巧借“變式” 提升素養(yǎng)

江蘇揚州市甘泉小學 劉付珍

《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調數學學習不僅要突出數學學科的本質特點，還應符合兒童思維發(fā)展的規(guī)律。數學課堂教學應努力探尋數學學習內容與兒童思維發(fā)展的聯結點，筆者認為“變式”正是連接二者的有效橋梁。所謂“變式”，是指通過變更對象的非本質特征而形成的表現形式。然而變式不是盲目地變，而應抓住問題的本質特征，遵循學生認知心理發(fā)展規(guī)律，根據實際需要進行合理變式。到底該如何立足于常態(tài)化的課堂教學，巧借“變式”凸顯數學學科的本質，使學生的智慧在“變式”中生長呢？筆者結合具體的教學實例，談一談自己的一些做法。

一、讀透教材意圖，找準變式的“點”，點燃思維

教材是課程標準的具體化，其編寫特別注重思想性與科學性、觀點與材料、理論與實際、知識和技能的廣度與深度、基礎知識與當代科學新成就的關系。在教學前，教者應讀透教材的編寫意圖，由表及里，由此及彼，由近及遠，用整體的觀點、聯系的思考、發(fā)展的眼光去分析數學知識背后的邏輯關系，豐富數學概念的意義內涵，探尋數學本質的源頭與脈絡。

例如，數學四年級下冊“認識梯形”一課，它是在學生認識了三角形、平行四邊形之后進行的學習。教學前，教師就需要運用整體的觀念去分析蘊藏在該單元數學學習內容背后的數學知識間的脈絡及內在的邏輯關系，建構起知識網絡圖（如圖1）。

基于以上對教學意圖的理解，在教學“認識梯形”一課時，筆者改變了直接出示例題圖的導入形式，而是將學生對梯形的認識有效建立在對三角形、平行四邊形的學習經驗基礎之上，從而找準變式的“點”，點燃思維的火花。

依次出示圖形（如圖2），學生將長方形、正方形和平行四邊形分成一類，并發(fā)現這三個圖形的共同特征是兩組對邊分別平行。

追問：是不是所有的四邊形都是這樣呢？（如圖3）

……

師（電腦動態(tài)演示）：這是我們已經認識的三角形和平行四邊形，如果讓它們像這樣相遇、重疊，重疊部分的形狀是什么圖形？（如圖3）

師：如果旋轉平行四邊形，得到的還是梯形嗎？學生說理由。依次旋轉，得到圖4。

追問：通過旋轉，重疊部分發(fā)生了變化，為什么都是梯形呢？

師出示圖5：將兩個三角形像這樣重疊，兩個平行四邊形這樣重疊，重疊部分的圖形還是梯形嗎？為什么？

辨析后，學生將重疊部分的圖形分別添上一條線段，分割出梯形。觀察比較—動手嘗試—展示交流，學生感悟到：圖4中的四邊形沒有互相平行的對邊，可以運用畫平行線的方法，創(chuàng)造出一組，分割出梯形；右圖是平行四邊形，只要保留一組對邊平行，破壞一組就可以了。

這樣的認知過程，充分借助了變式，使學生在觀察、對比、分析、交流中對梯形的定義有了透徹而清晰的認識，同時對如何將一般四邊形及有兩組對邊分別平行的四邊形分割出梯形的方法有了深刻的體驗。在豐富學生對四邊形類型的認識的同時，自然回答了課始的質疑“是不是所有的四邊形都是這樣呢？”不著痕跡地展示了圖形間的區(qū)別與聯系，培養(yǎng)了學生抽象、概括、歸納、類比的能力，發(fā)展了空間觀念，培養(yǎng)了思維的敏捷性與批判性。

二、遵循邏輯規(guī)律，把準變式的“脈”，發(fā)展思維

學生是教學的對象，更是學習的主體。教師在進行教學設計及組織教學時，要基于學生的現實認知需求，準確把握學生已有知識的邏輯起點及現實的學習經驗水平，遵循學生的認知規(guī)律，把準變式的“脈”，激發(fā)學生的學習興趣，發(fā)展其思維品質。

如蘇教版數學六年級上冊“長方體和正方體的體積”一課，學生選擇1 cm3的小正方體照樣子擺出長3 cm寬2 cm高2 cm的長方體后，學生發(fā)現小正方體的個數是多少，這個長方體的體積就是多少立方厘米。教師緊接著提問：“回過頭來看一看，你認為長方體的體積與什么有關？會有怎樣的關系呢？” 指名回答后追問：“但是只憑一個例子能說明問題嗎？”學生意識到需要舉更多的例子來驗證。于是以小組合作的形式學生繼續(xù)借助1 cm3的小正方體進行研究。出示活動要求（如圖6）。學生活動時教師借助相機拍攝學生擺出的長方體，并上傳到電腦屏幕。反饋后追問：“大家舉的例子真是太多了，但是不管怎么擺，都符合長×寬×高嗎？”驗證收集來的數據。師：“全班同學舉了這么多的例子都符合，那萬一有一個例子不符合呢？還要再舉例子嗎？永遠也舉不完，怎么辦？”

