存在需求轉(zhuǎn)移的多產(chǎn)品報(bào)童模型研究

王巖巖，張騫騫，閔杰

(安徽建筑大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 合肥 230601)

0 引言

報(bào)童模型(Newsvendor Model)作為一個(gè)考慮隨機(jī)需求問(wèn)題的庫(kù)存模型，具有季節(jié)性，單周期等特點(diǎn)。自1956年報(bào)童模型被首次提出之后，大量學(xué)者對(duì)其進(jìn)行研究和拓展，并將其廣泛應(yīng)用于票務(wù)、報(bào)刊、生鮮的采購(gòu)決策等生活實(shí)際問(wèn)題。秦軍昌[1]基于隨機(jī)的替代數(shù)量關(guān)系，研究了單周期可替代品的庫(kù)存模型。王圣東等[2]基于兩階段需求獨(dú)立和兩階段需求相關(guān)兩種不同情形，建立了一般隨機(jī)需求下兩次訂購(gòu)的決策模型，給出了零售商的最優(yōu)期望利潤(rùn)和最優(yōu)訂購(gòu)量。汪小京[3]針對(duì)多種類顧客需求，分析了報(bào)童模型中的庫(kù)存分配問(wèn)題。Gerard[4]研究了市場(chǎng)出清價(jià)格對(duì)最優(yōu)訂貨策略的影響。吳鵬[5]在經(jīng)典報(bào)童模型的基礎(chǔ)上，研究回收再制造環(huán)境下最優(yōu)生產(chǎn)量的決策問(wèn)題。Chen和Ho[6]通過(guò)研究具有模糊需求和增量數(shù)量折扣的單期報(bào)童問(wèn)題，給出最優(yōu)的訂貨策略。陳志剛等[7]基于零售商具有需求信息的預(yù)測(cè)更新能力，建立了報(bào)童模型并給出最優(yōu)訂貨策略的求解算法，分析了雙渠道訂貨環(huán)境下零售商在正常渠道和緊急渠道的訂購(gòu)決策。劉航[8]針對(duì)季節(jié)性商品，分別考慮了供應(yīng)商提供或不提供價(jià)格折扣下零售商的最優(yōu)定價(jià)訂購(gòu)策略。李園和侯玉梅[9]通過(guò)定義帶有消費(fèi)者參考價(jià)格效應(yīng)的平均銷售庫(kù)存因子彈性，研究了隨機(jī)需求性和參考價(jià)格對(duì)具有乘項(xiàng)需求報(bào)童模型結(jié)果的影響，得出最優(yōu)訂貨量及最優(yōu)銷售價(jià)格的閉形式解。

而在實(shí)際生活中，消費(fèi)者不僅僅面對(duì)單一產(chǎn)品。當(dāng)消費(fèi)者傾向購(gòu)買的產(chǎn)品存在缺貨時(shí)，消費(fèi)者可選擇相似顏色、功能、樣式、尺寸的產(chǎn)品作為替代而非放棄購(gòu)買，這種消費(fèi)者需求轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象也稱為客戶需求驅(qū)動(dòng)替代[10-11]。例如，百事可樂(lè)與可口可樂(lè)、佳能相機(jī)與索尼相機(jī)、雀巢咖啡與麥斯威爾、格力空調(diào)與美的空調(diào)等都是生活中常見(jiàn)的可相互替代的產(chǎn)品。李宇雨等[12]基于消費(fèi)者需求替代和偏好異質(zhì)性，研究了按訂單裝配模式下的制造商最優(yōu)生產(chǎn)組合與零件補(bǔ)貨策略。周健等[13]研究產(chǎn)品替代程度對(duì)于雙渠道零售商和純網(wǎng)絡(luò)零售商定價(jià)順序的影響，發(fā)現(xiàn)零售商利潤(rùn)會(huì)隨著產(chǎn)品替代率的增大而增大。

