擬非擴(kuò)張映射分裂公共不動點(diǎn)問題的收斂性定理*

李 蓉何振華

(廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院,a.教務(wù)處,b.信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 南寧 530003)

0 引言

假設(shè)H是實(shí)Hilbert空間,其零向量用θ表示,內(nèi)積和范數(shù)分別是〈·,·〉,‖·‖.稱映射T:H→H是非擴(kuò)張映射,如果‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖,x,y∈H.稱映射T:H→H是擬非擴(kuò)張映射,如果‖Tx-p‖≤‖x-p‖,x∈H,p∈F(T),F(T)≠?是T的不動點(diǎn)集.

設(shè)H1,H2是實(shí)Hilbert空間,A:H1→H2是有界線性算子,T1:H1→H1,T2:H2→H2是非線性映射,且F(T1)≠?,F(T2)≠?.分裂公共不動點(diǎn)問題通常指的是這樣的問題:找p∈H1使得T1p=p和T2Ap=Ap(當(dāng)T1,T2是單值映射),或者p∈T1p和Ap∈T2Ap(當(dāng)T1,T2是集值映射).

數(shù)學(xué)上不同空間下的分裂問題首先在文獻(xiàn)[1]中出現(xiàn),而以色列學(xué)者Censor教授在文獻(xiàn)[2]中正式給出了分裂公共不動點(diǎn)問題的定義.分裂不動點(diǎn)問題在圖像恢復(fù)中有重要的應(yīng)用,因而關(guān)于此類問題得到眾多學(xué)者的關(guān)注和研究.當(dāng)然大部分學(xué)者的研究成果更主要側(cè)重于基礎(chǔ)研究,并非直接應(yīng)用到圖像恢復(fù)問題的求解中.分裂不動點(diǎn)問題除了在圖像恢復(fù)問題中有用之外,對此問題本身的研究也是具有重要意義的,因?yàn)榍蠼獯祟悊栴}用到的不動點(diǎn)算法,可以實(shí)現(xiàn)一個算法求解多個問題的目的,這是通常的多項(xiàng)式算法所不具備的.因此,不動點(diǎn)算法除了在方法論上提供一種求解問題近似解的方法,還具有其他算法沒有的優(yōu)點(diǎn).

在分裂不動點(diǎn)問題的研究中,法國學(xué)者M(jìn)oudafi教授發(fā)表了一系列分裂公共不動點(diǎn)問題的研究成果,引發(fā)了大量的后續(xù)研究.日本的Takahashi教授、韓國的Yeol Je Cho教授、中國的張石生教授等,都是研究分裂公共不動點(diǎn)問題的著名專家,他們也是研究這類問題的引領(lǐng)者.在文獻(xiàn)[3]中,作者建立如下的迭代算法:

其中β∈(0,1),αn∈(0,1),γ＞0,U和T分別是不同空間中的擬非擴(kuò)張映射.在合適的條件下,作者證明上述序列{x n}弱收斂到分裂公共不動點(diǎn)p∈Ω,其中

注意到,上述給出的序列{x n}僅僅具有弱收斂性質(zhì),為了得到強(qiáng)收斂算法,文獻(xiàn)[4]建立了如下的迭代算法:

其中T1∶H→H和T2:H1→H1分別是不同空間中的擬非擴(kuò)張映射,H和H1分別是Hilbert空間.在合適的條件下,作者證明上述的投影序列{x n}強(qiáng)收斂到分裂公共不動點(diǎn)p∈Ω,其中Ω={p∈H:T1p=p,T2Ap=Ap}≠?.

前面提到的分裂公共不動點(diǎn)問題,是關(guān)于兩個不同空間中的分裂公共不動點(diǎn)問題,這類問題已經(jīng)得到眾多學(xué)者的研究,取得了許多研究成果.他們建立了Man迭代算法、Ishikawa迭代算法、黏性迭代算法、CQ 迭代算法等算法用于求解此類問題的近似解.這些算法中,有些是強(qiáng)收斂的,有些是弱收斂的.空間形式也從Hilbert空間推廣到Banach空間,例如文獻(xiàn)[2-8]及其參考文獻(xiàn).從目前查閱到的文獻(xiàn)看,考慮比較多的分裂公共不動點(diǎn)問題都是關(guān)于兩個不同空間中的分裂公共不動點(diǎn)問題,關(guān)于三個或者三個以上不同空間的算子的分裂公共不動點(diǎn)問題,研究成果比較少.本文將考慮三個不同空間的分裂公共不動點(diǎn)問題:

其中,A:H1→H2,B:H2→H是有界線性算子,其伴隨算子分別是A*,B*,算子T1:H1→H1、T2:H2→H2、S:H→H是擬非擴(kuò)張映射,且Ω={p:T1p=p,T2Ap=Ap,SBAp=BAp}≠?.

