關(guān)注解題反思，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)

繆平

[摘 ?要] 文章針對(duì)如何培養(yǎng)學(xué)生的解題反思能力進(jìn)行了實(shí)踐與研究，通過反思審題過程、反思解題結(jié)果、反思解題思想方法，讓學(xué)生養(yǎng)成主動(dòng)反思的習(xí)慣，使學(xué)生自主探索學(xué)習(xí)，從而提升學(xué)習(xí)能力，為可持續(xù)發(fā)展打下良好的基礎(chǔ).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué);審題;解題;反思;解題能力

數(shù)學(xué)解題反思是在解題過后的再思考、再認(rèn)識(shí)，達(dá)到逐步提升的一個(gè)過程. 我國最早的教育著作《學(xué)記》中說：“學(xué)然后知不足，教然后知困. 知不足，然后能自反也;知困，然后能自強(qiáng)也. ”在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，任何一個(gè)學(xué)生，不論其學(xué)習(xí)能力起點(diǎn)如何，其學(xué)習(xí)能力的提升大多數(shù)是通過數(shù)學(xué)解題來實(shí)現(xiàn)的. 隨時(shí)進(jìn)行反思，是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵措施. 在新課程實(shí)施的今天，如何在教學(xué)活動(dòng)中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)解題反思能力進(jìn)行有效的培養(yǎng)，已經(jīng)成為當(dāng)前教師進(jìn)行新課改的一項(xiàng)重要任務(wù).

反思審題過程，確保解題的合理性和正確性

審題不是把字面意思讀一遍就結(jié)束了，而是要迅速準(zhǔn)確地把握住題目的題表信息和題目的隱含信息.

1. 反思是否讀出了題表信息

例：如圖1所示，直線y=-x+3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)B，C，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B，C，點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式;

（2）若點(diǎn)P在直線BC上，且S=·S，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

認(rèn)真審題，我們發(fā)現(xiàn)這一題強(qiáng)調(diào)的是“點(diǎn)P在直線BC上”，顯然題目中的表層信息是要考慮點(diǎn)P在直線上的位置，要分類討論點(diǎn)P可能在第一象限，可能在第二象限，當(dāng)然由題意S=S，可否定點(diǎn)P在第四象限. 學(xué)會(huì)讀出題中的表層信息可以減少題目漏解，確保解答的完備性.

通過反思審題，學(xué)會(huì)讀出表層信息，就是要能夠根據(jù)題目的“字面”意義獲取有利于解題的信息. 如已知一元二次方程有兩個(gè)解，要考慮兩個(gè)解是相等還是不相等. 再如，已知兩個(gè)三角形相似，要注意是否存在不同點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 兩圓相切要考慮兩圓有外切和內(nèi)切，△ABC是等腰三角形，要分成三種情況討論，①AB=BC， ②AB=AC，③BC=AC.

2. 反思是否讀出了題目的隱含信息

例：已知x，x是關(guān)于x的方程x2-（m-1）x+2m=0的兩根，且滿足x+x=8，求m的值.

分析：這題表面看似簡單，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，x+x=m-1，xx=2m，x+x=（x+x）2-2xx=（m-1）2-4m=m2-6m+1=8，解這個(gè)一元二次方程可求出m的值. 但這題要考慮用根與系數(shù)的關(guān)系的前提是解要存在，所以需要Δ≥0.

解題時(shí)因?qū)忣}不準(zhǔn)，概念不清，忽視條件，套用相近知識(shí)，考慮不周或計(jì)算出錯(cuò)，難免產(chǎn)生這樣或那樣的錯(cuò)誤. 審題是解題的基礎(chǔ)，讀懂題是正確、迅速解題的前提. 波利亞說：“最糟糕的情況是學(xué)生沒有弄清問題就進(jìn)行計(jì)算. ”事實(shí)上，這樣的錯(cuò)誤經(jīng)常出現(xiàn). 為此，在平時(shí)的教學(xué)中筆者注意引導(dǎo)學(xué)生分兩步讀題，第一步：每讀一小部分，找出這句話的關(guān)鍵部分做上記號(hào)，同時(shí)思考由這部分我們可得出哪些信息，這樣一小部分一小部分地讀完整道題. 第二步：再快讀整道題，找出整道題的重點(diǎn)，避開與解題無關(guān)的文字，直擊主題.

反思解題結(jié)果，查缺補(bǔ)漏，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣

檢驗(yàn)不是計(jì)算題的專利，學(xué)生的很多錯(cuò)誤都是由于缺少檢驗(yàn)而導(dǎo)致的，因此養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要條件之一.

1. 學(xué)會(huì)邊算邊驗(yàn)

例：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過（0，1）和（2，3）兩點(diǎn).

（1）如果拋物線的開口向下，對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，求a的取值范圍;

（2）若對(duì)稱軸為x=-1，求拋物線的解析式.

分析：這題的第一問錯(cuò)的學(xué)生非常多，原因是直接由拋物線的開口向下即得a<0，如果這樣做，那就漏掉了條件“對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)”，這時(shí)我們要細(xì)細(xì)品味這句話，千萬不能急功近利. 在解題過程中可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，這需要我們?cè)诮忸}時(shí)邊算邊驗(yàn)，一步一回頭，爭取一次做到位，防止無效勞動(dòng).

2. 學(xué)會(huì)算完再驗(yàn)

例：若關(guān)于x的一元二次方程（m-1）·x2+5x+m2-3m+2=0的常數(shù)項(xiàng)為0，求m的值.

