考慮輪軌非線性接觸的車(chē)輛-軌道-橋梁垂向耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析

劉付山 曾志平 郭無(wú)極 朱志輝

摘要：基于列車(chē)-軌道-橋梁耦合動(dòng)力學(xué)理論，考慮輪軌接觸非線性，采用廣義概率密度演化理論建立了列車(chē)一軌道一橋梁垂向耦合系統(tǒng)非線性隨機(jī)振動(dòng)方程。采用數(shù)論選點(diǎn)法結(jié)合譜表示一隨機(jī)函數(shù)法生成軌道隨機(jī)不平順樣本，實(shí)現(xiàn)了用兩個(gè)隨機(jī)變量和少量樣本較精確地反映軌道不平順功率譜的隨機(jī)特性。以高速列車(chē)一簡(jiǎn)支梁橋上CRTSI型板式無(wú)砟軌道為例，從概率及可靠度角度，考慮非線性輪軌關(guān)系中跳軌現(xiàn)象以及軌道隨機(jī)平順影響，對(duì)比分析了線性與非線性輪軌對(duì)車(chē)輛運(yùn)行安全性的影響;計(jì)算了不同軌道譜、車(chē)輛運(yùn)行速度下輪重減載率概率密度演化規(guī)律及其對(duì)車(chē)輛運(yùn)行安全性影響。結(jié)果表明，建議的方法可通過(guò)較少的隨機(jī)變量和樣本計(jì)算得到車(chē)輛一軌道一橋梁耦合系統(tǒng)非線性隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)及其概率分布，可為車(chē)輛運(yùn)行安全性評(píng)價(jià)提供更好的指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：非線性隨機(jī)振動(dòng);車(chē)輛-軌道-橋梁垂向耦合系統(tǒng);概率密度演化;車(chē)輛運(yùn)行安全性

中圖分類(lèi)號(hào)：0324;U238;U270.1⁺1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2020）01-0139-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.i004-4523.2020.01.016

引言

隨著隨機(jī)振動(dòng)及其相關(guān)理論的發(fā)展，許多學(xué)者對(duì)考慮軌道隨機(jī)不平順情況下的車(chē)輛一軌道一橋梁耦合系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了研究。翟婉明通過(guò)將車(chē)輛一軌道模型等效線性化，采用線性系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)頻域分析方法，對(duì)車(chē)輛一軌道耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行了隨機(jī)振動(dòng)分析，同時(shí)指出，目前針對(duì)非線性車(chē)輛一軌道系統(tǒng)，進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)分析的有效方法是數(shù)值積分法，即采用一段足夠長(zhǎng)的樣本來(lái)代表整個(gè)隨機(jī)過(guò)程;文獻(xiàn)[3-4]采用Monte-Carlo法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，對(duì)車(chē)輛一軌道一橋梁耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行了隨機(jī)振動(dòng)分析;文獻(xiàn)[5-6]通過(guò)虛擬激勵(lì)法對(duì)車(chē)輛一軌道一橋梁耦合系統(tǒng)進(jìn)行了隨機(jī)振動(dòng)分析，但由于虛擬激勵(lì)法只適用于輸入與輸出成線性關(guān)系的動(dòng)力系統(tǒng)，因而采用的是線性化的車(chē)輛一軌道一橋梁耦合動(dòng)力學(xué)模型;余志武等[7-8]采用廣義概率密度演化理論，將車(chē)輛一軌道一橋梁耦合動(dòng)力系統(tǒng)等效線性化后，對(duì)其隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了研究。綜上可以看出，對(duì)車(chē)輛一軌道一橋梁耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)研究多將系統(tǒng)線性化后進(jìn)行分析，或采用較長(zhǎng)的軌道不平順樣本來(lái)代替整個(gè)隨機(jī)過(guò)程。

在車(chē)輛一軌道一橋梁耦合動(dòng)力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析中，耦合動(dòng)力系統(tǒng)的主要激勵(lì)源軌道不平順需要通過(guò)輪軌相互作用關(guān)系輸入到耦合動(dòng)力系統(tǒng)中，除此以外，輪軌關(guān)系還需要準(zhǔn)確反映車(chē)輪與鋼軌問(wèn)的受力狀態(tài)。由于車(chē)輪、鋼軌踏面形狀的幾何非線性及其之問(wèn)的力學(xué)關(guān)系，輪軌問(wèn)相互作用關(guān)系往往表現(xiàn)出較強(qiáng)的非線性特征，而非線性車(chē)輛一軌道一橋梁耦合系統(tǒng)的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)還未見(jiàn)相關(guān)研究。