對(duì)于多產(chǎn)品報(bào)童模型，自Hadley和Whitin[14]1963年將經(jīng)典報(bào)童模型拓展到不同約束下的多產(chǎn)品報(bào)童模型后，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入的研究與推廣。陳杰[15]通過(guò)考慮單向交叉的影響，研究了兩產(chǎn)品交叉銷售下報(bào)童模型的最優(yōu)訂貨及促銷價(jià)格決策。Moon和Silver[16]在補(bǔ)貨具有固定成本的情況下，研究對(duì)補(bǔ)貨數(shù)量總價(jià)值有預(yù)算約束的多產(chǎn)品報(bào)童模型。周佳琪[17]考慮交叉銷售，建立帶缺貨懲罰的單周期多產(chǎn)品集中決策報(bào)童模型。周艷菊[18]探討了損失約束條件下多產(chǎn)品報(bào)童問(wèn)題的求解方法。上述文獻(xiàn)對(duì)多產(chǎn)品的競(jìng)爭(zhēng)決策交叉影響等問(wèn)題做出研究，卻沒(méi)有考慮消費(fèi)者群體對(duì)于可替代產(chǎn)品的需求轉(zhuǎn)移問(wèn)題。當(dāng)多種產(chǎn)品的功能屬性存在可替代性時(shí)，面對(duì)一種產(chǎn)品缺貨，消費(fèi)者往往選擇購(gòu)買其他類似產(chǎn)品作為替代，也即消費(fèi)者的市場(chǎng)需求發(fā)生轉(zhuǎn)移。Huang和Zhou[19]通過(guò)完全信息靜態(tài)博弈，研究了具有缺貨成本和部分產(chǎn)品替代情形下的多產(chǎn)品競(jìng)爭(zhēng)報(bào)童模型。Zhao和Atkins[20]通過(guò)考慮具有價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)和部分產(chǎn)品替代的競(jìng)爭(zhēng)報(bào)童模型，得到了模型的唯一納什均衡，并將均衡解與經(jīng)典報(bào)童問(wèn)題的最優(yōu)解進(jìn)行了比較。上述文獻(xiàn)著重研究了多產(chǎn)品替代之間的競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題，給出競(jìng)爭(zhēng)的均衡結(jié)果，并設(shè)計(jì)迭代算法計(jì)算每種產(chǎn)品的最優(yōu)訂購(gòu)量。區(qū)別于前人的研究，本文基于替代產(chǎn)品間盈虧比的不同，以經(jīng)典報(bào)童模型為基礎(chǔ)，考慮了缺貨條件下的消費(fèi)者需求轉(zhuǎn)移，分別給出當(dāng)市場(chǎng)中消費(fèi)者需求轉(zhuǎn)移概率為零和需求轉(zhuǎn)移概率為正兩種情形下的零售商最優(yōu)訂購(gòu)量，并從中得到相應(yīng)的管理啟示。

1 模型建立與假設(shè)

在基礎(chǔ)報(bào)童模型中，零售商以單價(jià)w采購(gòu)商品，以價(jià)格p售出，以s表示未及時(shí)售出的產(chǎn)品殘值，其中p＞w＞s。Q表示零售商的采購(gòu)量，X表示市場(chǎng)需求變量，f()x和F(x)分別表示市場(chǎng)需求的概率密度與分布函數(shù)，πr表示零售商的總利潤(rùn)，表示零售商利潤(rùn)的期望。其中，由基礎(chǔ)報(bào)童模型可知最優(yōu)訂購(gòu)量Q*滿足

本文考慮某類產(chǎn)品的市場(chǎng)總需求量為X，其分布函數(shù)為F。這類產(chǎn)品包括兩種功能上存在替代性的異質(zhì)產(chǎn)品，用X1和X2分別表示兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求。假設(shè)產(chǎn)品1的需求量占總需求量的比例為α，產(chǎn)品2的需求量占比為1-α。用w1和w2分別表示兩種產(chǎn)品的批發(fā)價(jià)格，用p1和p2分別表示兩種產(chǎn)品的零售價(jià)格，s1和s2分別表示產(chǎn)品1和產(chǎn)品2的殘值，Q1和Q2分別表示零售商對(duì)兩種產(chǎn)品的訂貨量。表示產(chǎn)品的盈虧比，我們用符號(hào)ρ表示。不失一般性，我們假設(shè)產(chǎn)品1的盈虧比高于產(chǎn)品2，即ρ1＞ρ2。為了研究存在需求轉(zhuǎn)移的最優(yōu)訂購(gòu)問(wèn)題，我們首先分析消費(fèi)者需求轉(zhuǎn)移概率為0的基準(zhǔn)模型。

2 需求轉(zhuǎn)移概率為零的基準(zhǔn)模型

對(duì)零售商來(lái)說(shuō)，總利潤(rùn)的期望等于兩個(gè)產(chǎn)品各自期望利潤(rùn)之和，即E(πr)=E(π1)+E(π2)。由于轉(zhuǎn)移概率為0，由經(jīng)典報(bào)童模型可分別求出兩種產(chǎn)品的最優(yōu)訂貨量。已知產(chǎn)品1的市場(chǎng)需求占總需求的比例為α，可得產(chǎn)品1的市場(chǎng)需求X1服從分布同理，產(chǎn)品2的市場(chǎng)需求X2服從分布由基礎(chǔ)報(bào)童模型可得兩種產(chǎn)品的最優(yōu)訂貨量

