“四翼”中的綜合性—-以2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷 III (理)為例

四川省成都市玉林中學(xué)(610041) 周先華 吳智敏

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》(2019年11月出版)(下面簡(jiǎn)稱為《體系》)中,明確構(gòu)建了“一核”“四層”“四翼”用于指導(dǎo)高考改革與高考命題工作的測(cè)評(píng)體系.其中,“四翼”是“素質(zhì)教育的評(píng)價(jià)維度在高考中的體現(xiàn)”,是回答“怎么考”的問(wèn)題,是考查的要求,它分成四個(gè)層次,即“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”.《體系》的出臺(tái),既是對(duì)歷年高考的總結(jié),也是對(duì)2017年頒布實(shí)施的《普通高中學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出的立德樹(shù)人、培育學(xué)科核心素養(yǎng)這一目標(biāo)的測(cè)試與評(píng)價(jià).而2019年的高考,恰好處在前后過(guò)渡的這樣一個(gè)特殊時(shí)期.下面以2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)3卷(理)為例,來(lái)分析《體系》中“四翼”中的綜合性在高考數(shù)學(xué)試題的命制過(guò)程中所體現(xiàn)出來(lái)的本質(zhì)特征、顯現(xiàn)方式及具體內(nèi)容.

2019年,習(xí)近平總書(shū)記在全國(guó)教育大會(huì)指出,要努力構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系,其基本要求就是對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng).綜合素質(zhì)是一個(gè)人的知識(shí)水平、道德修養(yǎng)以及各種能力等方面的綜合素養(yǎng).顯然,具備良好綜合素質(zhì)的人,才可能在高考考場(chǎng)上綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想與方法,融會(huì)貫通,高質(zhì)量地解決高考試卷中的那些來(lái)自于生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索中的復(fù)雜的情境問(wèn)題.

當(dāng)然,在一套試題中,基礎(chǔ)性試題和綜合性試題不是絕對(duì)的,甚至在個(gè)別試題中,可能有兩者的交叉與融合.從近3年高考全國(guó)數(shù)學(xué)卷來(lái)看,綜合性試題基本上維持在50%.以2019年全國(guó)高考卷Ⅲ理科為例,10-12題、15-16題、18題第(2)問(wèn)、19-21題、22題第(2)問(wèn)以及23題第(2)問(wèn).共計(jì)67分,占整套試卷分值的44.7%.如果說(shuō)基礎(chǔ)性試題是高考考生必得分的試題的話,那么綜合性試題就是拉開(kāi)考生之間差距的試題.因?yàn)榫C合性是體現(xiàn)高考在“核心價(jià)值引領(lǐng)下對(duì)知識(shí)的交叉、能力的復(fù)合、素養(yǎng)的整合的全方面考查”.

一、綜合性的本質(zhì)特點(diǎn)

1 數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化

結(jié)構(gòu),就是各個(gè)組成部分的搭配和排列.對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí),首先應(yīng)該是能夠理解和構(gòu)建相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系.事物的聯(lián)系是普遍存在的、多種多樣的.因?yàn)槿魏问挛锏膬?nèi)部不同的部分和要素是相互聯(lián)系的,同時(shí),任何事物都不可能孤立存在,都同其他事物處于一定的相互聯(lián)系之中,甚至整個(gè)世界是相互聯(lián)系的統(tǒng)一的整體.因此,需要把大量的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行有序化的組合,以整合成數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)與體系.打個(gè)比方,你一定見(jiàn)過(guò)這樣的人:對(duì)某個(gè)領(lǐng)域非常精通,無(wú)論問(wèn)他什么問(wèn)題,他都能從你的話題切入,旁征博引,將大量的原理、機(jī)制、知識(shí)點(diǎn)······娓娓道來(lái),清晰而嚴(yán)謹(jǐn).這就是結(jié)構(gòu)—-在他腦海中,所有的知識(shí)點(diǎn)都鏈接在一起.他知道某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)“應(yīng)該放在哪里”,也知道“它會(huì)通向何方”.如果說(shuō)碎片化的知識(shí)是一張張街景的速寫(xiě),那知識(shí)結(jié)構(gòu)與體系就是一副完整的地圖.高考強(qiáng)調(diào)試題的綜合性,就是強(qiáng)調(diào)學(xué)生能融會(huì)貫通,就是要求學(xué)生能把各基礎(chǔ)知識(shí)之間、各模塊之間甚至各學(xué)科內(nèi)容之間進(jìn)行融合;同時(shí),綜合性還要求能夠把這些知識(shí)與關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)和核心價(jià)值之間緊密聯(lián)系.

