關(guān)系是什么?——對數(shù)。
于是,本章的知識系統(tǒng)形成了(見圖4)。
類似、相關(guān)地,必修第一冊第6章《冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》的章首語如下:
等式23=8給出了三個(gè)數(shù)2、3、8之間的一種關(guān)系,用符號抽象后可表示為
ab=N。
在ab=N中,如果給定a、b、N中的兩個(gè)數(shù),那么ab=N就成為以另一個(gè)數(shù)為未知數(shù)的方程,如:
23=x,
x3=8,
2x=8。
對此,我們已分別學(xué)習(xí)了乘方、開方運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算。
進(jìn)一步,在ab=N中,如果只給定a、b、N三個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù),那么ab=N就成為另兩個(gè)數(shù)之間的“函數(shù)關(guān)系”,如:
x3=y,
2x=y,
2y=x。
上述x、y的關(guān)系中,可得到怎樣的函數(shù)模型?
這些函數(shù)有哪些性質(zhì)和應(yīng)用?
這一章首語給出的本章研究的核心問題是由冪的關(guān)系式可以得到怎樣的函數(shù)模型,基礎(chǔ)結(jié)論是ab=N。
三、聯(lián)想章首語給出的類比對象,設(shè)計(jì)本章內(nèi)容架構(gòu)
有些教學(xué)內(nèi)容與之前的教學(xué)內(nèi)容存在較強(qiáng)的相似性,如立體幾何與平面幾何、空間向量與平面向量。這些內(nèi)容的章首語便給出了可以類比的學(xué)習(xí)對象。相應(yīng)的章引言課便可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、類比對象,運(yùn)用知識體系的內(nèi)在關(guān)系,設(shè)計(jì)本章內(nèi)容架構(gòu)。
例如,選擇性必修第二冊第6章《空間向量》的章首語為:
在《數(shù)學(xué)(必修)第二冊》中,我們學(xué)習(xí)了平面向量,研究了平面向量的運(yùn)算、平面向量基本定理及平面向量的坐標(biāo)表示,運(yùn)用平面向量知識解決了數(shù)學(xué)和物理中的一些問題。然而,在現(xiàn)實(shí)生活中,許多涉及大小和方向的問題不僅出現(xiàn)在平面中,也經(jīng)常出現(xiàn)在空間中。例如,吊車吊載物體,飛機(jī)降落,火箭發(fā)射……
空間向量是如何運(yùn)算的?
怎樣用向量解決空間圖形的相關(guān)問題?
基于這一章首語,本章引言課的教學(xué)思路非常明確。平面向量中研究了哪些問題?平面向量有哪些應(yīng)用?類比到空間向量,其知識架構(gòu)自然就明確了:空間向量的概念、表示(幾何表示與代數(shù)表示)、運(yùn)算(幾何形式與代數(shù)形式)、應(yīng)用。平面向量可以用來研究平行、垂直等位置關(guān)系,求距離、角等數(shù)量,空間向量自然也要研究這些問題。于是,空間向量的內(nèi)容架構(gòu)就是將平面向量的相應(yīng)內(nèi)容“平移”過來。教學(xué)時(shí),將這個(gè)“平移”過程交給學(xué)生就行了(具體過程不再贅述)。
四、運(yùn)用章首語提出的思想方法,確定本章研究框架
數(shù)學(xué)的知識體系與其思想方法是密切相關(guān)的。有些章首語便提出了相關(guān)的研究思想方法,相應(yīng)的章引言課便可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用思想方法,獲得研究思路,確定本章研究框架。
例如,必修第一冊第3章《不等式》的章首語為:
在自然界和社會(huì)生活中,存在著大量的相等關(guān)系、不等關(guān)系、函數(shù)關(guān)系。我們曾經(jīng)用等式(包括方程)刻畫一些相等關(guān)系,用不等式刻畫一些不等關(guān)系,用函數(shù)刻畫一些函數(shù)關(guān)系,研究了等式、不等式、函數(shù)所具有的性質(zhì),并應(yīng)用這些性質(zhì)去解決問題。
在研究的過程中,我們看到,相等關(guān)系與不等關(guān)系是緊密聯(lián)系的。例如,一元一次方程ax+b=0與一元一次不等式ax+b>0,在結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、解法等方面就具有很大的相似性。
我們還看到,等式、不等式、函數(shù)之間也是緊密聯(lián)系的。例如,一元一次方程ax+b=0、一元一次不等式ax+b>0與一次函數(shù)y=ax+b之間具有“統(tǒng)一性”:從函數(shù)觀點(diǎn)看,一元一次方程ax+b=0的解就是一次函數(shù)y=ax+b的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),一元一次不等式ax+b>0的解集就是一次函數(shù)y=ax+b的圖像在x軸上方部分的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)x所成的集合。
當(dāng)然,我們還會(huì)遇到更多的、更一般的涉及不等關(guān)系的問題。面對新的問題,我們可以嘗試?yán)蒙鲜鼋鉀Q問題的方法,去分析問題、解決問題。例如,
不等式具有哪些性質(zhì)?
怎樣從函數(shù)觀點(diǎn)解決不等式、方程的問題?
基于這一章首語,本章引言課的教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生通過回顧反思的方式,從結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、解法等方面研究一元一次方程、一元一次不等式及一次函數(shù)之間的關(guān)系,并由這種關(guān)系明確本章要研究的內(nèi)容:等式研究了哪些內(nèi)容?不等式是否要研究相應(yīng)的內(nèi)容?已經(jīng)研究了哪些不等式?還可以研究哪些不等式?研究一元一次方程時(shí)運(yùn)用的思想方法是什么?研究其他類型的方程是否可以運(yùn)用這種思想方法?研究不等式問題是否可以運(yùn)用這種思想方法?……最終,確定本章的研究框架。
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