“等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用”的教學(xué)新設(shè)計

廣東省廣州市華南師范大學(xué) 王嘉樂 何小亞

一、教材分析

基于“不同的學(xué)生學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)”這一理念,對于重點中學(xué)的學(xué)生,可以把人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 數(shù)學(xué)(A版)》必修五第二章第四節(jié)兩節(jié)課的內(nèi)容壓縮為第一節(jié)課,第二節(jié)課的內(nèi)容改為“等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用”這一深化拓展的內(nèi)容,通過漢諾塔游戲問題來引入等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用.

作為繼等差數(shù)列后又一特殊的數(shù)列,等比數(shù)列是研究復(fù)雜數(shù)列的重要數(shù)學(xué)模型,與實際生活有密切的聯(lián)系,如細(xì)胞分裂、銀行貸款等問題都要用等比數(shù)列的知識來解決.本節(jié)課的安排可使學(xué)生充分參與探索過程,體會等比數(shù)列在實際生活中的廣泛應(yīng)用;作為高中階段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的重要載體之一,等比數(shù)列的應(yīng)用對培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性以及數(shù)學(xué)思想的滲透起著重要的作用.

二、學(xué)情分析

1.授課對象重點中學(xué)的學(xué)生.

2.認(rèn)知基礎(chǔ)學(xué)生已經(jīng)掌握了等比數(shù)列的定義及通項公式的相關(guān)知識,并通過課前預(yù)習(xí)具備了理解等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用的基礎(chǔ),以及接受理解一般化和化歸思想的能力.

3.認(rèn)知障礙(1)將問題a64=?一般化為問題an=?;

(2)遞推關(guān)系an=2an?1+1的發(fā)現(xiàn);

(3)由遞推關(guān)系得出等比數(shù)列bn.

三、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

掌握利用待定系數(shù)法求一階齊次線性遞歸數(shù)列的通項公式的方法.

2.過程與方法

(1)讓學(xué)生經(jīng)歷“實際問題——數(shù)學(xué)問題——數(shù)學(xué)模型——遞推關(guān)系——解決問題”的過程,積累水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗,培養(yǎng)學(xué)生動手實踐、提出問題、分析問題和解決問題的能力;

(2)通過把特殊問題a64=?一般化為問題an=?及其探究過程,學(xué)習(xí)一般化和特殊化的思想;

(3)通過遞推關(guān)系an=2an?1+1的發(fā)現(xiàn)及等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化過程,學(xué)習(xí)化歸的數(shù)學(xué)思想.

3.情感態(tài)度價值觀

(1)通過實驗操作探索數(shù)學(xué)模型,激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神,感受數(shù)學(xué)探究的樂趣;

(2)通過漢諾塔問題解決的學(xué)習(xí),體會到追求簡單化是數(shù)學(xué)的靈魂,并領(lǐng)悟到“數(shù)學(xué)源于實際,應(yīng)用于實際,并高于實際”這一真諦!

四、教學(xué)重點、難點和關(guān)鍵

1.教學(xué)重點(1)“漢諾塔問題”的解決;(2)等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用.

2.教學(xué)難點(1)遞推關(guān)系an=2an?1+1的發(fā)現(xiàn);(2)由遞推關(guān)系an=2an?1+1求解通項公式.

3.突破難點的關(guān)鍵(1)暫時將第n個盤子忽略,從而將問題化為個盤子的問題;(2)根據(jù)等比數(shù)列核心結(jié)構(gòu)——乘法結(jié)構(gòu),考慮將遞推關(guān)系an=2an?1+1的等式右邊轉(zhuǎn)化為乘積的形式.

五、教學(xué)方法與手段

1.教學(xué)方法本節(jié)課并不是按照一般的“先講知識,再講知識的高考應(yīng)用”這種方式進(jìn)行教學(xué),而是采用問題解決教學(xué)法,即:“實際問題——數(shù)學(xué)問題——數(shù)學(xué)模型——遞推關(guān)系——解決問題”,充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用,學(xué)生不再是被動的知識接受者,而是問題解決的主人.

