具有初始應(yīng)力加勁板的非線性動(dòng)力學(xué)特性

馬牛靜 王榮輝

摘要：針對(duì)工程結(jié)構(gòu)中常用的加勁板，研究了其在初始應(yīng)力作用下的非線性振動(dòng)特性。將母板與加勁肋分開考慮，其中母板按薄板理論考慮，加勁肋按Euler-Bernoulli梁理論考慮，根據(jù)母板與加勁肋的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系建立系統(tǒng)的應(yīng)變能表達(dá)式，同時(shí)結(jié)合系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式，并利用Lagrange方程建立系統(tǒng)的非線性動(dòng)力微分方程。運(yùn)用橢圓函數(shù)求得加勁板單模態(tài)的非線性頻率，采用同倫分析方法求解加勁板的3：1內(nèi)共振。通過參數(shù)分析，重點(diǎn)討論初始應(yīng)力變化對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力特性的影響，并得出初始應(yīng)力的存在對(duì)加勁板非線性動(dòng)力特性的影響規(guī)律。

關(guān)鍵詞：非線性振動(dòng);加勁板;初始應(yīng)力;內(nèi)共振

中圖分類號(hào)：0322 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2020）01-0047-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.OL 005

引言

在工程結(jié)構(gòu)中，由薄板與縱橫兩個(gè)方向加勁肋構(gòu)成的加勁板應(yīng)用比較廣泛。例如，橋梁工程和船舶工程中由交叉梁和連續(xù)矩形板構(gòu)成的整體梁板結(jié)構(gòu)，或機(jī)械工程及航空工程中廣泛應(yīng)用具有輾制方向的金屬板、波紋板、加肋板及膠合板等。由于這類結(jié)構(gòu)通常承受各種動(dòng)荷載，因此其動(dòng)力學(xué)特性的研究具有重要的意義。此外，由于構(gòu)成這類結(jié)構(gòu)的板與肋之問通常采用焊接連接，而焊接則會(huì)在結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生殘余應(yīng)力，進(jìn)而使得結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性尤其是非線性動(dòng)力學(xué)特性更為復(fù)雜，因此研究初始應(yīng)力的存在對(duì)加勁板非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響不僅具有一定的理論意義，更具有明確的實(shí)際工程價(jià)值。

國內(nèi)學(xué)者對(duì)加勁板的研究主要集中于靜力問題，關(guān)于其動(dòng)力學(xué)尤其是非線性動(dòng)力學(xué)特性的研究并不多見，張濤、彭英與馬牛靜分別在其博士論文中對(duì)加勁板的非線性動(dòng)力學(xué)特性展開研究。羅曉玲等研究了初始缺陷對(duì)加勁板的非線性穩(wěn)定性的影響;侯瑾與龔良貴數(shù)值研究了含有初始撓度的加筋板結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力屈曲特性;Koko與Olson用超單元對(duì)加勁板進(jìn)行非線性分析;Sheikh與Mukhopadhyay用樣條有限條法分析了板與加勁板的線性與非線性瞬態(tài)振動(dòng);Ma等研究了四邊固定加勁板在主共振激勵(lì)作用下的內(nèi)共振特性;Mitra等研究了簡支單向加勁矩形板承受橫向荷載的大幅振動(dòng)，重點(diǎn)討論了加勁肋的位置、肋板面積比及厚度比對(duì)非線性動(dòng)力特性的影響;Duc等研究了溫度環(huán)境下采用功能梯度材料的具有初始缺陷的加勁夾層板的非線性動(dòng)力響應(yīng)。然而，以上學(xué)者的研究中均未考慮初始應(yīng)力的影響。

眾多學(xué)者研究了初始應(yīng)力對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，趙秋與吳沖數(shù)值研究了鋼箱梁u肋加勁板焊接殘余應(yīng)力分布，并提出了一種簡化計(jì)算方法，同時(shí)將其應(yīng)用于加勁板的受壓承載力分析;瞿麗華等數(shù)值模擬了殘余應(yīng)力對(duì)焊接工字鋼梁模態(tài)的影響;馬牛靜與趙國棟運(yùn)用有限元軟件ANSYS分析了殘余應(yīng)力對(duì)鋼箱梁局部振動(dòng)的影響;張超等研究了初應(yīng)力對(duì)壓電壓磁板中水平剪切振動(dòng)的影響;Zheng與Hu研究了殘余應(yīng)力的篩降效應(yīng)及其對(duì)矩形加勁板強(qiáng)度的影響;Rossikhin與Shitikova研究了具有初始應(yīng)力的彈性正交異性圓板在沖擊激勵(lì)作用下的動(dòng)力穩(wěn)定性;Chen研究了具有初始應(yīng)力層壓板的非線性振動(dòng)。盡管以上學(xué)者提出了初始應(yīng)力的分析及處理方法，但這幾類的初始應(yīng)力考慮方法均不易應(yīng)用于常規(guī)加勁板動(dòng)力分析。

