MATLAB中基于GARCH模型對股票指數(shù)的擬合與預(yù)測

周丹文

[摘 要]從股票指數(shù)的基礎(chǔ)時間序列出發(fā)，分析了時間序列的性質(zhì)以及股票指數(shù)的特性。并以此為基礎(chǔ)，運(yùn)用經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計與計量經(jīng)濟(jì)學(xué)，選取恒生指數(shù)2009年10月至2019年10月十年間日收盤價進(jìn)行分析，同時利用MATLAB的金融工具分析箱，建立GARCH模型，對恒生指數(shù)的日收益率進(jìn)行建模與預(yù)測。結(jié)果表明，GARCH模型能夠較好地擬合樣本數(shù)據(jù)的對數(shù)收益率;在短期內(nèi)，模型同樣擁有較好的預(yù)測效果。

[關(guān)鍵詞]股票指數(shù);時間序列分析;GARCH;MATLAB

Abstract： Based on the basic time series of stock index， this paper analyzes the properties of time series and stock index. On this basis， with the knowledge of economic statistics and econometrics， the daily closing price of Hang Seng Index from October 2009 to October 2019 is selected to analysis. GARCH models are established by using the Financial Toolbox of MATLAB to model and predict the daily yield of Hang Seng Index. The results show that GARCH model can fit the logarithmic rate of return of sample data well， and in the short term， the model also has a good prediction effect.

Key Words： Stock Index; Time Series Analysis; GARCH; MATLAB

一、研究背景

（一）股票指數(shù)

股票指數(shù)是用來度量股票行情的一種指標(biāo)， 反映了股票市場總體價格水平及其變動趨勢，一般由證券交易所或其他金融服務(wù)機(jī)構(gòu)編制，用以為股民提供一個衡量股市價值變化的參考依據(jù)。股票指數(shù)與其編制范圍內(nèi)的股票的平均價格水平同向變化，能靈敏反映市場所在國（或地區(qū)）社會、政治、經(jīng)濟(jì)變化狀況。

（二）時間序列

時間序列是指將同一統(tǒng)計指標(biāo)的數(shù)值按其發(fā)生的時間先后順序排列而成的數(shù)列。即對某一個或者一組變量X（t）進(jìn)行觀察測量，在一系列時刻t1， t2， …， tn所得的離散序列集合（X（ti）為隨機(jī)變量）為時間序列。其主要目的是根據(jù)已有的歷史數(shù)據(jù)對未來進(jìn)行預(yù)測。根據(jù)觀察時間的不同，時間序列中的時間可以是任何時間形式。股票指數(shù)即為時間序列數(shù)據(jù)。

（三）時間序列的平穩(wěn)性

平穩(wěn)性是指時間序列的行為不隨時間的改變而變化，可分為嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)兩種。嚴(yán)平穩(wěn)表示時間序列的分布不隨時間的改變而變化，序列中隨機(jī)變量的性質(zhì)是一樣的;寬平穩(wěn)則沒有分布不隨時間變化的性質(zhì)，其強(qiáng)調(diào)的是相關(guān)系數(shù)取決于時間的間隔，而非時間的起點(diǎn)。寬平穩(wěn)的特性有兩點(diǎn)，一為均值函數(shù)為常數(shù)函數(shù);二為協(xié)方差函數(shù)僅與時間差相關(guān)。

根據(jù)平穩(wěn)性的定義，可以進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗。如果序列有明顯的趨勢或者周期性，那么其就是不平穩(wěn)的，因為平穩(wěn)序列具有常數(shù)均值和方差。

（四）股票指數(shù)的特點(diǎn)

股票指數(shù)的收益率一般隨時間的變化而變化，因此，它是非平穩(wěn)的。同時，股票指數(shù)的收益率還存在持續(xù)偏高或偏低的現(xiàn)象，即波動聚集性。另一方面，股票指數(shù)的收益率序列一般不符合高斯假定中的“同方差”假定，即其序列一般具有異方差。

二、研究對象

恒生指數(shù)（HSI），由香港恒生銀行全資附屬的恒生指數(shù)公司編制的指數(shù)。入選樣板股為香港股票市場33家上市公司，是以發(fā)行量為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均股價指數(shù)。為香港股票市場最有影響的指數(shù)。

本文選取恒生指數(shù)2009年10月8日至2019年10月8日十年間的日收益率作為研究對象，建立模型，并依據(jù)其2019年10月9日至2019年12月17日間的收益率對模型進(jìn)項檢驗。

三、模型選擇

GARCH模型（廣義自回歸條件異方差模型）由Bollerslev等人在于1986年提出，該模型建立在ARCH模型的基礎(chǔ)上，并在當(dāng)今演化出了多種形式。