近年來(lái)廣義概率密度演化理論的發(fā)展，為非線性系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析提供了可能。本文基于廣義概率密度演化方法，利用考慮輪軌問(wèn)非線性相互作用關(guān)系的非線性車(chē)輛一軌道一橋梁耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析模型，采用數(shù)論選點(diǎn)法（NTM）結(jié)合譜表示一隨機(jī)函數(shù)法生成軌道不平順樣本，以較少樣本計(jì)算出系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)及其概率分布，以車(chē)輛運(yùn)行安全性指標(biāo)——車(chē)體垂向加速度、輪重減載率為主要研究對(duì)象，對(duì)非線性車(chē)輛一軌道一橋梁垂向耦合系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)振動(dòng)分析，研究方法可用于車(chē)輛運(yùn)行安全性評(píng)價(jià)。

1車(chē)輛-軌道-橋梁垂向耦合動(dòng)力分析模型

本文將車(chē)輛一軌道一橋梁耦合系統(tǒng)分為車(chē)輛、鋼軌、軌道結(jié)構(gòu)一橋梁三部分分別建模，其中車(chē)輛模型與鋼軌問(wèn)通過(guò)輪軌關(guān)系耦合，鋼軌與軌道結(jié)構(gòu)一橋梁模型問(wèn)通過(guò)扣件耦合，建立的非線性車(chē)輛一軌道一橋梁垂向耦合動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。

1.1車(chē)輛模型

將車(chē)輛模擬成由一個(gè)車(chē)體、兩個(gè)構(gòu)架、四個(gè)輪對(duì)和兩系懸掛組成的，以速度V運(yùn)行在軌道結(jié)構(gòu)上的多剛體系統(tǒng)。在垂向模型中，每個(gè)剛體具有垂向位移（z）、點(diǎn)頭（β）兩個(gè)自由度，兩系懸掛采用線性彈簧阻尼器模擬。

1.2鋼軌振動(dòng)方程

將鋼軌視為有限長(zhǎng)簡(jiǎn)支梁，采用Euler梁模型模擬，鋼軌振動(dòng)微分方程可表示為

參考文獻(xiàn)[12]，將水泥乳化瀝青砂漿層離散為分布彈簧，軌道板與底座板問(wèn)通過(guò)砂漿層彈簧阻尼單元連接。將橋面板離散為分布彈簧，底座板與橋梁通過(guò)橋面板彈簧連接。在板縫和梁縫處，單元長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生改變，板縫、梁縫處的單元?jiǎng)澐秩鐖D1（a），（b）所示。

1.4輪軌關(guān)系

由于廣義概率密度演化方程實(shí)現(xiàn)了概率空問(wèn)與物理空問(wèn)的解耦，因而其可以廣泛運(yùn)用于各種非線性問(wèn)題。通過(guò)聯(lián)立物理方程與廣義概率密度演化方程并通過(guò)數(shù)值方法次序求解，則不難給出復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的隨機(jī)非線性響應(yīng)解答。

3軌道隨機(jī)不平順數(shù)值模擬方法

通過(guò)實(shí)測(cè)發(fā)現(xiàn)，軌道隨機(jī)不平順具有較強(qiáng)的隨機(jī)性，隨著中國(guó)鐵路發(fā)展，廣大的科研院所、運(yùn)營(yíng)單位獲得了大量軌道隨機(jī)不平順數(shù)據(jù)，但這些數(shù)據(jù)若直接用于理論計(jì)算，其計(jì)算量將是巨大的。功率譜密度函數(shù)是通過(guò)對(duì)大量運(yùn)營(yíng)線路實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析后得到的，是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的軌道不平順最重要和最常用的統(tǒng)計(jì)函數(shù)，中國(guó)也在近年發(fā)布并實(shí)施了反映中國(guó)高速鐵路無(wú)砟軌道不平順狀態(tài)的《高速鐵路無(wú)砟軌道不平順功率譜TB/T 3352-2014））。對(duì)于非線性系統(tǒng)，功率譜無(wú)法直接輸入，還需將軌道隨機(jī)平順功率譜轉(zhuǎn)換為時(shí)域樣本輸入動(dòng)力學(xué)模型。通過(guò)合適的計(jì)算方法，得到具有代表性的軌道隨機(jī)不平順樣本，充分反映軌道隨機(jī)不平順統(tǒng)計(jì)特征，在可更好地反映實(shí)際線路狀態(tài)及其隨機(jī)特性的同時(shí)，最大限度地減少計(jì)算工作量。

