初中數(shù)學(xué)模型解題教學(xué)初探

郜淑杰

所謂數(shù)學(xué)模型就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)符號(hào)、語言或圖形，表示出研究對(duì)象的主要特征、關(guān)系的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)模型既包含幾何圖形，也包含數(shù)量關(guān)系，還可以是一些固化的解題思路、步驟.模型解題教學(xué)是引領(lǐng)學(xué)生深入學(xué)習(xí)的方法之一.下面舉例說明.

一、模型解題可以使學(xué)生解決問題有方法

模型解題的優(yōu)勢(shì)是通過建立模型，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，進(jìn)而有效解決問題.

例1 如圖，點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y=1x（x>0）和y=-4x（x>0）的圖像上，若OA⊥OB，則tan∠OAB的值為（ ?）.

A.2 ? B.2 ? C.3 ? D.4

解析：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)的知識(shí).構(gòu)造一線三垂直模型是本題的突破點(diǎn).要求tan∠OAB，就要求OBOA，而OB與OA都是斜線段，很容易想到過點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥y軸于點(diǎn)D，構(gòu)造出一線三垂直模型，設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是a，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)是b，表示出OC、OD，利用相似得到ab=2，而正好等于ab，得到答案.

二、模型解題可以使學(xué)生養(yǎng)成把條件聯(lián)系起來思考的整體思維

把事情聯(lián)系起來看的整體思維在現(xiàn)實(shí)生活中作用很大，它可以更客觀地反映事物的本質(zhì).而模型解題能讓學(xué)生很好地體驗(yàn)條件之間的相互作用.

例2 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，過頂點(diǎn)A的直線DE//BC，

∠ABC、∠ACB的平分線分別交DE于點(diǎn)E、D，若AC=6，BC=10，求DE的長是多少？

解析：此題難度不大，關(guān)鍵點(diǎn)在于“角平分線+平行線=等腰三角形”這個(gè)模型的應(yīng)用，求出線段的長度.在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AB=10;然后由平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)推知∠E=∠ABE，則AB=AE.同理可得，AD=AC，所以線段DE的長度轉(zhuǎn)化為線段AB、AC的和.

三、模型解題把知識(shí)模塊化

模塊化的知識(shí)，易于理解記憶，獲取通性通法.往往懂一題，曉一類，通一片.模塊化的知識(shí)使學(xué)習(xí)變得更系統(tǒng)和深入.

例3 某年“國慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個(gè)人都要發(fā)一個(gè)紅包，并保證群內(nèi)其他人都搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動(dòng)，群內(nèi)所有人共收到90個(gè)紅包，則該群一共有（ ?）.

A.9人 ?B.10人 ?C.11人 ?D.12人

解析：做題時(shí)，先讓學(xué)生分析此題相當(dāng)于是單循環(huán)賽還是雙循環(huán)賽的問題.你可以搶我的紅包，我也可以搶你的紅包，相當(dāng)于主場(chǎng)互動(dòng)一次，客場(chǎng)又互動(dòng)一次，所以是雙循環(huán)賽.那么，就根據(jù)雙循環(huán)賽的思路或公式列出等量關(guān)系解決問題.

四、模型解題可以發(fā)展學(xué)生思維的創(chuàng)新性和系統(tǒng)性

授之以魚不如授之以漁.反思解法，探索解題規(guī)律的學(xué)習(xí)方法，可以讓師生在歸納中有頓悟、有發(fā)現(xiàn).

例4 已知：在三角形ABC和△BEF中，∠ABC=∠EBF=30°.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在斜邊AB上，點(diǎn)F在BC邊上時(shí)，連接AF，取AF得中點(diǎn)M，連接ME，MC，則ME與MC的數(shù)量關(guān)系是，∠EMC=.

（2）如圖2，將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)F在斜邊AB上，（1）中的其他條件不變，請(qǐng)問（1）中的ME與MC的數(shù)量關(guān)系仍然成立嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

解析：（1）用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可證.（2）把共端點(diǎn)的兩個(gè)直角三角形各自沿各自的直角邊翻折成為等腰三角形，就形成等線段共端點(diǎn)模型，然后證明全等，由中位線定理證明結(jié)論.

通過對(duì)此題的分析，我們?cè)诘染€段共端點(diǎn)證明全等、等線段共端點(diǎn)證明相似的基礎(chǔ)上，又發(fā)展了“等線段共端點(diǎn)反向直角三角形”模型，豐富了這一類型題的基礎(chǔ)模型，使學(xué)生對(duì)題目之間的內(nèi)在聯(lián)系和互相轉(zhuǎn)化又有了一次直觀而深刻的體驗(yàn)，發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新思維.

注：本文系2019年度河南省基礎(chǔ)教育教學(xué)研究項(xiàng)目《基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)模型解題教學(xué)研究》（課題編號(hào)JCJYC19030513）研究成果.