非線性振動(dòng)常用的求解方法有攝動(dòng)法、多尺度法、漸近法、平均法、諧波平衡法等多種方法，每一種方法都有各自的特點(diǎn)，由Liao提出的同倫分析法因不涉及小參數(shù)，所以不僅可應(yīng)用于弱非線性振動(dòng)，亦可用于強(qiáng)非線性振動(dòng);Pirbodaghi等運(yùn)用同倫分析法研究了軸向荷載作用下的Euler-Ber-noulli梁非線性動(dòng)力學(xué)行為;Hassan與E1-Tawil運(yùn)用同倫分析法求解了二階非線性微分方程;Ma等運(yùn)用同倫分析法研究了具有移動(dòng)邊界加勁板的非線性動(dòng)力行為。

綜上所述，關(guān)于加勁板的動(dòng)力學(xué)研究成果眾多，但均未有理想簡便的方法考慮初始應(yīng)力。鑒于此，本文以截面殘余應(yīng)力自相平衡原理簡便地考慮初始應(yīng)力的存在，并利用能量方法推導(dǎo)出具有初始應(yīng)力加勁板的非線性動(dòng)力方程。運(yùn)用橢圓函數(shù)求得加勁板單模態(tài)的非線性頻率;同時(shí)，運(yùn)用同倫分析方法求解加勁板的3：1內(nèi)共振。通過既有實(shí)驗(yàn)對(duì)本文的方法進(jìn)行驗(yàn)證，并由參數(shù)分析重點(diǎn)討論初始應(yīng)力變化對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力特性的影響，得出初始應(yīng)力的存在對(duì)加勁板非線性動(dòng)力特性的影響規(guī)律，對(duì)工程設(shè)計(jì)有重要的參考意義。

1控制方程的推導(dǎo)

考慮如圖1所示的由縱、橫加勁肋及母板構(gòu)成的加勁板，沿x，y方向母板中面的位移分別由u，v表示，沿x方向母板的撓度用w表示。板與肋均由同種各向同性材料組成。以下分析中將母板與加勁肋分開考慮，其中母板按薄板理論考慮，而加勁肋則按Euler-Bernoulli梁理論考慮。此外，根據(jù)母板與加勁肋的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系建立系統(tǒng)的應(yīng)變能表達(dá)式，同時(shí)結(jié)合系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式，并利用Lagrange方程建立系統(tǒng)的非線性動(dòng)力微分方程。

由于在工程結(jié)構(gòu)中實(shí)際的初始應(yīng)力分布十分復(fù)雜，在結(jié)構(gòu)分析中通常加以簡化以便于計(jì)算。本文假設(shè)母板中沿x，y方向的初始應(yīng)力分別為σpxo，σpyo，沿x，y方向加勁肋中的初始應(yīng)力分別為σsxo，σsyo為了便于分析，假定初始應(yīng)力均為常數(shù)，由殘余應(yīng)力自相平衡條件得到：

2非線性頻率分析

2.1分析內(nèi)容

對(duì)于工程結(jié)構(gòu)而言，通常低階模態(tài)在振動(dòng)過程中起主導(dǎo)作用，因此，低階振動(dòng)特性對(duì)結(jié)構(gòu)分析具有重要的指導(dǎo)意義。本文針對(duì)加勁板的橫向一階振動(dòng)，對(duì)其非線性頻率進(jìn)行分析。

2.2邊界條件

為了便于比較，本文選擇兩種典型的邊界條件進(jìn)行分析，即四邊簡支且不可移動(dòng)的邊界條件進(jìn)行研究，可以設(shè)位移的形式如下：

2.4數(shù)值分析

2.4.1計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

為了對(duì)本文方法進(jìn)行驗(yàn)證，這里選取作者在開放課題研究中已在本單位重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室中實(shí)施的模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較分析。加勁板實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ退倪厞A緊固定在振動(dòng)平臺(tái)上，以此來模擬四邊固定邊界條件;通過給加勁板中心施加不同的初始位移，讓其產(chǎn)生自由振動(dòng);另外，采用拾振器獲取加勁板振動(dòng)響應(yīng)，通過振動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)，并利用信號(hào)分析軟件進(jìn)行處理，進(jìn)而獲取加勁板的非線性頻率。加勁板實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ碗p向均設(shè)置3個(gè)加勁肋，結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：a=b=1m，E=2.O×10¹¹Pa，u=0.3，p=7.85×10³kg/m³，h=0.005m;此外，矩形加勁肋的高度均為0.05m，寬度均為0.01m;同時(shí)，實(shí)測(cè)得到的加勁板母板焊接殘余應(yīng)力平均值約為35MPa。基于以上加勁板的自由振動(dòng)分析，得到非線性頻率比測(cè)試值與計(jì)算值如表1所示。