常微分方程大觀

巴英

摘 要：常微分方程定位于數(shù)學(xué)專業(yè)課程中的基礎(chǔ)課，屬于應(yīng)用型的學(xué)科。本文詳細(xì)介紹了該學(xué)科的特征、發(fā)展史、實(shí)用性以及和其它學(xué)科的緊密聯(lián)系，以期最大程度地輔助教學(xué)。

關(guān)鍵詞：常微分方程;通解;特解;奇解;初值問題

1 常微分方程是怎樣的一門學(xué)科

從傳統(tǒng)的代數(shù)方程出發(fā)，到超越方程，再到隱函數(shù)方程，對(duì)應(yīng)于方程的解，則從有限的個(gè)別數(shù)值，到離散的無窮個(gè)數(shù)值，再到解為連續(xù)的函數(shù)，可以說復(fù)雜化程度越來越高。

更加一般化的方程，是含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程，稱之為微分方程。有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，在獲得諾貝爾獎(jiǎng)的自然科學(xué)家中，他們的論文中有20% 用了微分方程作為解決問題的工具，可見微分方程應(yīng)用之廣泛。在微分方程中，如果自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，即是常微分方程。常微分方程的通解，已經(jīng)不再是單一的函數(shù)，而是函數(shù)族，它含有獨(dú)立常數(shù)，而且獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)一致。

總體而言，常微分方程屬于數(shù)學(xué)分析這一分支基礎(chǔ)上的學(xué)科，同時(shí)也定位于眾多數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)課程中的基礎(chǔ)課。

2 常微分方程的發(fā)展史

常微分方程大約有三百年左右的歷史，理論上幾乎和微積分同步，但雛形甚至比微積分還略早一些。直到18世紀(jì)中期，它才成為一門獨(dú)立的學(xué)科。

從時(shí)間跨度上進(jìn)行劃分，大約把常微分方程的發(fā)展分為一下幾個(gè)階段：

2.1 17世紀(jì)前后

當(dāng)牛頓和萊布尼茲奠定微積分基本思想的同時(shí)，就已經(jīng)正式提出了常微分方程。事實(shí)上，牛頓作為一個(gè)偉大的物理學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)的很多定律本質(zhì)上都是常微分方程，比如動(dòng)力學(xué)中的萬有引力定律、牛頓第二定律以及熱學(xué)中的牛頓冷卻定律等等，全部可以用一階或二階的常微分方程表示出來。物理學(xué)里，還有相當(dāng)多的定律也都類似，比如電學(xué)中的基爾霍夫第二定律，以RLC振蕩電路為例，最后就是劃歸為一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性方程。

常微分方程與物理學(xué)有如此淵源，以至于美國(guó)數(shù)學(xué)家M.克萊因曾經(jīng)這樣總結(jié)，常微分方程是17、18世紀(jì)時(shí)在直接回答物理問題過程中興起的 。

2.2 17到18世紀(jì)

這個(gè)階段，常微分方程的中心問題就是尋求通解表達(dá)式，很多大數(shù)學(xué)家投入其中。比如貝努力得到了分離變量法和換元法，分離變量法成為解決常微分方程最基本的方法，而換元法拓展了新的可積類型。歐拉則給出了積分因子法，這個(gè)方法理論上可以統(tǒng)領(lǐng)已有的解一階方程的方法;此外歐拉還解決了常系數(shù)齊線性方程的求解問題，這是整個(gè)常微分方程解決最徹底之處，從通解結(jié)構(gòu)到具體演算堪稱完美，而以歐拉名字命名的歐拉方程，本質(zhì)上是非線性的，僅僅通過變量替換就轉(zhuǎn)化為線性方程了;另外歐拉折線法，雖然未達(dá)到數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化的標(biāo)準(zhǔn)，但卻為以后的解的存在性論證以及數(shù)值計(jì)算提供了重要途徑。達(dá)朗貝爾論證了非齊次線性方程的疊加原理。拉格朗日發(fā)現(xiàn)了常數(shù)變易法，這個(gè)常微分方程自身特有的方法橫貫學(xué)科全程?？巳R羅給出了全微分方程的充要條件，也討論了奇解，尤其是以自己名字命名的克萊羅方程，其通解和奇解都非常特殊。

17到18世紀(jì)，作為常微分方程發(fā)展的起步階段，數(shù)學(xué)家的工作基本停留在追求初等解上，所能解決的常微分方程類型不可避免地有局限性。

2.3 19世紀(jì)