傳統(tǒng)的計量經(jīng)濟(jì)學(xué)假設(shè)時間序列的方差是固定的，這種假設(shè)與實際情況相差較大。對于股票而言， 其收益的波動幅度就是隨時間而變化的， 并非常數(shù)。這使得傳統(tǒng)的時間序列分析對實際問題無效[1]。1982年，Engle在研究英國通貨膨脹率的波動性時首次提出了ARCH模型，。

ARCH模型在實際運(yùn)用時， 誤差項的條件方差依賴于之前多期的變化量，存在較難精確估計的缺陷。GARCH模型則在此基礎(chǔ)上用較為簡單的低階GARCH模型代替高階ARCH模型， 降低參數(shù)估計的復(fù)雜性，適用于有波動性的樣本的分析與預(yù)測。GARCH模型可表示為GARCH（p，q），當(dāng)p=0時，GARCH模型則降至ARCH模型。GARCH模型假定當(dāng)前的條件方差依賴于其滯后項σt-1與殘差滯后項εt-1;而當(dāng)期方差則取決于常數(shù)項，前一期的殘差與前一期的預(yù)測方差。

在高斯分布下，GARCH（p，q）的函數(shù)形式如下：

四、模型建立

本次實驗運(yùn)用MATLAB R2018b軟件進(jìn)行分析驗證。在2014年之后的版本中，MATLAB中有關(guān)GARCH模型的函數(shù)部分發(fā)生了較大的變化。因此，本文采取了最新的函數(shù)形式進(jìn)行模型建立。

（一）數(shù)據(jù)導(dǎo)入

本文的數(shù)據(jù)來源為RESSET金融研究數(shù)據(jù)庫。首先從該數(shù)據(jù)庫中下載相應(yīng)日期及當(dāng)日恒生指數(shù)的日收盤價，并保存在EXCEL中。同時，為了便于MATLAB的讀取與識別，將EXCEL中的日期列的格式修改為“日期”。通過導(dǎo)入功能，將日期與日收盤價兩列以“數(shù)值矩陣”的形式導(dǎo)入MATLAB中。

（二）繪制收益率曲線

1.日收盤價

通過導(dǎo)入的日期與日收盤價，運(yùn)用“plot”函數(shù)，可以繪制出恒生指數(shù)的日收盤價波動曲線。

對收盤價進(jìn)行分析可知，十年間恒生指數(shù)的收盤價總體而言呈上升趨勢，但波動較大。在2012年、2015年與2019年，發(fā)生了三次劇烈的下降。其中，2012年是由于歐債危機(jī)惡化、歐美外圍股市下跌等因素的影響;2015是由于股災(zāi);2018年則是因為全球市場的動蕩加劇。由于港元采取釘住美元的匯率政策，香港市場對于美國利率的波動尤為敏感。恒生指數(shù)也因此較易產(chǎn)生大幅的波動。

2.對數(shù)收益率

恒生指數(shù)的日收盤價呈現(xiàn)出劇烈的波動趨勢，因此，考慮在日收盤價的基礎(chǔ)上，計算其對數(shù)收益率。

對數(shù)收益率是兩個時期資產(chǎn)價值取對數(shù)后的差額，即資產(chǎn)多個時期的對數(shù)收益率等于其各時期對數(shù)收益率之和。通過取對數(shù)，數(shù)據(jù)可以變得更加平穩(wěn)，同時，也利于直接觀察收益率。在MATLAB中，可以通過“price2ret”函數(shù)對列向量進(jìn)行對數(shù)收益率的計算，并通過“plot”函數(shù)繪制出其圖像。在本例中，將錄有取對數(shù)后恒生指數(shù)十年間日收益率的列向量命名為“y”。

從圖2可以看出，恒生指數(shù)的對數(shù)收益率具有波動聚集性，集中在（-0.04，0.04）之間，但在波動較大的點(diǎn)達(dá)到了+0.06的水平。達(dá)到峰值后又迅速回落。但相較于日收益率，其數(shù)據(jù)已更加平穩(wěn)。

（三）分布檢驗

通過MATLAB中的函數(shù)，可以計算峰度、偏度等數(shù)值，用以判斷數(shù)據(jù)是否符合正態(tài)分布。在此次實驗中，相關(guān)數(shù)值如下：

通過計算樣本峰度、樣本偏差可知，數(shù)據(jù)的偏度為-0.3121，峰度為5.2792，數(shù)據(jù)分布左偏且呈現(xiàn)出厚尾特征。說明從整體上來看，收益率低于其均值的時候較多，數(shù)據(jù)的波動性強(qiáng)。通過jbtest檢驗，亦可知數(shù)據(jù)拒絕了服從正態(tài)分布的假定。

（四）相關(guān)性檢驗

1.平穩(wěn)性檢驗

在MATLAB中，可以通過”adftest”函數(shù)判斷數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)。經(jīng)過檢驗，可以發(fā)現(xiàn)，雖然十年間恒生指數(shù)的日收盤價序列并不平穩(wěn)，符合股票指數(shù)的特征;但adftest（y）‘的結(jié)果為1，說明其對數(shù)收益率序列是平穩(wěn)的。因此可以利用其十年間的對數(shù)收益率建立相關(guān)模型。