基于兩種產(chǎn)品訂購(gòu)量之間的關(guān)系，我們定義A、B兩個(gè)區(qū)域如圖1所示：在區(qū)域A內(nèi)

圖1 兩產(chǎn)品訂購(gòu)量關(guān)系圖

定理1 當(dāng)消費(fèi)者的需求轉(zhuǎn)移概率為0時(shí)，零售商的最優(yōu)訂貨量滿足：

(1)兩產(chǎn)品盈虧比相等時(shí)，零售商對(duì)兩種產(chǎn)品的最優(yōu)訂貨量比例與需求比例一致；

(2)產(chǎn)品1的盈虧比高于產(chǎn)品2的盈虧比時(shí)，最優(yōu)訂貨量在B區(qū)域內(nèi)，滿足即零售商訂購(gòu)產(chǎn)品1的比例超過(guò)需求比例；

(3)產(chǎn)品1的盈虧比低于產(chǎn)品2的盈虧比時(shí)，最優(yōu)訂貨量在A區(qū)域內(nèi)，滿足即零售商訂購(gòu)產(chǎn)品2的比例超過(guò)需求比例。

證明：當(dāng)產(chǎn)品1的盈虧比高于產(chǎn)品2的盈虧比，即ρ1＞ρ2時(shí)由于分布函數(shù)F單調(diào)遞增，則

3 需求轉(zhuǎn)移概率大于零的一般情形

當(dāng)零售商對(duì)產(chǎn)品1的訂貨量比例超過(guò)需求比例時(shí)，如果產(chǎn)品2的訂貨量不足以滿足市場(chǎng)需求，消費(fèi)者對(duì)于產(chǎn)品2的需求可能向產(chǎn)品1轉(zhuǎn)移；當(dāng)零售商對(duì)產(chǎn)品2的訂貨比例超過(guò)需求比例時(shí)，消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品1的未滿足需求可能向產(chǎn)品2轉(zhuǎn)移。我們用β表示消費(fèi)者需求從產(chǎn)品2向產(chǎn)品1的轉(zhuǎn)移概率，用β′表示消費(fèi)者需求從產(chǎn)品1向產(chǎn)品2的轉(zhuǎn)移概率。不失一般性，假設(shè)產(chǎn)品1的盈虧比大于產(chǎn)品2。為了求解出存在消費(fèi)者需求轉(zhuǎn)移概率的最優(yōu)訂貨量，我們將分別對(duì)兩個(gè)區(qū)域進(jìn)行分析。

3.1 對(duì)產(chǎn)品1的訂貨量超過(guò)需求比例

基于上述分析，當(dāng)對(duì)產(chǎn)品1的訂貨比例超過(guò)需求比例時(shí)，兩種產(chǎn)品的銷售情況如圖2所示：

圖2 產(chǎn)品1的訂貨超過(guò)需求比例時(shí)的銷售情況示意圖

綜上所述，可得出零售商的利潤(rùn)函數(shù)表達(dá)式如式(1)：

零售商利潤(rùn)函數(shù)的期望為：

分別求出期望利潤(rùn)對(duì)兩種產(chǎn)品訂貨量的一階偏導(dǎo)：

由一階導(dǎo)函數(shù)條件，可得兩種產(chǎn)品的最優(yōu)訂貨量如下：

為分析消費(fèi)者轉(zhuǎn)移概率對(duì)最優(yōu)訂購(gòu)量的影響，求β的一階導(dǎo)如式(2)：

由轉(zhuǎn)移概率為0的基準(zhǔn)模型可知，當(dāng)產(chǎn)品1的盈虧比大于產(chǎn)品2時(shí)，模型的最優(yōu)解區(qū)域B內(nèi)。根據(jù)可知產(chǎn)品1的最優(yōu)訂貨量關(guān)于轉(zhuǎn)移概率β單調(diào)增，產(chǎn)品2的最優(yōu)訂貨量關(guān)于β單調(diào)減。所以當(dāng)β＞0時(shí)，即最優(yōu)解的右下方，所以訂貨量的最優(yōu)解在B區(qū)域內(nèi)，滿足