2.教學(xué)手段問題驅(qū)動,動手實驗,分析思考,板書、多媒體手段相結(jié)合.

六、教學(xué)流程設(shè)計

七、教學(xué)過程

_教學(xué)環(huán)____________________________________________節(jié)教學(xué)內(nèi)容與過程__________________________________________設(shè)計意圖_______(一)動手操作提出問題(15 min)問題1我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)等差數(shù)列和等比數(shù)列?師 因為等差數(shù)列和等比數(shù)列是數(shù)列家族中最簡單的數(shù)列,而且我們以后碰到的許多問題最終歸結(jié)于復(fù)雜的、困難的數(shù)列問題.追求簡單化是數(shù)學(xué)的靈魂,面臨難的數(shù)列問題,我們總是想方設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為簡單的等差、等比數(shù)列問題,從而實現(xiàn)化繁為簡,化難為易的目的.下面我們來看一道有趣的難題.問題2(漢諾塔問題)在世界中心貝拿勒斯(在印度北部)的圣廟里有三根寶石針,其中一根針上自上而下穿好了由小到大的64個金片,每一個金片都可以在三根針之間移動,移動的法則為:一次只能移動一片,任何時候小片必須在大片上面.據(jù)說,當(dāng)所有的金片都從第一根寶石針按照規(guī)則轉(zhuǎn)移到第三根針上時,世界就會毀滅.那么世界何時就毀滅呢?教師引導(dǎo)學(xué)生按照游戲規(guī)則動手操作并記錄下當(dāng)n從1至4時的最少移動次數(shù)a1、a2、a3與a4.問題3如果傳說是真的,那么要知道世界何時毀滅,也就是要知道當(dāng)n=64時,a64=?師 遇到難算的特殊問題,有一種化難為易的數(shù)學(xué)思想:一般化!只要求出這個數(shù)列的通項公式后,將代入即可知道答案.問題4如何求出an=?它是等差數(shù)列嗎?它能轉(zhuǎn)化成簡單的等差數(shù)列求解嗎?師 經(jīng)過探索,不行!那么它是等比數(shù)列嗎?也不是!它能轉(zhuǎn)化成簡單的等比、等比數(shù)列問題求解嗎?下面我們一起來探究這個難題.借助豐富有趣的游戲傳說引入課題,在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣的同時也提高了學(xué)生的動手能力.帶著問題學(xué)習(xí)新知識,更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力.(二)舊知回顧引發(fā)思考(3 min)問題5 觀察以下數(shù)列,如何求出其通項公式?images/BZ_36_960_2747_1412_2972.png復(fù)習(xí)等差、等比數(shù)列相關(guān)知識,引導(dǎo)學(xué)生思考,為問題解決做鋪墊.師 此數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列.