分析：m2-3m+2=0，可解得m=1，m=2，這時(shí)如果不再驗(yàn)算，那這道題就徒勞無功了. 這題的驗(yàn)算只需將m=1，m=2代入原方程，將m=1代入就會(huì)發(fā)現(xiàn)原方程不是一元二次方程了.

解題后可對(duì)解題過程進(jìn)行回顧和評(píng)價(jià)，對(duì)結(jié)論的正確性和合理性進(jìn)行驗(yàn)證. 讓學(xué)生學(xué)會(huì)驗(yàn)算，可以從不同角度，不同側(cè)面去探討解題結(jié)果是否正確，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、嚴(yán)密性有很大幫助. 養(yǎng)成良好的驗(yàn)算習(xí)慣，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣非常重要.

反思解題方法，提高綜合解題能力

數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系縱橫交錯(cuò)，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸. 學(xué)生在解題時(shí)往往滿足于做出題目，而對(duì)自己解題方法的優(yōu)劣卻從來不加評(píng)價(jià)，作業(yè)中經(jīng)常出現(xiàn)解題過程單一、思路狹窄、解法陳舊、邏輯混亂、敘述冗長、主次不分等不足，即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路，最優(yōu)最簡捷的解法.

1. 一題多解

一題多解既可看到知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、巧妙轉(zhuǎn)化和靈活運(yùn)用，又能開拓思維，讓學(xué)生充分發(fā)揮自己的數(shù)學(xué)思維運(yùn)用能力，找到問題的最優(yōu)解法.？搖

例：如圖2，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別是C，D.

求證：（1）∠ECD=∠EDC;（2）OC=OD;（3）OE是線段CD的垂直平分線.

解法1：利用△OCE≌△ODE，得到∠OED=∠OEC，再通過證明圖中的兩個(gè)小三角形全等來證明∠ECD=∠EDC;同樣用三角形的全等來證明OE是線段CD的垂直平分線.

解法2：利用角平分線的性質(zhì)得到ED=EC，再由等邊對(duì)等角得到∠EDC=∠ECD，繼而得到∠ODC=∠OCD，再由等角對(duì)等邊得到OC=OD;第三個(gè)問題直接由ED=EC，OC=OD得到OE是線段CD的垂直平分線.

在肯定學(xué)生們答案的同時(shí)，讓他們比較哪種方法最簡便. 通過比較，激活了學(xué)生們的最優(yōu)化解題意識(shí)，這樣學(xué)生可以從中體會(huì)到學(xué)習(xí)樂趣，感受到自己在學(xué)習(xí)當(dāng)中的主體地位，能清楚地意識(shí)到自己在學(xué)習(xí)中的創(chuàng)造和自學(xué)能力，極大地增強(qiáng)了他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，更培養(yǎng)了他們的發(fā)散思維能力. 還要引導(dǎo)學(xué)生通過解題以后的反思，優(yōu)化解題過程，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，提煉可用于以后解題的方法.

2. 反思?xì)w類，將類似題型作比較，找異同點(diǎn)，做到舉一反三，融會(huì)貫通

很多同學(xué)做題時(shí)做一題扔一題，從不歸納分析，只見樹木不見森林，只要題型稍微一變，就束手無策. 筆者在平常的教學(xué)中注意幫助學(xué)生分析比較類似題型，發(fā)現(xiàn)它們之間的異同點(diǎn)，掌握規(guī)律，探求共性，再由共性指導(dǎo)我們?nèi)ソ鉀Q這類問題. 讓學(xué)生能更深刻地理解類似題型，從而掌握一類問題的解法.

例如在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，連接頂點(diǎn)和這個(gè)中點(diǎn)并延長與另一底邊相交構(gòu)造全等三角形.

例：如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD為一邊的等邊三角形DCE的另一頂點(diǎn)E在腰AB上

（1）求∠AED的度數(shù);

（2）求證：AB=BC;

（3）如圖3所示，若F為線段CD上一點(diǎn)，∠FBC=30°，求的值.

分析：本題的前兩個(gè)問題學(xué)生基本可以解決，主要問題在第三問，由結(jié)果求的值易想到構(gòu)造相似三角形求值，單看這一題構(gòu)造起來就不太容易，如果能夠和上面兩題類比，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)是有梯形的腰的中點(diǎn)，這時(shí)我們作如圖4所示的輔助線，利用△DFG≌△CFB可得=1.

因此，教師必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步反思，分析解題方法的優(yōu)劣，優(yōu)化解題過程，努力尋找解決問題的最佳方案. 通過這一過程，開闊學(xué)生的視野，使學(xué)生的思維逐漸朝著多開端、靈活、精細(xì)和新穎的方向發(fā)展，在對(duì)問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)不斷深化的過程中提高學(xué)生的概括能力，以促使學(xué)生形成一個(gè)系統(tǒng)性強(qiáng)、著眼于相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在更高層次更富有創(chuàng)造性地去學(xué)習(xí)、摸索、總結(jié)，使自己的解題能力更勝一籌.

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為：“學(xué)生學(xué)習(xí)的過程是一個(gè)把教材知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程. ”有效的解題練習(xí)可以推動(dòng)這個(gè)過程的順利完成. 在解題活動(dòng)中，學(xué)生養(yǎng)成良好反思能力，對(duì)養(yǎng)成學(xué)生自主學(xué)習(xí)的良好品質(zhì)具有重要的推動(dòng)和促進(jìn)作用.