3.2 對(duì)產(chǎn)品2的訂貨量超過(guò)需求比例

基于上述分析，當(dāng)對(duì)產(chǎn)品2的訂貨比例超過(guò)需求比例時(shí)，兩種產(chǎn)品的銷售情況如下圖3所示：

圖3 產(chǎn)品2的訂貨超過(guò)需求比例時(shí)的銷售情況示意圖

綜上所述，可得出零售商的利潤(rùn)函數(shù)表達(dá)式如式(3)：

零售商利潤(rùn)函數(shù)的期望為：

分別求出期望利潤(rùn)對(duì)兩種產(chǎn)品訂貨量的一階偏導(dǎo)：

由一階導(dǎo)函數(shù)條件，可得兩種產(chǎn)品的最優(yōu)訂貨量如下：

為分析消費(fèi)者轉(zhuǎn)移概率大于0時(shí)的最優(yōu)訂貨量，求β′的一階導(dǎo)如下：

定理2 存在需求轉(zhuǎn)移的情況下，零售商的最優(yōu)訂貨策略是對(duì)盈虧比高的產(chǎn)品采取超過(guò)需求比例訂貨。

4 數(shù)值例子

為了進(jìn)一步研究轉(zhuǎn)移概率對(duì)兩種產(chǎn)品訂貨量的影響，我們采用數(shù)值方法驗(yàn)證理論結(jié)果。與參考文獻(xiàn)[15]等多數(shù)文獻(xiàn)類似，假設(shè)產(chǎn)品的市場(chǎng)需求服從指數(shù)分布，并取參數(shù)λ=0.02。令p1=300，w1=260，s1=240，p2=200，w2=150，s2=100，α=0.6。在轉(zhuǎn)移概率β的不同取值下，兩種產(chǎn)品的訂貨量、總訂貨量及零售商利潤(rùn)的數(shù)值解如表1所示：

表1 轉(zhuǎn)移概率β不同取值下的數(shù)值解

根據(jù)表1的數(shù)值解，畫(huà)出兩種產(chǎn)品的訂貨量、總訂貨量及零售商利潤(rùn)隨轉(zhuǎn)移概率的變化趨勢(shì)。

由圖4和圖5可知，當(dāng)產(chǎn)品1的盈虧比大于產(chǎn)品2時(shí)，隨著消費(fèi)者的市場(chǎng)需求由產(chǎn)品2向產(chǎn)品1的轉(zhuǎn)移概率的增大，零售商對(duì)產(chǎn)品1的訂貨量增加，對(duì)產(chǎn)品2的訂貨量減少。這一結(jié)論與現(xiàn)實(shí)生活中的觀察相吻合，對(duì)于零售商來(lái)說(shuō)，當(dāng)消費(fèi)者對(duì)兩種產(chǎn)品的需求存在替代性轉(zhuǎn)移時(shí)，產(chǎn)品可替代率越高，對(duì)盈虧比較大產(chǎn)品的訂購(gòu)量也應(yīng)該相應(yīng)增加。由圖6和圖7可知，當(dāng)消費(fèi)者需求轉(zhuǎn)移概率增大時(shí)，總訂貨量增大，零售商的利潤(rùn)也相應(yīng)增大。這是因?yàn)殡S著需求轉(zhuǎn)移概率的增加，零售商面臨的產(chǎn)品庫(kù)存積壓風(fēng)險(xiǎn)降低，增大訂貨量可顯著增加零售商收益。

5 結(jié)論

本文基于消費(fèi)者在可替代產(chǎn)品間的需求轉(zhuǎn)移問(wèn)題，建立了報(bào)童模型，分析零售商的最優(yōu)訂貨決策。模型結(jié)論指出：

圖4 轉(zhuǎn)移概率對(duì)產(chǎn)品1訂貨量的影響

圖5 轉(zhuǎn)移概率對(duì)產(chǎn)品2訂貨量的影響

圖6 轉(zhuǎn)移概率對(duì)總訂貨量的影響

圖7 轉(zhuǎn)移概率對(duì)零售商利潤(rùn)的影響

(1)對(duì)于需求完全正相關(guān)的兩個(gè)產(chǎn)品，當(dāng)它們的盈虧比不同時(shí)，兩個(gè)產(chǎn)品的最優(yōu)訂貨量的比例與需求比例不一致；

(2)對(duì)于需求完全正相關(guān)的兩個(gè)產(chǎn)品，如果消費(fèi)者需求存在概率性轉(zhuǎn)移，對(duì)于盈虧比較高的產(chǎn)品，零售商始終應(yīng)當(dāng)超過(guò)需求比例進(jìn)行采購(gòu)，且轉(zhuǎn)移概率越大，零售商利潤(rùn)越高。

對(duì)盈虧比較高的產(chǎn)品設(shè)置較高采購(gòu)量的結(jié)論與我們的日常經(jīng)驗(yàn)相一致。本文從建模的角度分析了轉(zhuǎn)移概率對(duì)訂貨量的影響，后續(xù)的研究還可以從需求比例具有隨機(jī)性等情況展開(kāi)。