師 我們先來研究第5項和第4項之間的關(guān)系,希望由特殊獲得啟發(fā),得到求解一般通項公式an的方法.(三)合作交流數(shù)學(xué)探究(15 min)對于n個盤子的情況,要把n個盤子移動到第三根柱子上,可類比上述5個盤子的移動過程來解決.步驟一 先把上面n?1個盤子移動到第二根柱子上,就相當(dāng)于轉(zhuǎn)移n?1個圓盤,所移動的次數(shù)是an?1次;培養(yǎng)學(xué)生從實際操作中尋求答案的能力的同時培養(yǎng)了學(xué)生的動手能力,觀察能力以及抽象概括能力.步驟二 將第n個盤子移動到第三根柱子上(1次);步驟三 將第二根柱子的n?1個盤子移動到第三根柱子上,這里也相當(dāng)于移轉(zhuǎn)了n?1個圓盤,移動的次數(shù)是an?1.于是,由此可得遞推關(guān)系:{a1=1,an=2an?1+1(n≥2).問題6如何由此遞推關(guān)系求解出通項公式an=?師 注意到等比數(shù)列的核心結(jié)構(gòu)是乘法結(jié)構(gòu),考慮將遞推關(guān)系an=2an?1+1的等式右邊轉(zhuǎn)化為乘積的形式.左右兩邊加1,轉(zhuǎn)化為an+1=2(an?1+1).令bn=an+1,則有bn=2bn?1且b1=2.這是首項為b1=2,公比為2的等比數(shù)列,于是有bn=2n,將bn=an+1代入即得an=2n?1.(四)問題解決鞏固提升(8 min)漢諾塔傳說問題的答案如果我們要把貝拿勒斯圣廟里的第一根寶石針中的64個金片按規(guī)則移到第三根寶石針上,那么至少要移動多少次?將n=64代入到an=2n?1有a64=264?1.假設(shè)每一秒挪動一片,那么移動這64個金片大概需要多長時間呢?平均每年31556952秒,計算一下:a64=264?1=18446744073709551615秒≈5845.54億年問題7已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1,求{an}的通項公式.解析:設(shè)an+1+x=3(an+x),x=1 2,則有bn+1=3bn且b1=a1+1 2,所以an+1+12=3(an+12)令bn=an+1 an=3n?1 2=32,這是首項為b1=32,公比為3的等比數(shù)列,有bn=32·3n?1,將bn=an+12代入即得2.教師要強調(diào)總結(jié)利用待定系數(shù)法求一階齊次線性遞歸數(shù)列的通項公式的方法.呼應(yīng)了第一階段的情景引入環(huán)節(jié),直觀驗證傳說的正確性引導(dǎo)學(xué)生拓展思維,發(fā)現(xiàn)新目標(biāo);強調(diào)待定系數(shù)法的應(yīng)用,鞏固知識并能學(xué)以致用.

教師進(jìn)行課堂小結(jié),并歸納強化其中的數(shù)學(xué)思想和方法:(五)課堂小結(jié)總結(jié)歸納(2 min)歸納總結(jié)所學(xué)的內(nèi)容,讓學(xué)生感受化歸思想的力量,認(rèn)識到追求簡單化是數(shù)學(xué)的靈魂.(六)布置作業(yè)(2 min)1.數(shù)列{an}中,a1=3且an+1=a2n(n是正整數(shù))則數(shù)列的通項公式an=?2.在等比數(shù)列{an}中,an＞0,且an+2=an+an+1,求公比q3.數(shù)列{an}滿足an+1=pan+q,(p,q∈R),試研究此數(shù)列的通項公式4.斐波那契兔子問題:已知一對兔子每一個月可以生一對小兔子,而一對兔子出生后.第三個月開始生小兔子,假如一年內(nèi)沒有發(fā)生死亡,則一對兔子一年內(nèi)能繁殖成多少對?1、2小題用于鞏固強化本節(jié)課所學(xué)的待定系數(shù)法;3、4小題分別是一階、二階齊次線性遞歸數(shù)列,用于培養(yǎng)數(shù)____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________學(xué)探究能力.

八、本教學(xué)設(shè)計的特色

1.因材施教上的特色

教材中并沒有設(shè)置本節(jié)課的內(nèi)容,本教案突破了教材的限制,為重點中學(xué)的學(xué)生而設(shè)計,體現(xiàn)了不同學(xué)生學(xué)不同的數(shù)學(xué)和接受不同的數(shù)學(xué)教育的新課程理念.

2.教法上的特色

本節(jié)課并不是按照一般的“先講知識,再講知識的高考應(yīng)用”這種方式進(jìn)行教學(xué),而是基于問題解決的需要而引入數(shù)學(xué)新模型,即遞推關(guān)系,體現(xiàn)了追求問題解決的國際數(shù)學(xué)教育價值取向.

3.落實數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的特色

通過漢諾塔問題解決過程,使學(xué)生積累了數(shù)學(xué)化(mathematiczation)的經(jīng)驗,提高其數(shù)學(xué)建模素養(yǎng);通過把特殊問題a64=?一般化為問題an=?,通過遞推關(guān)系an=2an?1+1的發(fā)現(xiàn)及等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化等過程,滲透特殊化、一般化和化歸的數(shù)學(xué)思想,并將“追求簡單化”這一數(shù)學(xué)靈魂貫穿始終,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教育的要求.

致謝感謝華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院馮偉貞教授對本文的指導(dǎo).