一道三角最值問題的源與流

廣東省廣州市執(zhí)信中學(510080) 朱清波

2020屆廣州調研考試理科數(shù)學第16題是一道三角最值問題,其解法引起了眾多討論.諸多解法中,有些運算量較大,學生在短時間內很難保證準確性,只適合作課外探究;有些解答相對便捷,但學生臨場較難想到;還有些解答利用了待定系數(shù)法和柯西不等式等,能力要求較高的特殊技巧.本題解答固然重要,但只追求相關問題的解法而沒有從背后弄清這類問題的“源”是有些缺憾的.本文從這道題展開作一點拓展探究,以期提升對這類問題的更高層次的認知.

圖1

從測試結果反饋來看本題正確率極低,究其原因主要是學生在極短的時間內對條件解析的思路不清晰,有方向但沒有絕對的把握,有些是所選定的面積表示法過繁,無法保證其后續(xù)運算的準確性(如方法1和2);也有些是沿著一條路走的太遠,陷入了“死胡同”,當然學生缺乏用解析的思想來處理上述問題也是一個重要的原因.

比較而言,顯然解法4是這四種方法中運算最簡潔的;而(?)式表明:滿足條件的頂點A的軌跡實際上是一個與邊長a有比例關系的圓(除去兩個點).值得思考的一個問題是:為什么條件“4a2=b2+2c2”中隱藏著這個關鍵信息呢?下面我們從一個經(jīng)典的三角形中長度計算公式開始,逐步揭示該條件下所隱藏的相應規(guī)律.

問題2?ABC中,記A,B,C的對邊分別為a,b,c,如圖2,T是BC上一點,且求|AT|.

圖2

解析由B,T,C三點共線,所以兩邊各自與自身作數(shù)量積:

若條件為已知兩邊和一個夾角(即b,A,c),則上述(1)式即為線段AT長度的求法;

如上的等式(1)和(2)實際上均是平面幾何中斯特瓦爾特定理的兩種表示形式,它描述了三角形中頂點和其對邊上一點所構成的線段長和三條邊的內在聯(lián)系,而調研考試第16題中的條件實際上就隱藏著這個關系:由 4a2=b2+2c2,如圖 2,在 (2)中取便有這表明在BC邊上存在三等分點T(|TC|=2|BT|),始終滿足即點A的軌跡是一個與底邊BC長度相關的圓(除去共線時的兩個點).故(當AT⊥BC時取等號).

我們也可以用類似的思考方式解決另兩道高三模擬考試中的三角問題:

對如上調研試題的深入探究告訴我們:一個好的數(shù)學問題通常不是孤立存在的,正如波利亞所言,它往往是“同一片區(qū)域里眾多蘑菇中的比較顯眼的其中一個”,成功解析這道數(shù)學問題,是指建立該問題與已解決問題的某種關聯(lián),找到條件和待判斷結論的內在聯(lián)系,最終應是揭示這一類問題彼此間的“源”,而找到問題的“源”,則無論問題的表現(xiàn)形式,也即“流”,如何呈現(xiàn),都能把握到問題的本質,從而應對起來有條不紊.