2.自相關(guān)與偏自相關(guān)圖像

通過”autocorr（y）”與”parcorr（y）”函數(shù)，可以分別表示出自相關(guān)與偏自相關(guān)的收斂階數(shù)。

通過上述自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖像，可知兩者均約在16階收斂，表明日收益率沒有明顯的日相關(guān)性。

3.Q檢驗與ARCH檢驗

在本例中，用“y-mean（y）”計算恒生指數(shù)日對數(shù)收益率的殘差。MATLAB中分別用于Q檢驗與ARCH的函數(shù)如下：

經(jīng)過Q檢驗，可知實驗數(shù)據(jù)在10，15，20滯后階數(shù)內(nèi)，均呈現(xiàn)出h=0。說明日收益率殘差與收益波動之間不存在自相關(guān)性。ARCH檢驗中，可知實驗數(shù)據(jù)在10，15，20滯后階數(shù)內(nèi)，均有h=1，說明收益率序列有高階ARCH效應(yīng)即GARCH效應(yīng)。因此考慮建立GARCH模型。

（五）具體模型的選擇

在GARCH模型中，一般有GARCH（1，1），GARCH（1，2），GARCH（2，2）等多種形式。每種形式中，又可分為有平均偏移量和無平均偏移量兩種。模型形式的選擇可以通過” 赤池信息準(zhǔn)則（AIC）”判斷，具體而言，計算出的“AIC”的數(shù)值的絕對值越大，則擬合效果越好。

其中，y指恒生指數(shù)的對數(shù)收益率，aicbic函數(shù)中的”3”，為損失的自由度，（具體指常數(shù)項，GARCH{1}項與ARCH{1}項），會隨著模型中參數(shù)的改變而改變。

分別建立GARCH（1，1），GARCH（1，2），GARCH（2，2）沒有平均偏移量的模型，并通過赤池信息準(zhǔn)則進(jìn)行檢驗。經(jīng)過檢驗可知在5%的顯著性水平下，沒有平均偏移量的GARCH（1，2）模型擬合較好（通過aicbic（）函數(shù)計算，可知其絕對值最大）。再將其與有平均偏移量的GARCH（1，2）模型進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)仍是沒有平均偏移量的模型擬合較好。各模型的計算結(jié)果如下：

模型的γ1的系數(shù)接近于1且通過了顯著性檢驗， 說明恒生指數(shù)過去價格的波動與其無限長期價格波動的大小都有關(guān)系。條件方差方程中， 系數(shù)α1，α2和γ1都為正且顯著，說明過去的波動對市場未來波動有影響， 且影響是正向的。γ1+α1+α2的值接近于1， 這說明股市波動對外部沖擊的反應(yīng)函數(shù)以一個相對較慢的速度遞減， 一旦出現(xiàn)大的波動在短期內(nèi)很難消除[2]。

通過MATLAB中的 econometricModeler，可以查看GARCH（1，2）對應(yīng)的函數(shù)形式，以及其條件方差和標(biāo)準(zhǔn)化殘差。

通過上述圖像可以看出，標(biāo)準(zhǔn)化殘差變得較為平穩(wěn)，波動聚集現(xiàn)象已不再明顯。

從而寫出對應(yīng)的方程：

五、模型預(yù)測

運(yùn)用MATLAB中的forecast（）函數(shù)可以進(jìn)行模型預(yù)測。在將上述GARCH（1，2）模型命名為EstMdl2的情況下，具體操作如下：

在執(zhí)行上述操作后，即得到51天內(nèi)觀測值的預(yù)測結(jié)果。再對foreY取對數(shù)收益率，以10天為一組，將計算出的結(jié)果與恒生指數(shù)真實的收益率進(jìn)行比較，結(jié)果如下：

綜合預(yù)測與實際的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，總體而言，隨著時間的推移，預(yù)測值偏離真實值的范圍越大，預(yù)測的準(zhǔn)確率越低。因此，在短期內(nèi)，GARCH模型有較好的擬合效果。

六、總結(jié)

本文選用GARCH模型分析股票指數(shù)，模擬了股票指數(shù)波動性變化。結(jié)果說明GARCH模型對于股票指數(shù)的日收益率有較好的擬合效果，同時短期預(yù)測有較高的準(zhǔn)確度。股票指數(shù)屬于時間序列的一種，但其不同于傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)，呈現(xiàn)出非平穩(wěn)、波動聚集與異方差的特征。因此，對于它的建模也應(yīng)當(dāng)采用非傳統(tǒng)的方法。GARCH模型用方差預(yù)測時間序列，對股票指數(shù)有較好的擬合與預(yù)測結(jié)果。因此，對于投資者的決策能起到一定的指導(dǎo)作用。

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（責(zé)任編輯：顧曉濱 馬 琳）