Ree 群2G2（q）自同構(gòu)群階分量刻畫(huà)的簡(jiǎn)化證明

賈松芳， 陳彥恒， 姜友誼

（重慶三峽學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 萬(wàn)州404100）

本文涉及的群皆為有限群，單群指的是非交換單群.

設(shè)G是一個(gè)群，π（G）表示｜G ｜的全部素因子的集合.文獻(xiàn)［1］定義了群G的素圖Γ（G），它是滿足下列條件的簡(jiǎn)單圖：

1）V（Γ（G））＝π（G）；

2）2 個(gè)頂點(diǎn)p、q在Γ（G）中有邊相連的充要條件是群G中含有pq階元.

記Γ（G）的連通分支的個(gè)數(shù)為t（G），Γ（G）的第i 個(gè)連通分支的頂點(diǎn)集為πi（G），i ＝1，2，…，t（G）.規(guī)定如果2 ｜｜G ｜，2∈π1（G）.于是｜G ｜可寫(xiě)為

其中π（mi）＝πi（G），i ＝1，2，…，t（G）.文獻(xiàn)［2］中把m1，m2，…，mt（G）稱為群G 的階分量，且把群G的階分量的集合記為OC（G），即

文獻(xiàn)［2］在研究Thompson 猜想［3］的過(guò)程中提出群的階分量這一概念，并提出了單群的階分量刻畫(huà)問(wèn)題，即通過(guò)單群的階分量集合確定該單群.文獻(xiàn)［4］證明了：若單群M 能被其階分量刻畫(huà)，則Thompson猜想對(duì)M 也成立.因此單群的階分量刻畫(huà)問(wèn)題是Thompson猜想的推廣.

階分量對(duì)素圖連通的單群的結(jié)構(gòu)影響有限，但對(duì)素圖不連通的單群的結(jié)構(gòu)有著重要影響，散在單群、Suzuki-Ree群等眾多系列單群都可以被它們自身的階分量刻畫(huà)（參見(jiàn)文獻(xiàn)［2，5 -20］）.文獻(xiàn)［21］證明了Suzuki-Ree 群的自同構(gòu)群Aut（2F4（q）），q ＝2f和Aut（2G2（q）），q ＝3f，其中f ＝3s，s 為正整數(shù)，可由其階分量刻畫(huà)，這是階分量刻畫(huà)問(wèn)題在幾乎單群中成功的嘗試.但并非所有的幾乎單群都能被其階分量刻畫(huà)，比如O7（3）、S6（2），它們有相同的階分量集合（見(jiàn)文獻(xiàn)［22］），到底還有哪些幾乎單群可以被其階分量刻畫(huà)，還是一個(gè)有待繼續(xù)研究的課題.但本文需要指出的是：上述階分量刻畫(huà)的文獻(xiàn)的證明過(guò)程無(wú)一例外的都根據(jù)單群分類定理，結(jié)合給定幾乎單群的階分量，對(duì)全部單群一類一類的核查排除，直至剩下目標(biāo)單群.這個(gè)過(guò)程無(wú)疑是繁瑣的和機(jī)械的.如果能夠根據(jù)目標(biāo)單群的自身特征先對(duì)單群分類，縮小核查范圍，那么肯定會(huì)給證明過(guò)程帶來(lái)簡(jiǎn)化.

本文借助Sylow 2 -子群階數(shù)≤8 的單群的分類，證明了Ree群2G2（q）（q ＝33s，s≥1）的自同構(gòu)群可由階分量刻畫(huà)，與文獻(xiàn)［21］的命題3 相比較，證明過(guò)程被簡(jiǎn)化.

文中其他未做說(shuō)明的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)都是標(biāo)準(zhǔn)的，可參見(jiàn)文獻(xiàn)［23 -24］.

1 預(yù)備知識(shí)

為了方便，下面列出4 個(gè)結(jié)論作為預(yù)備引理.

引理1.1［25］設(shè)G 是一個(gè)偶數(shù)階的Frobenius群或2 -Frobenius群，則t（G）＝2.