在傅里葉變換中，要更好地反映目標(biāo)過(guò)程，通常需要大量的頻率分量，軌道不平順的模擬同樣如此，否則生成的軌道隨機(jī)不平順時(shí)程將不能使用，例如可能具有明顯的周期性_1引。在進(jìn)行非線性隨機(jī)振動(dòng)分析時(shí)，直接采用數(shù)百個(gè)諧波分量或頻率分量的情況下，往往需要大量樣本計(jì)算才能滿足分析計(jì)算精度要求。

為了減少生成軌道隨機(jī)不平順時(shí)所需的隨機(jī)變量數(shù)，本文采用譜表示一隨機(jī)函數(shù)法生成軌道不平順時(shí)程樣本，相較于常用的三級(jí)級(jí)數(shù)法、隨機(jī)諧和函數(shù)法，該方法實(shí)現(xiàn)了軌道隨機(jī)不平順樣本模擬過(guò)程的降維，可用一個(gè)或兩個(gè)基本隨機(jī)變量對(duì)模擬生成軌道隨機(jī)不平順時(shí)域樣本。采用譜表示一隨機(jī)函數(shù)法時(shí)軌道不平順樣本可表示為

文獻(xiàn)[15]中計(jì)算高速鐵路無(wú)砟軌道不平順功率時(shí)，計(jì)算單元長(zhǎng)為1024m，采樣問(wèn)隔0.25m，共4096點(diǎn)，單個(gè)計(jì)算單元經(jīng)傅里葉變換后最多可得頻點(diǎn)4096個(gè)。為盡可能保留軌道不平順中的頻率信息，參考軌道不平順功率譜計(jì)算方法，生成軌道不平順時(shí)程樣本時(shí)，單個(gè)樣本長(zhǎng)度不超過(guò)1024m，頻率采樣點(diǎn)取4096個(gè)，采用隨機(jī)譜函數(shù)法時(shí)僅需兩個(gè)隨機(jī)變量。

采用數(shù)論選點(diǎn)法生成隨機(jī)變量的低偏差數(shù)列，采用隨機(jī)譜函數(shù)法計(jì)算得到610個(gè)軌道不平順隨機(jī)樣本。單個(gè)軌道不平順樣本及其功率譜對(duì)比情況如圖3和圖4所示。圖4中單個(gè)軌道不平順的功率譜密度與功率譜密度函數(shù)得到的功率譜相差較大，這是由于常用的軌道不平順功率譜為大量實(shí)測(cè)軌道不平順統(tǒng)計(jì)分析得到的均值譜，軌道不平順譜一次計(jì)算的隨機(jī)誤差很大，達(dá)到100%，因而單個(gè)有限長(zhǎng)度的不平順樣本功率譜密度會(huì)與功率譜密度函數(shù)存在較大偏差。

樣本總體均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及功率譜密度對(duì)比情況如圖5所示，從圖中可以看出，樣本總體均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及功率譜密度與目標(biāo)譜吻合較好，采用譜表示一隨機(jī)譜函數(shù)法可準(zhǔn)確模擬生成軌道隨機(jī)不平順時(shí)域樣本，且實(shí)現(xiàn)了數(shù)值模擬過(guò)程的降維。

4計(jì)算流程及數(shù)值計(jì)算方法

本文中車(chē)輛一鋼軌系統(tǒng)采用“翟積分”顯式積分方法求解，該方法具有較好的非線性適應(yīng)性強(qiáng);軌道一橋梁模型采用Newmark-β法求解。廣義概率密度演化方程求解時(shí)，采用TVD（Total VariationDiminishing）格式的有限差分法求解。具體求解過(guò)程如圖6所示。

