積分變換中的一題多解

崔漢哲 上海電機學(xué)院

一、引言

積分變換是工科與應(yīng)用技術(shù)型高校機電工程類各專業(yè)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程。如自動化或自動控制專業(yè)，要應(yīng)用拉普拉斯變換進行線性系統(tǒng)的分析；計算機網(wǎng)絡(luò)專業(yè)，要應(yīng)用傅里葉變換與小波變換進行信息壓縮，等等。積分變換的先修課程是微積分和復(fù)變函數(shù)。學(xué)生的基礎(chǔ)如果不夠扎實，積分變換的學(xué)習(xí)就會遇到相應(yīng)的困難。因此教師在教學(xué)中要靈活運用各種方法，以求良好的教學(xué)效果。積分變換的核心問題是求各類時域函數(shù)的積分變換和頻域函數(shù)的逆變換。對于相同的函數(shù)，求變換或逆變換的方法往往不止一種，各有千秋。因此在教學(xué)中，教師可以通過一題多解，使學(xué)生對前后所學(xué)內(nèi)容互相比較、融會貫通，進而牢固掌握知識，提高能力。以下舉例說明。

二、實例

解法一：查表法。對于簡單或較典型的函數(shù)，Laplace變換表中已經(jīng)羅列了相關(guān)結(jié)論。例如，查教材[1]149頁的附錄二“Laplace變換簡表”，第九項為。令a=1，等式兩邊同除以2，便得。

查表法的優(yōu)點在于簡單易行，只需大致了解積分變換的概念即可使用。缺點在于，很多具體的應(yīng)用場合，函數(shù)形式千變?nèi)f化，很可能并非表中的情形。因此首先需要將函數(shù)變形，或利用積分變換的性質(zhì)做轉(zhuǎn)換，然后才能查表。這也是為什么需要進一步學(xué)習(xí)、掌握積分變換基本性質(zhì)的原因。

解法二：留數(shù)法。這是求拉普拉斯逆變換的標(biāo)準(zhǔn)方法。例如根據(jù)教材[1]95頁的定理，若s→∞時，F(xiàn)(s)→0，那么F(s)的逆變換是函數(shù)在其所有奇點處的留數(shù)之和。本題中滿足定理條件，且奇點為i 與-i 。于是根據(jù)定理和復(fù)變函數(shù)課程中的留數(shù)計算法則，

留數(shù)法的優(yōu)點在于適用范圍廣，課程中遇到的幾乎所有頻域函數(shù)都可用它求逆變換。因此各種教材中對此方法進行了詳細的介紹和分析。而對學(xué)生來說，難點主要在于，本方法首先要求學(xué)生具有良好的復(fù)變函數(shù)知識基礎(chǔ)。而近年來，我國某些院校在教學(xué)改革的大背景下，不同程度削減了各類數(shù)學(xué)課程的學(xué)分和課時。如將《復(fù)變函數(shù)與積分變換》由原先的48學(xué)時減為32學(xué)時。如此一來，復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)內(nèi)容勢必被刪除。學(xué)生沒有學(xué)過留數(shù)，自然無法用留數(shù)法求拉普拉斯逆變換。于是學(xué)習(xí)掌握其它求逆變換的方法就非常有必要。

解法三：卷積法。卷積是時域和頻域信號的主要運算之一。在積分變換課程中，卷積也是計算逆變換的重要方法。根據(jù)教材[1]102頁的卷積定理，頻域函數(shù)乘積的逆變換是各自逆變換的卷積。于是有。最后用卷積定義計算卷積，得。

卷積法的優(yōu)點是直接。絕大多數(shù)情況下，都可以很容易把頻域函數(shù)看成兩個函數(shù)的乘積，進而使用本方法。對部分學(xué)生，難點主要在于最后計算卷積時，積分有時并不太容易。因此，教師在講授本方法時可以和大一微積分的內(nèi)容相結(jié)合，做到溫故知新。

解法四：有理函數(shù)化部分分式法。積分變換中，所遇到的頻域函數(shù)絕大多數(shù)情況下是有理函數(shù)。因此可先將其化成部分分式之和，對部分分式的每一項先求逆變換，最后相加即得原頻域函數(shù)的逆變換。本題中，可知部分分式共有四項。若采用機械的待定系數(shù)法求部分分式，則待定系數(shù)的個數(shù)為四個，計算量較大。通過仔細觀察F(s)的分子分母，可以采用逐項拼湊的方法求出最后的部分分式，計算相對簡便。即有

本方法的優(yōu)點是不需要過多的準(zhǔn)備知識。如果學(xué)生如果沒學(xué)過留數(shù)，則本方法就是求拉普拉斯逆變換的主要方法。而另一方面，如果頻域函數(shù)的表達式較復(fù)雜，分子分母多項式的冪次較高，則本方法的計算過程就會相對繁瑣冗長。因此何時采用本方法，需要靈活應(yīng)對。

解法五：利用拉普拉斯變換的性質(zhì)。仔細觀察頻域函數(shù)的表達式，可以發(fā)現(xiàn)。由此聯(lián)想到拉普拉斯變換的頻域微分性質(zhì)，例如教材[1]83頁的（2.6）式，有。將其應(yīng)用于本題，直接可得。

本方法的優(yōu)點是巧妙簡潔，幾乎一步推導(dǎo)就可以求出逆變換。但前提是學(xué)生要熟練掌握拉普拉斯變換的性質(zhì)，并有一定的悟性和觀察力，對學(xué)生的能力要求較高。一般學(xué)生可能并不適用該方法。因此在教學(xué)中，本方法可以作為提高內(nèi)容，留給學(xué)有余力的學(xué)生練習(xí)。

三、總結(jié)

由以上實例可見，在積分變換的教學(xué)中運用一題多解，可使學(xué)生整合先修課程和本課程、及本課程中的前后所學(xué)知識，開闊思路，融會貫通。不同層次的學(xué)生最后都可得到能力的鍛煉和水平的提高，從而取得良好的教學(xué)效果。