模糊測(cè)度的零連續(xù)性

譚潯曉，張承坤，徐鶴萍，李軍

(中國(guó)傳媒大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與智能媒體學(xué)院，北京 100024)

1 引言

1954 年，法國(guó)數(shù)學(xué)家G.Choquet提出了容度(capacity)的概念，定義了一種基于容度的非線(xiàn)性積分，現(xiàn)稱(chēng)為Choquet積分[4]。1974年日本學(xué)者Sugeno提出了模糊測(cè)度和模糊積分的概念[16]，用于模糊數(shù)學(xué)中的模糊評(píng)判。所謂Choquet容度或模糊測(cè)度是通過(guò)公理定義在某個(gè)集合系統(tǒng)上的一類(lèi)特殊的集合函數(shù)，不要求可加性。因此，它是概率測(cè)度的推廣，在不同領(lǐng)域分別被稱(chēng)為容度、模糊測(cè)度、非可加測(cè)度、單調(diào)測(cè)度和非可加概率等，見(jiàn)文獻(xiàn)[4]，[5]，[12]，[14]，[16]和[17](本文中我們將統(tǒng)稱(chēng)為模糊測(cè)度)。上世紀(jì)七十年代以來(lái)，模糊測(cè)度的研究日益受到人們的重視。特別是近二十多年，人們?cè)谀：郎y(cè)度和相應(yīng)的非線(xiàn)性積分研究領(lǐng)域取得了豐富成果(見(jiàn)文獻(xiàn)[5]，[6]，[7]，[10]，[15]和[17])。

由于模糊測(cè)度失去了經(jīng)典測(cè)度(或概率)理論中賴(lài)以生存的可加性，因此，經(jīng)典測(cè)度理論中的許多結(jié)果在模糊測(cè)度理論中已不再成立。為了將經(jīng)典測(cè)度理論中的結(jié)果推廣到模糊測(cè)度情形，需要對(duì)模糊測(cè)度附加一些新的結(jié)構(gòu)，即討論具有一些特殊結(jié)構(gòu)特性的模糊測(cè)度，如：次可加性、超可加性、上(下)連續(xù)性、序連續(xù)性、零可加、弱零可加、上(下)自連續(xù)性和正則性等。在一定的條件下，經(jīng)典測(cè)度的許多重要結(jié)果在模糊測(cè)度空間上得到了有效的推廣(見(jiàn)文獻(xiàn)[5]，[6]，[7]，[10]，[15]，[17]，[20])。

基于模糊測(cè)度的非線(xiàn)性積分，如Choquet積分[4]，Sugeno積分[16]，Shilkret積分[15]，泛積分(參見(jiàn)文獻(xiàn)[19]，Sugeno積分和Shilkret積分是它的特例)以及近幾年引入的凹積分[7]是幾類(lèi)重要的非線(xiàn)性積分。對(duì)這些積分的研究人們也取得了豐碩的成果。經(jīng)典勒貝格積分的基本性質(zhì)和許多重要定理也被推廣到了非線(xiàn)性積分理論中(見(jiàn)文獻(xiàn)[6]，[7]，[14]，[17])。

本文中，我們將進(jìn)一步討論模糊測(cè)度的零連續(xù)性，它是與上(下)連續(xù)性、序連續(xù)性和上(下)自連續(xù)性不同的結(jié)構(gòu)特性。我們給出一些例子說(shuō)明模糊測(cè)度的零連續(xù)性與其它幾個(gè)常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)特性，如：上(下)連續(xù)性、序連續(xù)性、零可加性和弱零可加性之間的關(guān)系。我們將看到模糊測(cè)度的零連續(xù)性是比下連續(xù)性更弱的一個(gè)條件。我們將要證明：如果模糊測(cè)度是零連續(xù)的，那么上述的積分的唯一性對(duì)于一般的泛積分(從而對(duì)于Sugeno積分和Shilkret積分)和Choquet積分也是成立的。因此，先前得到的相關(guān)結(jié)果得到了進(jìn)一步推廣。最后，我們利用可測(cè)函數(shù)的收斂性刻畫(huà)模糊測(cè)度的零連續(xù)性，給出零連續(xù)性的幾個(gè)等價(jià)條件。

2 預(yù)備知識(shí)

f=0a.e.于A(當(dāng)X=A時(shí)，簡(jiǎn)記為f=0a.e.)；如果μ({x∈X：f=+∞}∩A)=0，則稱(chēng)f在A上幾乎處處有限，記作f<∞a.e.于A(當(dāng)X=A時(shí)，簡(jiǎn)記為f<∞a.e.)。

(1)若μ(φ)=0且μ(X)>0；

在許多文獻(xiàn)中，模糊測(cè)度也被稱(chēng)為容度、單調(diào)測(cè)度、非可加測(cè)度或非可加概率。

我們陳述以下一些概念(參見(jiàn)文獻(xiàn)[5][9][14][17]).