隨著時(shí)間的推移，數(shù)學(xué)家們逐漸感受到能夠初等積分法求出方程精確解的情況越來越有限。1841年，劉維爾證明了黎卡提方程

一般情況下不能用初等積分法求解，而該方程屬于最簡(jiǎn)單的一類一階非線性方程。這一結(jié)論，某種程度上類似于代數(shù)學(xué)里，伽羅瓦證明五次和五次以上的代數(shù)方程一般情況下沒有根式解，伽羅瓦的工作對(duì)于代數(shù)學(xué)的影響是里程碑式的，它結(jié)束了求根公式的系列夢(mèng)想，同時(shí)開創(chuàng)了新的學(xué)科抽象代數(shù)。劉維爾的結(jié)論在常微分方程領(lǐng)域里，同樣產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，數(shù)學(xué)工作者的注意力不得不由初期的初等解，轉(zhuǎn)而尋求方程的近似解，于是常微分方程的近似計(jì)算和定性研究誕生。恰在此時(shí)，數(shù)學(xué)分析正在經(jīng)歷嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng)，數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化的代表人物柯西首先給出了常微分方程初值問題解的存在唯一性定理證明，開創(chuàng)了用復(fù)變函數(shù)論研究常微分方程的先河，解析理論由此誕生。

19世紀(jì)，屬于常微分方程理論基礎(chǔ)得到奠定和夯實(shí)的階段。

2.4 20世紀(jì)前后到現(xiàn)在

19世紀(jì)后半葉到20世紀(jì)初，常微分方程的核心問題在于定性理論和穩(wěn)定性理論，其代表人物是龐加萊和李雅普諾夫。其中，龐加萊的論文《微分方程所定義的積分曲線》側(cè)重于利用幾何和拓?fù)涞挠^點(diǎn)探討問題，李雅普諾夫的論文《運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問題》則偏重于用嚴(yán)格的分析方法研究解的穩(wěn)定性。這一切，為常微分方程的后繼發(fā)展的兩個(gè)大方向打造了模板。

德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特曾經(jīng)提出過經(jīng)典的二十三個(gè)數(shù)學(xué)問題，其中第十六個(gè)問題是關(guān)于定性理論中的極限環(huán)個(gè)數(shù)的研究，這對(duì)定性理論的發(fā)展起了極大的促進(jìn)作用。20世紀(jì)30年代，由于戰(zhàn)爭(zhēng)的需要，迫使無線電技術(shù)亟待更新拓展，極限環(huán)（孤立的周期解）理論獲得最新的實(shí)際應(yīng)用。

20世紀(jì)初，伯克霍夫開創(chuàng)了新領(lǐng)域動(dòng)力系統(tǒng)理論，20世紀(jì)中葉后得到蓬勃發(fā)展。此外非線性振動(dòng)理論、變換群理論等等在這個(gè)時(shí)期也得到發(fā)展。20世紀(jì)60年代，計(jì)算機(jī)技術(shù)加入，常微分方程的發(fā)展迎來新時(shí)期。這個(gè)時(shí)期和常微分方程關(guān)聯(lián)的重大發(fā)現(xiàn)有混沌和孤立子。洛倫茲方程關(guān)于混沌現(xiàn)象的結(jié)論引起巨大振動(dòng)，孤立子探討則將常微分方程可積性的研究推向高潮。

3 常微分方程的邊緣理論和交叉學(xué)科

常微分方程理論并非孤軍奮戰(zhàn)，一旦和其它領(lǐng)域的學(xué)科結(jié)合起來，便迅速演繹出了許多新的邊緣理論和交叉學(xué)科。從常微分方程出發(fā)，我們會(huì)去觸碰隨機(jī)微分方程、泛函微分方程、脈沖微分方程、廣義微分方程、以及時(shí)標(biāo)微分方程。和生物學(xué)結(jié)合，便有了種群生態(tài)學(xué)。分支理論和各種控制論的由來也是異曲同工。

4 常微分方程的實(shí)用性

既然常微分方程誕生于回答物理學(xué)問題，那么它注定會(huì)廣泛地應(yīng)用于物理學(xué)中。事實(shí)上，采用無窮小方法研究物質(zhì)運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的，建立數(shù)學(xué)模型后很多都?xì)w結(jié)為常微分方程。于是，常微分方程的求解理論和方法，同樣還能夠應(yīng)用于許多其他學(xué)科，比如工程技術(shù)科學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、化學(xué)、醫(yī)學(xué)甚至藝術(shù)等等。1967年，卡內(nèi)基-梅隆大學(xué)的科學(xué)家們，利用常微分方程計(jì)算出放射性元素的半衰期，然后通過油畫顏料成分的比對(duì)，科學(xué)地鑒定出油畫的真?zhèn)巍?002年，西安交大馬知恩教授的團(tuán)隊(duì)，根據(jù)北京和太原的非典臨床數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)常微分方程的定性理論，成功地得到和事實(shí)十分接近的結(jié)論。

5 結(jié)束語

可以確定的是，在未來世界里，常微分方程仍將是不可或缺的角色。讓我們重視常微分方程的理論研究，進(jìn)一步深入地推動(dòng)它的實(shí)際應(yīng)用，以便它能更好地、更廣泛地為其它學(xué)科所用，從而造福人類。

參考文獻(xiàn)

[1]王高雄等.常微分方程（第三版）[M].高等教育出版社，2006.

[2]M.克萊因.古今數(shù)學(xué)思想[M].上海教育出版社，1985.

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