5模型驗(yàn)證及數(shù)值分析

5.1模型驗(yàn)證

本文以橋上單元板式無(wú)砟軌道、32m簡(jiǎn)支梁、CRH2型動(dòng)車(chē)組為工程背景。軌道不平順采用中國(guó)高速鐵路無(wú)砟軌道不平順譜，波長(zhǎng)范圍2-200m。采用NTM（數(shù)論選點(diǎn)法）、隨機(jī)譜函數(shù)各生成377，610，987個(gè)軌道不平順隨機(jī)樣本，以610個(gè)樣本工況為例，計(jì)算得到考慮非線性輪軌關(guān)系時(shí)的輪重減載率、車(chē)體垂向加速度概率密度演化情況如圖7和圖8所示。

相較于傳統(tǒng)的單樣本分析，采用廣義概率密度演化方法，可用較少樣本得到考慮軌道隨機(jī)不平順下的概率分布，為可靠性分析提供了可能。需要指出的是在圖7中，車(chē)體加速度出現(xiàn)明顯的周期性變化，其周期長(zhǎng)度與梁長(zhǎng)相同，這是由于梁體變形引起的車(chē)體周期性變化，在等概率密度圖中可以很容易發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象，而在單個(gè)樣本分析時(shí)往往難以察覺(jué)到。

采用MCM（蒙特卡羅法）計(jì)算得到30000個(gè)樣本與PDEM（廣義概率密度演化法）法377，610，987個(gè)樣本均值對(duì)比情況如圖9和10所示，以車(chē)輛運(yùn)行距離200m處為例，累積概率分布及截口概率密度如圖9和10所示。表1中列舉了計(jì)算距離范圍內(nèi)的輪重減載率、車(chē)體垂向加速度累積概率分布絕對(duì)誤差最大值情況。

綜上可以看出，本文中模型計(jì)算結(jié)果與大量樣本的MCM計(jì)算結(jié)果相比偏差較小，且小于相同樣本數(shù)MCM計(jì)算結(jié)果，計(jì)算偏差能夠滿足工程應(yīng)用計(jì)算精度要求。

5.2線性與非線性輪軌關(guān)系對(duì)比分析

本文1.4中分析了線性與非線性輪軌關(guān)系在剛度變化曲線中的區(qū)別，利用車(chē)輛一軌道一橋梁耦合動(dòng)力學(xué)模型，結(jié)合廣義概率密度演化理論對(duì)線性與非線性輪軌關(guān)系和對(duì)車(chē)輛運(yùn)行安全性的影響進(jìn)行對(duì)比分析。

由于本文采用的中國(guó)高速鐵路無(wú)砟軌道不平順譜的平順較好，跳軌的情況不易發(fā)生，這里將軌道隨機(jī)不平順xk與10m長(zhǎng)的確定性諧波不平順xz疊加，參考《高速鐵路養(yǎng)護(hù)維修規(guī)則》軌道不平順Ⅳ級(jí)偏差標(biāo)準(zhǔn)，不平順?lè)等?5mm。運(yùn)行速度350km/h時(shí)，線性與非線性輪軌關(guān)系下的輪重減載率單樣本對(duì)比如圖11所示。從圖中可以看出，車(chē)輛-軌道-橋梁垂向耦合動(dòng)力學(xué)模型中，線性與非線性輪軌關(guān)系對(duì)輪重減載率區(qū)別主要體現(xiàn)在發(fā)生跳軌階段，而其他位置輪重減載率相差很小。

線性與非線性輪軌關(guān)系下的輪重減載率概率密度演化情況如圖12和圖13所示?？紤]在軌道不平順隨機(jī)情況下，以輪重減載率0.8為限值，線性與非線性輪重減載率超限概率分別為26.36%，23.36%。在采用線性輪軌接觸關(guān)系的模型中，當(dāng)輪重減載率大于1時(shí)即認(rèn)為發(fā)生了跳軌，采用線性與非線性輪軌關(guān)系模型中，跳軌概率分別為1.40%，0.45%。

綜上可以看出，單樣本分析時(shí)，線性與非線性輪軌關(guān)系主要區(qū)別在于對(duì)輪軌問(wèn)跳軌的模擬，而考慮軌道不平順隨機(jī)情況下，線性化輪軌關(guān)系的輪重減載率超限概率與跳軌概率均大于非線性化輪軌關(guān)系。