在不動點(diǎn)問題的求解中,建立迭代序列使其收斂到算子的不動點(diǎn)是常用的方法.為求解問題(*),本文將建立迭代序列,在合適的條件下,證明其強(qiáng)收斂或者弱收斂到問題(*)的解.

1 預(yù)備知識

設(shè)H是實(shí)Hilbert空間,C是H的閉凸子集.P C表示H到C的投影算子,它具有如下的性質(zhì):

(1)z=P C(x)?〈x-z,z-y〉≥0,?y∈C,

(2)‖y-P C(x)‖2+‖x-P C(x)‖2≤‖x-y‖2,?x∈H,y∈C,

(3)〈x-y,P Cx-P Cy〉≥‖P Cx-P Cy‖2,特別‖P Cx-P Cy‖≤‖x-y‖,?x,y∈H,即投影算子是非擴(kuò)張映射.

引理1 設(shè)H是實(shí)Hilbert空間,α∈[0,1],則下面結(jié)果是眾所周知的:

(i)‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,x+y〉,

(ii)‖x-y‖2=‖x‖2+‖y‖2-2〈x,y〉,

(iii)‖αx+(1-α)y‖2=α‖x‖2+(1-α)‖y‖2-α(1-α)‖x-y‖2.

定義1[3]設(shè)C是H的閉凸子集,T:C→C.稱映射T是半閉的,如果對于C中的點(diǎn)列{x n},,且{x n}弱收斂到z,則有Tz=z.

例1[8]設(shè)C=[0,1],H =R(實(shí)數(shù)集),定義T:C→C為

則T是半閉的擬非擴(kuò)張映射.

例2[8]設(shè)C=[0,+∞),H =R(實(shí)數(shù)集),定義T:C→C為

則T是擬非擴(kuò)張映射,但不是半閉的.

一個Banach空間(X,‖·‖)被稱為是滿足Opial條件[9]的,如果對于X中任一弱收斂到x∈X的序列{x n}滿足

特別,每一個Hilbert空間都是滿足Opial條件的.

2 主要結(jié)果

在這一節(jié)中,假設(shè)H i的內(nèi)積和范數(shù)分別是的內(nèi)積取為〈x,y〉3=〈x1,y1〉1+〈x2,y2〉2,其中x=〈x1,x2〉,y=〈y1,y2〉∈H3.

設(shè)A:H→H1,B:H1→H2是有界線性算子,定義Cx=(Ax,BAx),x∈H,則顯然C也是有界線性算子.

定理1 設(shè)A:H→H1,B:H1→H2是有界線性算子,其伴隨算子分別是A*,B*,S:H→H,T1:H1→H1,T2:H2→H2

是半閉的擬非擴(kuò)張映射,且Ω={p∈H:Sp=p,T1Ap=Ap,T2BAp=BAp}≠?.

設(shè)x1∈H,序列{x n}按照以下方式產(chǎn)生:

則{x n}弱收斂到p∈Ω,其中C*是C的伴隨算子,

證明:(i)先證明{‖x n-p‖}是收斂序列,其中p∈Ω.

因此,

上式說明{‖x n-p‖2}是單調(diào)遞減序列,因而極限存在,即{‖x n-p‖}是收斂序列.并且由此可得

(ii)因?yàn)閧‖x n-p‖}收斂,因此{(lán)x n}是有界序列,從而{x n}有弱收斂的子列.假設(shè){x n j}和{x mk}是{x n}的兩個弱收斂子列,分別弱收斂到x*和y*,則必有x*,y*∈Ω.事實(shí)上,顯然{u n j}、{u mk}、{Ax n j}、{Ax mk}、{BAx nj}、{BAx mk}分別弱收斂到x*、y*、Ax*、Ay*、BAx*、BAy*,因此根據(jù)S,T1,T2是半閉映射以及(5)式和(6)式可知,x*,y*∈Ω.