例 1(2019年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第 12題)設(shè)函數(shù)已知f(x)在 [0,2π]有且僅有5個(gè)零點(diǎn),下述四個(gè)結(jié)論:

①f(x)在(0,2π)有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)

②f(x)在(0,2π)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)

③f(x)在單調(diào)遞增

④ω的取值范圍是

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是

A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④

圖1

例2(2019年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第16題)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖1,該模型為長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1挖去四棱錐O?EFGH后所得的幾何體,其中O為長(zhǎng)方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6 cm,AA1=4 cm,3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)__g.

例1考查正弦型函數(shù)的周期性、單調(diào)性、零點(diǎn)、極值和函數(shù)圖像,需要學(xué)生對(duì)正弦型函數(shù)的相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)非常熟練.同時(shí),考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),是一道綜合能力要求較高的試題.

例2考查求長(zhǎng)方體、四棱錐的體積,并根據(jù)其體積與密度求出質(zhì)量.不僅考查多種凸多面體的體積的計(jì)算,還考查跨數(shù)學(xué)與物理學(xué)科進(jìn)行知識(shí)整合的能力.

2 問(wèn)題情境的復(fù)雜化

根據(jù)問(wèn)題情境的復(fù)雜程度,《體系》中把情境分為兩個(gè)層次:第一層是簡(jiǎn)單的情境,第二層是復(fù)雜的情境.其中,簡(jiǎn)單的情境,可以是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)只需運(yùn)用某一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)或某一種數(shù)學(xué)基本能力.

而復(fù)雜的情境,可以是在解決問(wèn)題時(shí)需要同時(shí)運(yùn)用一個(gè)知識(shí)板塊內(nèi)部的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn),或者某幾個(gè)知識(shí)板塊中各需要一個(gè)甚至多個(gè)知識(shí)點(diǎn),或者既需要運(yùn)用幾個(gè)知識(shí)點(diǎn),同時(shí)還需要運(yùn)用某一種或幾種數(shù)學(xué)基本能力.

例3(2019年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第21題)已知曲線為直線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)D作C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B.

(1)證明:直線AB過(guò)定點(diǎn);

本試題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與曲線相切、直線過(guò)定點(diǎn)等問(wèn)題.考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).在解決問(wèn)題過(guò)程中,不僅要綜合運(yùn)用拋物線與直線相切(導(dǎo)數(shù)或判別式方法)、直線方程的基本形式、直線與曲線相交弦的弦長(zhǎng)、點(diǎn)到直線距離、三角形的面積計(jì)算等數(shù)學(xué)知識(shí),還需要運(yùn)用把直線與曲線位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程組的數(shù)形結(jié)合思想等.在這樣的復(fù)雜情境下解決問(wèn)題,對(duì)考生的綜合性能力提出了極大的挑戰(zhàn).

二、綜合性的呈現(xiàn)形式

1 數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)與體系

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中提出了高中數(shù)學(xué)課程的三大目標(biāo):“四基”和“四能”、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)以及提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.而實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)的基礎(chǔ)是什么?是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)與體系的認(rèn)識(shí)和建構(gòu).

對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)與體系的認(rèn)識(shí),是基于課程標(biāo)準(zhǔn)所規(guī)定的課程目標(biāo)和內(nèi)容,以及高中學(xué)生的學(xué)情,要根據(jù)高中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),和他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的需要,并有利于促進(jìn)學(xué)生的未來(lái)發(fā)展.這樣,在教師的引導(dǎo)下,把一些零散的、相對(duì)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念與規(guī)則、數(shù)學(xué)命題與模型和數(shù)學(xué)思想與方法等加以整合,使得它們形成具有聯(lián)系的、動(dòng)態(tài)而相對(duì)完善的數(shù)學(xué)系統(tǒng),就構(gòu)成了高中數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)與體系.綜合性試題就是強(qiáng)調(diào)學(xué)科內(nèi)容進(jìn)行融合,以突顯對(duì)復(fù)合能力的要求.

例4(2019年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第19題)圖2是由矩形ADEB,Rt?ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=600,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連結(jié)DG,如圖3.

(1)證明:圖3中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC⊥平面BCGE;

(2)求圖3中的二面角B?CG?A的大小.

圖2

圖3

這是一道情境新穎的立體幾何考題.首先要對(duì)平面圖形折疊后再把多個(gè)平面粘在一起以構(gòu)成立體圖形.新構(gòu)成的多面體不是直棱柱,給構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系帶來(lái)麻煩;當(dāng)然,也可以使用傳統(tǒng)幾何方法,直接通過(guò)作輔助線構(gòu)建二面角的平面角,從而把求二面角轉(zhuǎn)化為解直角三角形,從數(shù)學(xué)運(yùn)算角度反而比空間向量方法簡(jiǎn)潔得多.所以,對(duì)平面幾何、立體幾何和空間向量等相關(guān)知識(shí)的結(jié)構(gòu)與體系的認(rèn)知是解決本題的關(guān)鍵.