模糊測(cè)度μ稱(chēng)為

當(dāng)⊕=+，即泛加法等于通常的算術(shù)加法時(shí)，上述“次泛可加”、“泛可加”和“σ-泛可加”分別退化為經(jīng)典測(cè)度論中的次可加、有限可加和σ-可加概念。

明顯地，單調(diào)測(cè)度的零可加性和可數(shù)弱零可加性均蘊(yùn)含著弱零可加性；σ-泛可加性蘊(yùn)含著泛可加性和可數(shù)弱零可加性。

性質(zhì)2.1如果μ是次泛可加的，那么μ是零可加的，從而μ也是弱零可加的。

μ(A∪B)≤μ(A)⊕μ(B)

=μ(A)⊕0

=μ(A).

另一方面，由μ的單調(diào)性μ(A∪B)≥μ(A)，故

μ(A∪B)=μ(A).

因此μ是零可加的。

性質(zhì)證畢。

性質(zhì)2.2如果μ是σ-泛可加的，那么μ是下連續(xù)的。

證明：與經(jīng)典測(cè)度相應(yīng)結(jié)論的證明類(lèi)似。

3 模糊測(cè)度的零連續(xù)性

下面我們回顧模糊測(cè)度的零連續(xù)的概念(參見(jiàn)文獻(xiàn)[1])。

以下例子說(shuō)明不是每個(gè)單調(diào)測(cè)度都是零連續(xù)的。

明顯地，我們有以下性質(zhì)

性質(zhì)3.1如果模糊測(cè)度μ是下連續(xù)的，那么μ是零連續(xù)的。

然而性質(zhì)3.1的逆命題不一定為真。以下例子說(shuō)明單調(diào)測(cè)度的零連續(xù)條件確比下連續(xù)條件弱。

例3.2設(shè)X=(自然數(shù)集)，=(X)，令定義μ：→[0，1]如下：

的當(dāng)且僅當(dāng)μ同時(shí)是零連續(xù)和弱零可加的。

由性質(zhì)2.2可得：

性質(zhì)3.2如果模糊測(cè)度μ是零連續(xù)的，那么模糊測(cè)度μ就是弱零可加的。

性質(zhì)3.3如果μ是σ-泛可加的，那么μ是零連續(xù)的。從而μ的σ-泛可加性蘊(yùn)含著μ的零連續(xù)性。

性質(zhì)3.4[1]如果μ是弱零可加和強(qiáng)序連續(xù)的，那么μ是零連續(xù)的。

性質(zhì)3.5如果μ是零可加和序連續(xù)的，那么μ是零連續(xù)的。

注1.以下例子說(shuō)明強(qiáng)序連續(xù)性和弱零可加性沒(méi)有必然的蘊(yùn)含關(guān)系。

例3.3設(shè)X=(自然數(shù)集)，=(X)，令定義集函數(shù)μ：→[0，1]如下：

不難看出，上述例3.3中的單調(diào)測(cè)度μ是零連續(xù)的(從而，由性質(zhì)3.2可知μ是可數(shù)弱零可加的)。注意μ不是強(qiáng)序連續(xù)的；同時(shí)注意到例3.1中的單調(diào)測(cè)度μ不是零連續(xù)的，但不難驗(yàn)證它是強(qiáng)序連續(xù)的。即說(shuō)明零連續(xù)性和強(qiáng)序連續(xù)性沒(méi)有必然的蘊(yùn)含關(guān)系。

注2.零連續(xù)性與弱零可加性沒(méi)有必然的蘊(yùn)含關(guān)系。

例3.4設(shè)X=(自然數(shù)集)，=(X)，定義定義單調(diào)測(cè)度μ：→[0，1]，如下：

其中符號(hào)|A|表示集合A中元素的個(gè)數(shù)。容易看出μ是弱零可加的。不難驗(yàn)證，單調(diào)測(cè)度μ不是零連續(xù)的。

那么μ是零連續(xù)的。但μ不是弱零可加的(從而也不是零可加的)。

注3.零連續(xù)性與零可加性也沒(méi)有必然的蘊(yùn)含關(guān)系。

下面我們回顧最優(yōu)測(cè)度的概念(參見(jiàn)文獻(xiàn)[7]).

