一道幾何題的解法研究

朱永

平面幾何問(wèn)題一直是中考的熱點(diǎn)，一般從大家常見(jiàn)的幾何圖形中提出問(wèn)題，并通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探索，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律.題目新穎，難度較大.因此，在平時(shí)學(xué)習(xí)中，如果能對(duì)幾何題進(jìn)行適度挖掘，嘗試一題多解的訓(xùn)練，往往可以獲得一些有價(jià)值的解法，進(jìn)而提高自己的推理和探究能力.本文就一道平面幾何題，進(jìn)行多角度分析，給出多種解法，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助.

題目：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線CF于F，求證：AE=EF.

思路一：運(yùn)用截取法，構(gòu)造結(jié)論中兩條線段所需的全等三角形，通過(guò)已知條件轉(zhuǎn)化出全等三角形所需的判定條件，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證出結(jié)論.

解法一：在AB上取一點(diǎn)M，使得AM=CE，連接EM.

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠B=90°，AB=BC，∠DCG=90°.

∴∠MAE+∠AEB=90°.

∵∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠CEF=90°.

∴∠MAE=∠CEF.

∵AB=BC，AM=CE，

∴BM=BE.

∴∠BME=∠BEM=45°.

∴∠AME=135°.

∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°，

∴∠DCF=45°.

∴∠ECF=135°.

在△AME和△ECF中，∠MAE=∠CEF，AM=EC，∠AME=∠ECF，

∴△AME≌△ECF（ASA）.

∴AE=EF.

思路二：運(yùn)用延長(zhǎng)法，構(gòu)造全等三角形和平行四邊形，利用等量代換證出結(jié)論.

解法二：延長(zhǎng)AB至點(diǎn)M，使得BM=BE，連接EM、CM.

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC.

在△ABE與△CBM中，AB=CB，∠ABE=∠CBM=90°，BE=BM，

∴△ABE≌△CBM（SAS）.

∴AE=CM，∠AEB=∠CMB.

∵∠MBC=90°，BM=BE，

∴∠BEM=45°.

∴∠MEC=135°.

∵∠DCG=90°，CF平分∠DCG，

∴∠DCF=45°.

∴∠FCE=135°.

∵∠FCE=∠MEC=135°，

∴ME∥CF.

∵∠ECM=90°-∠CMB，∠FEC=90°-∠AEB，

∴∠ECM=∠FEC.

∴EF∥MC.

∴四邊形MEFC為平行四邊形.

∴CM=EF.

∵CM=EF，AE=CM，

∴AE=EF.

思路三：運(yùn)用四點(diǎn)共圓，得到A、E、C、F四點(diǎn)在以AF為直徑的圓上，利用同弧所對(duì)的圓周角相等，得出△AEF為等腰直角三角形，從而證出結(jié)論.

解法三：連接AC、AF.

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACD=45°.

∵∠DCG=90°，CF平分∠DCG，

∴∠DCF=45°.

∴∠ACF=∠ACD+∠DCF=45°+45°=90°.

∴∠ACF=∠AEF=90°.

∴A、E、C、F四點(diǎn)在以AF為直徑的圓上.

∵AE=AE，

∴∠AFE=∠ACE=45°.

∴△AEF為等腰直角三角形.

∴AE=EF.

一道多解有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，能夠使學(xué)生在面對(duì)問(wèn)題時(shí)快速找到解決問(wèn)題的切入口.因此，教師在進(jìn)行教學(xué)過(guò)程中，要加強(qiáng)一題多解的訓(xùn)練，提高學(xué)生的解題效率.