2 解決問(wèn)題的思想與方法

數(shù)學(xué)思想是指由數(shù)學(xué)學(xué)科專家基于數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律與特點(diǎn),經(jīng)過(guò)高度概括和提煉而成的重要思想、觀念和見(jiàn)解,而這些思想對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及以后的發(fā)展都具有重要的影響力.數(shù)學(xué)思想對(duì)數(shù)學(xué)方法起調(diào)控作用,而數(shù)學(xué)方法則是數(shù)學(xué)思想的外在體現(xiàn),很多數(shù)學(xué)方法體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)思想.因此很多情況下“思想”與“方法”是等同的,并無(wú)十分明確的界限,我們常?；\統(tǒng)地使用“數(shù)學(xué)思想方法”一詞.如何在高中數(shù)學(xué)課堂上最大化地發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),從而更加深度地改進(jìn)教學(xué),還應(yīng)該著眼于數(shù)學(xué)思想方法的培育.而綜合性試題的一個(gè)很重要的目標(biāo),就是要對(duì)考生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法的理解與運(yùn)用水平進(jìn)行測(cè)量與評(píng)價(jià).

例5(2019年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第20題)已知函數(shù)f(x)=2x3?ax2+b.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)是否存在a,b,使得f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為?1且最大值為1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,說(shuō)明理由.

例6(2019年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第11題)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則( )

例5涉及的知識(shí)主要是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.第(1)問(wèn)考查能否準(zhǔn)確按導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)大小進(jìn)行分類(lèi)討論;而第(2)問(wèn),不僅討論導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)的大小,還要討論它們和定義域的端點(diǎn)的大小比較.從數(shù)學(xué)思想方法上看,解決本題的核心就是正確運(yùn)用分類(lèi)討論思想.而考生的易錯(cuò)點(diǎn)也恰好是分類(lèi)討論不完全、討論的依據(jù)不明顯等.

而例6考查函數(shù)基本性質(zhì),考生需要運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,把大小比較問(wèn)題這個(gè)代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分析函數(shù)圖像這個(gè)幾何問(wèn)題,即數(shù)形結(jié)合思想.

三、綜合性的主要內(nèi)容

從數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的選擇角度來(lái)看,綜合性要求“以多項(xiàng)相互關(guān)聯(lián)的活動(dòng)組成的復(fù)雜情境作為載體,能夠反映學(xué)科知識(shí)、能力內(nèi)部的整合及其綜合運(yùn)用,體現(xiàn)對(duì)即將進(jìn)入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者的知識(shí)、能力、素養(yǎng)之間的縱向整合能力以及綜合運(yùn)用水平的測(cè)量與評(píng)價(jià)”.

從高考評(píng)價(jià)體系中規(guī)定的考查內(nèi)容上看,必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)和核心價(jià)值這“四層”是緊密聯(lián)系的,它們構(gòu)成一個(gè)有機(jī)的整體,從而得以“讓素質(zhì)教育的目標(biāo)在高考中得到系統(tǒng)的體現(xiàn)”.知識(shí)、能力與素養(yǎng)雖然各自構(gòu)成一個(gè)完美的系統(tǒng),但是,不可能有脫離了知識(shí)的能力,也不可能有脫離了知識(shí)和能力的素養(yǎng).顯然,高素質(zhì)的人才,必然不僅在知識(shí)上有極廣的積累,而且在能力與素養(yǎng)上也有著較高的水平.綜合性試題必然會(huì)考查知識(shí)、能力與素養(yǎng)之間的縱向融合能力.

例7(2019年高考全國(guó)卷Ⅲ理科第15題)設(shè)F1,F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若?MF1F2為等腰三角形,則M的坐標(biāo)為_(kāi)___.

從知識(shí)層面上看,本題考查橢圓中的相關(guān)概念、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及解斜三角形等;從能力層面上看,考查語(yǔ)言解碼能力、符號(hào)理解能力,信息整理能力、信息轉(zhuǎn)化能力、形象思維和抽象思維能力以及辯證思維能力;從素養(yǎng)層面上看,考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

總之,如何體現(xiàn)在核心價(jià)值引領(lǐng)下對(duì)知識(shí)的交叉、能力的復(fù)合、素養(yǎng)的整合的全方位的考查,是“四翼”的綜合性對(duì)高考試題提出的要求.