現(xiàn)在證明x*=y*.如果x*≠y*,則根據(jù)Opial條件可知

這是一個矛盾.因此,x*=y*.從而{x n}弱收斂到p∈Ω.證完.

推論1 如果在定理1中,T2=B=I是恒等算子,H1=H2,其他條件不變,序列{x n}按照以下方式產(chǎn)生:

則{x n}弱收斂到p∈Ω,Ω={p∈H:Sp=p,T1Ap=Ap}≠?.其中A*是A的伴隨算子,0＜a≤αn≤

注1:推論1是文獻(xiàn)[3]中定理2.1的結(jié)果,因此定理1推廣了文獻(xiàn)[3]的結(jié)果.

如果說在定理1中討論的是不同空間下的分裂問題,那么在定理1中,H1=H2=H,我們將得到下面的同一空間的分裂問題.

推論2 如果在定理1中,H1=H2=H,其他條件不變,序列{x n}按照(1)式產(chǎn)生,則{x n}弱收斂到p∈Ω.

定理1是弱收斂定理,實(shí)際上,從理論的角度看,強(qiáng)收斂定理應(yīng)用更為方便一些.下面介紹一個強(qiáng)收斂定理.

定理2 設(shè)A:H→H1,B:H1→H2是有界線性算子,其伴隨算子分別是A*,B*,

是半閉的擬非擴(kuò)張映射,且Ω={p∈H:Sp=p,T1Ap=Ap,T2BAp=BAp}≠?.

設(shè)x0∈C1=H,序列{x n}按照以下方式產(chǎn)生:

則{x n}弱收斂到p∈Ω,其中C*是C的伴隨算子,

證明:(i)先證明{C n+1}是非空的閉凸集合列.設(shè)p∈Ω,則根據(jù)(3)式,‖u n-p‖ ≤‖x n-p‖.

此外,易知‖z n-p‖≤‖u n-p‖,因此Ω?C n+1,即{C n+1}是非空的集合列.對于任意的p1,p2∈C n+1,?r∈[0,1],因?yàn)?/p>

所以 ‖z n-(1-r)p1-rp2‖ ≤‖u n-(1-r)p1-rp2‖ ≤‖x n-(1-r)p1-rp2‖.

即(1-r)p1+rp2∈C n+1,這說明{C n+1}是凸的集合列.設(shè){p k}?C n+1,且{p k}收斂到p,即limk→∞‖p k-p‖=0,易證p∈C n+1,因此{(lán)C n+1}是閉的集合列.綜上,{C n+1}是非空的閉凸集合列,從而序列{x n}是存在的.

(ii)證明{x n}是Cauchy序列.注意到x n+1,p∈C n,根據(jù){x n}的定義,可知

因此序列{x n}是有界的.又

因此,{‖x n-x0‖}是單調(diào)遞增序列,這說明存在.注意到

于是當(dāng)n,m→∞時,‖x m -x n‖ →0,因此{(lán)x n}是Cauchy序列.

(iii)證明{x n}強(qiáng)收斂到Ω的一個元.因?yàn)閧x n}是Cauchy序列,因此可以設(shè)x n→p*,n→∞.現(xiàn)在證明p*∈Ω.

根據(jù)(9)式可知

于是由

因?yàn)閤 n→p*,n→∞,所以

這樣根據(jù)S,T1,T2的半閉性可知Sp*=p*,T1Ap*=Ap*,T2BAp*=BAp*,即p*∈Ω.證完.

推論3 如果在定理2中,T2=B=I是恒等算子,H1=H2,其他條件不變,序列{x n}按照以下方式產(chǎn)生:

則{x n}強(qiáng)收斂到p∈Ω,Ω={p∈H:Sp=p,T1Ap=Ap}≠?,其中A*是A的伴隨算子,0＜a≤αn≤

如果在定理2中,H1=H2=H,我們將得到下面的同一空間的分裂問題的強(qiáng)收斂定理.

推論4 如果在定理2中,H1=H2=H,其他條件不變,序列{x n}按照(9)式產(chǎn)生,則{x n}強(qiáng)收斂到p∈Ω.

3 結(jié)論

在本文中,我們討論了三個空間的分裂公共不動點(diǎn)問題,給出了兩個收斂算法,一個是強(qiáng)收斂算法,另一個是弱收斂算法.我們的結(jié)果推廣和改進(jìn)了一些文獻(xiàn)的結(jié)果.