5.3不同軌道譜對(duì)車(chē)輛運(yùn)行安全性影響分析

不同軌道不平順功率譜反映的是不同線路軌道隨機(jī)不平順統(tǒng)計(jì)特性，以研究中常用的德國(guó)低干擾譜、美國(guó)六級(jí)譜、中國(guó)高速鐵路無(wú)砟軌道不平順譜為例，對(duì)不同線路狀態(tài)下列車(chē)運(yùn)行安全性評(píng)價(jià)方法進(jìn)行說(shuō)明，采用本文中計(jì)算方法，車(chē)輛運(yùn)行速度為350km/h，分別以輪重減載率0.6，0.8為限值，車(chē)輛運(yùn)行安全性可靠度如圖14和圖15所示。

由于中國(guó)無(wú)砟軌道不平順的平順性優(yōu)于美國(guó)六級(jí)譜以及德國(guó)低干擾譜，采用中國(guó)無(wú)砟軌道譜的情況下車(chē)輛運(yùn)行安全性可靠度最佳。綜上可以看出，采用本文中方法，可用較少樣本對(duì)考慮軌道隨機(jī)不平順情況下的車(chē)輛運(yùn)行安全性可靠度進(jìn)行計(jì)算。

5.4車(chē)輛運(yùn)行速度對(duì)車(chē)輛運(yùn)行安全性影響分析

采用本文中計(jì)算方法，分別計(jì)算得到時(shí)速250-450km/h下輪重減載率概率演化情況。分別以輪重減載率0.2，0.3，0.4，0.5為限值，不同速度下的車(chē)輛運(yùn)行安全性可靠度如圖16所示。

由于中國(guó)高速鐵路無(wú)砟軌道不平順譜的平順性好，且本文中僅考慮了垂向振動(dòng)，因而本文模型中計(jì)算得到的輪重減載率相較于實(shí)際情況偏小。本文中僅采用這一計(jì)算結(jié)果分析速度對(duì)行車(chē)安全性影響。不同輪重減載率限值情況下，車(chē)輛運(yùn)行安全性可靠度隨速度增大而逐漸降低，且下降速率逐漸加快，而要獲得更高車(chē)輛運(yùn)行安全性可靠度，需要軌道具有更好的平順性，因而隨著運(yùn)行速度增加，對(duì)軌道平順性要求不僅僅是逐漸加強(qiáng)，且愈加嚴(yán)苛。

6結(jié)論

車(chē)輛一軌道一橋梁耦合動(dòng)力系統(tǒng)由于其自身力學(xué)特性決定了其必然是一個(gè)多自由度的非線性系統(tǒng)，同時(shí)由于軌道不平順的隨機(jī)性，有必要對(duì)其隨機(jī)振動(dòng)特性進(jìn)行研究。本文考慮車(chē)輛一軌道一橋梁耦合動(dòng)力系統(tǒng)中關(guān)鍵的輪軌接觸非線性，采用廣義概率密度演化理論，結(jié)合現(xiàn)有理論中的車(chē)輛運(yùn)行安全性評(píng)價(jià)指標(biāo)如車(chē)體加速度、輪重減載率，對(duì)非線性車(chē)輛一軌道一橋梁耦合動(dòng)力系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)特性進(jìn)行了分析。

（1）采用數(shù)論選點(diǎn)法結(jié)合譜表示一隨機(jī)譜函數(shù)法生成軌道隨機(jī)不平順樣本，實(shí)現(xiàn)了軌道隨機(jī)不平順數(shù)值模擬過(guò)程的降維，并通過(guò)樣本均值、標(biāo)準(zhǔn)差、功率譜密度的對(duì)比，驗(yàn)證了數(shù)值模擬方法的準(zhǔn)確性。

（2）從概率角度對(duì)比了線性與非線性輪軌關(guān)系對(duì)列車(chē)運(yùn)行安全性影響。計(jì)算結(jié)果表明，在僅考慮垂向振動(dòng)的情況下，采用線性輪軌關(guān)系計(jì)算結(jié)果偏向于保守。

（3）建立了考慮輪軌非線性接觸的車(chē)輛一軌道一橋梁垂向耦合系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析模型，并對(duì)不同軌道譜、不同行車(chē)速度情況下的車(chē)輛運(yùn)行安全性進(jìn)行了研究。

計(jì)算結(jié)果表明，本文中建議的方法可通過(guò)較少的隨機(jī)變量和樣本計(jì)算得到車(chē)輛一軌道一橋梁耦合動(dòng)力系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)及其概率分布，結(jié)合各評(píng)價(jià)指標(biāo)，可為車(chē)輛運(yùn)行安全性評(píng)價(jià)提供更好的指導(dǎo)。