μ(A∪B)≥μ(A)⊕μ(B).

性質(zhì)3.7μ是零連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)μ⊕是零連續(xù)的。

4 泛積分的唯一性

下面我們回顧非負(fù)可測(cè)函數(shù)的泛積分的定義.

和Shilkret積分[15]：

泛積分有以下基本性質(zhì)(可參見(jiàn)文獻(xiàn)[11][13][17][18]).

證明：(1)參見(jiàn)文獻(xiàn)[17]。

(2)令

An=μ({f>1/n}∩A)=0，n=1，2，3，…，

那么

由性質(zhì)4.1，對(duì)每一個(gè)n=1，2，…，可得

即

由泛乘法的公理性質(zhì)(參見(jiàn)文獻(xiàn)[17])可得μ(An)=0，n=1，2，3，…。因?yàn)棣淌橇氵B續(xù)的，所以μ({f>0}∩A)=0，即f在A上幾乎處處為零。

定理證畢。

作為定理4.1的特例，我們即可得到文獻(xiàn)[13][16]中的結(jié)果：

推論4.2[17]若μ是下連續(xù)的，則

定理4.1表明在模糊測(cè)度是零連續(xù)的假定下，

5 Choquet積分的唯一性

Choquet積分是一類(lèi)重要的非線(xiàn)性積分，它的定義如下(見(jiàn)文獻(xiàn)[4][14][17])：

其中右邊的積分是關(guān)于α的黎曼積分，α∈[0，∞)。

Choquet積分有以下基本性質(zhì)(可參見(jiàn)文獻(xiàn)[15][17]).

對(duì)于Choquet積分也有與泛積分類(lèi)似的結(jié)果。

證明：(1)見(jiàn)文獻(xiàn)[15][17]。

由假設(shè)μ是零連續(xù)的，從而μ({x：f(x)>0}∩A=0。即得f=0 a.e.于A.

定理證畢。

作為定理5.1的特例，我們即可得到文獻(xiàn)[17]中的結(jié)果：

由定理4.1和5.1可得以下結(jié)果：

(1)f在A上幾乎處處等于零，即f=0 a.e.于A；

最后我們利用可測(cè)函數(shù)的收斂性刻畫(huà)單調(diào)測(cè)度的零連續(xù)性，給出零連續(xù)性的幾個(gè)等價(jià)條件。

定理5.2設(shè)(X，A，μ)是一個(gè)單調(diào)測(cè)度空間，以下幾個(gè)條件等價(jià)：

(1)μ是零連續(xù)的；

證明：我們僅證(1)?(2)，其余可類(lèi)似證明。

(2)?(1)：任取{An}?A，An↗A，且μ(An)=0，n=1，2，...。令fn=XAn，f=XA(XAn，XA分別表示An和A的特征函數(shù))，那么fn=0 a.e.且fn↗f，由條件(2)有f=0 a.e.，即XA=0 a.e.，亦即μ(A)=0。

證畢。

6 結(jié)論

本論文中，我們討論了模糊測(cè)度的零連續(xù)性，正象我們已經(jīng)看到的，模糊測(cè)度的零連續(xù)性是比下連續(xù)性更弱的一個(gè)條件。在零連續(xù)的條件下我們證明了勒貝格積分的唯一性對(duì)于一般的泛積分和Choquet積分仍然成立(定理4.1和5.1)。這樣，作為泛積分特例的Sugeno積分和Shilkret積分也有相同的結(jié)果。因此，人們先前得到的相關(guān)結(jié)果(參見(jiàn)文獻(xiàn)[17])得到了進(jìn)一步推廣。最后，我們揭示了模糊測(cè)度的零連續(xù)性和可測(cè)函數(shù)的收斂性之間有緊密聯(lián)系(定理5.2)。

再進(jìn)一步的研究中，我們將問(wèn)題的討論集中到凹積分[7]的情形，考察凹積分的相關(guān)性質(zhì)。