結合PPT演示進行說理：長是多少厘米，一排就擺多少個1 cm3；寬是幾厘米，就可以擺這樣的幾排；高是幾厘米，就有這樣的幾層。剛剛我們是用1 cm3的小正方體來擺的。推想一下，如果用1 dm3，1m3……的正方體也是可以的。學生伸出手來跟著老師邊比畫邊想象：一排擺了多少個，長就是多少；擺了幾排，寬就是多少；有幾層，高就是多少。因為小正方體的個數=每排個數× 排數× 層數，所以長方體的體積=長×寬×高。學生由實際操作的1 cm3的小正方體推想到1 dm3，1 m3……的正方體，借助合理的想象和推理，有力地證明了長方體的體積=長×寬×高，這樣的過程使學生既經歷了不完全歸納推理又感受了嚴密的邏輯推理。在對長方體體積計算方法的深刻理解后，學生很自然地推理出了正方體的體積計算方法，因為正方體是特殊的長方體，所以正方體的體積=棱長×棱長×棱長。

這樣的探究過程既有驗證方式的改變，也有用于測量的體積單位的改變，既有深刻細致的研究，也有簡明扼要的推理。外形與內涵的有機變式基于學生在剛剛經歷的自主探究過程中所積累的感性經驗，遵循了學生的認知規(guī)律，既拓寬了學生的研究思路，幫助學生積累了研究的實踐經驗，又發(fā)展了其思維的深刻性與批判性，在遷移中培養(yǎng)了學生的探究精神與創(chuàng)新意識。

三、緊扣知識結構，定準變式的“本”，提升思維

周玉仁教授對小學生的數學學習過程曾這樣闡釋：小學生的數學學習是一個經驗激活、利用、調整、積累、提升的過程，是建立在經驗基礎之上的一個主動建構的過程。小學數學教材的編排必須依據于學生的年齡特征及心理發(fā)展規(guī)律，學生所學習的數學知識也呈螺旋上升之勢，各領域的知識板塊看似獨立卻相互交融，有著不可分割的內在關聯。學習時，教師應該積極引導學生捕捉知識的建構點、生長點及聯結點，確立變式的“本”，綜合學生的已有知識經驗，幫助學生串起一條美麗的知識“項鏈”，抑或編織一幅靚麗的知識網絡圖，使學生在點—線—面—體的建構過程中，豐富認知，積累經驗，在一維—二維—三維的深化提升中發(fā)展學科素養(yǎng)。

如上述所例舉的“長方體和正方體的體積”一課，能夠一針見血地抓住長方體的體積計算就是看長方體里有幾個體積單位，緊緊立足于學生在認識體積單位時所積累的經驗“用體積單位來測量物體的體積”，并且一次貫穿始終，在課尾回顧反思時，出示華羅庚的名言——量起源于量，將長度、面積、體積之間的聯系打通。結合PPT的演示（如圖7），引導學生思考：要知道這條線段的長度，咱們用長度單位去測量；要知道這個長方形面積呢？咱們用面積單位測量，看每排擺幾個，擺了幾排，實際上就是看長和寬里各有幾個長度單位，用長×寬計算面積。今天咱們研究長方體體積，是用體積單位去測量，不僅要知道每排擺幾個，擺了這樣的幾排，還要知道擺了幾層，實際上就是看長、寬、高里各有幾個長度單位，然后用長×寬×高計算體積。通過測量，不僅找出了計算公式，還溝通了長度、面積和體積之間的聯系。這樣的探究，不僅豐盈了學生的認知經驗，還增強了學生的綜合學習能力，提升了其思維的廣度與深度。

四、依據數學邏輯，摸準變式的“理”，深化思維

皮亞杰說：“活動是認識的基礎，智慧從動作開始?！睂W生良好的數學思維的發(fā)展需建立在學生切身體驗數學活動的“過程”與“經歷”之中。課堂上，教師應注重創(chuàng)設形式豐富的學習活動，把學生在數學課堂上應獲得的數學活動經驗注入于學生全員參與、自主探究、操作體驗的數學活動的過程中，使學生在體驗中領悟數學、豐富想象、積累經驗、深化思維。如蘇教版數學五年級下冊“圓的面積”一課，課伊始，拋出問題：我們已經學習了哪些平面圖形的面積計算方法？是怎樣研究的？從而使學生感悟到要研究圓的面積計算方法，就要將圓轉化為我們已經學過的平面圖形?；诖?，教師給予學生充分的時間和空間，學生拿出課前準備的圓片，將圓平均分成16份，嘗試拼擺出近似的平行四邊形、三角形和梯形（如圖8）， 并在觀察中發(fā)現各圖形與圓之間的關系，借助計算，推理出圓的面積計算方法。雖然轉化成的圖形不同，但是殊途同歸，都得到了圓的計算公式是πr2。

此環(huán)節(jié)，學生多形式的轉化，依據的是數學知識學習的內在邏輯，變更的是研究問題的角度與方法，學生在對變與不變的分析思考中，感悟到了變式的“理”所在，既深化了對數學知識本質的理解，又豐富了對數學思想方法的認識，從而使思維向更深處漫溯。

數學教學中的變式絕不是舊瓶裝新酒，更不是換湯不換藥，它基于對教材的深刻研讀，遵循學生的認知規(guī)律和知識間的內在邏輯。教師需從學生的已有知識基礎和實際學習經驗出發(fā)，有依據地變，有方向地變，有價值地變，使學生的思維在“變式”中燃燒，智慧在“變式”中流淌。