基于“三個理解”的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)再思考

費云標(biāo)

[摘 ?要] 文章以“定義與命題”為載體，以“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”為主線來進行教學(xué)設(shè)計，并結(jié)合筆者自身教學(xué)活動經(jīng)驗歸納，提煉出了對概念教學(xué)的若干再思考.

[關(guān)鍵詞] 三個理解;概念教學(xué)

案例背景

有幸參加區(qū)教學(xué)設(shè)計的比賽，筆者選擇的是蘇科版教材平面圖形的認(rèn)識（二）與證明的整合教材的一節(jié)概念課，并付諸教學(xué)，效果不錯. 數(shù)學(xué)概念教學(xué)可以發(fā)展學(xué)生的概念思維、遷移能力. 概念教學(xué)不僅僅是傳授知識與技能，更需要學(xué)生參與其中，感悟概念歸納的不易，進行思維的碰撞與思考，進而發(fā)展智力與培養(yǎng)能力，達到“數(shù)學(xué)育人”的目的. 下面，筆者以“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)”為主線，對概念教學(xué)進行再思考.

課前思考

1.理解數(shù)學(xué)是當(dāng)好數(shù)學(xué)教師的前提

“定義與命題”是整合版教材七下7. 3. 1的內(nèi)容，其內(nèi)容貫穿初中數(shù)學(xué)教材體系. 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能感受到初中數(shù)學(xué)知識體系的完備性與嚴(yán)謹(jǐn)性. 這節(jié)課還是學(xué)習(xí)推理的起始章節(jié)，能為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)證明做必要的準(zhǔn)備. 學(xué)完本節(jié)課之后，學(xué)生能掌握與命題相關(guān)的基礎(chǔ)知識，能提高數(shù)學(xué)語言表達能力，并能進一步發(fā)展邏輯思維能力.

基于以上分析，筆者得出了這節(jié)課的教學(xué)重點：了解定義、命題、真命題、假命題的意義，會區(qū)分命題的條件和結(jié)論.

2.理解學(xué)生是開展高效教學(xué)的基礎(chǔ)

本節(jié)課的授課對象是初一學(xué)生，他們具備初步感受數(shù)學(xué)概念的能力，故設(shè)計情境與問題串時，要設(shè)計在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi). 本節(jié)課從情境入手處，就要考慮學(xué)情，貼生而行，讓學(xué)生在交流與碰撞中不斷生成數(shù)學(xué)知識，感受數(shù)學(xué)概念的生長;通過問題串的形式，不斷追問，滿足不同的學(xué)生對數(shù)學(xué)的需求，同時促進學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解.

基于以上分析，筆者得出了這節(jié)課的教學(xué)難點：會判斷一個命題的真假，在交流中發(fā)展有條理的思考和表達的能力.

3.理解教學(xué)是實施教學(xué)的關(guān)鍵

課堂教學(xué)就是要充分挖掘數(shù)學(xué)知識蘊含的價值資源，并在教學(xué)中將知識教學(xué)與教學(xué)價值融為一體，這樣才能真正體現(xiàn)“數(shù)學(xué)育人”.

教學(xué)目標(biāo)：（1）了解定義、命題、真命題、假命題的意義，會區(qū)分命題的條件和結(jié)論;（2）會判斷一個命題的真假，在交流中發(fā)展有條理的思考和表達的能力.

達成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：通過具體實例，能夠判斷出定義、命題、真命題、假命題的意義，感受定義的規(guī)則，了解什么是命題;能夠改寫命題，并指出命題中的條件和結(jié)論.

達成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：會判斷一個命題的真假——要說明假命題，只要舉出一個反例即可;要說明真命題，需要說明題設(shè)成立時，結(jié)論總成立，需要證明. 至于在交流中發(fā)展有條理的思考和表達的能力，只要是學(xué)生合乎邏輯的思考與有條理的表達，教師都要積極地肯定與表揚.

教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，初識概念

問題1：豐富的數(shù)學(xué)世界里有許多神奇的數(shù). 我們把每個數(shù)位上的數(shù)字的立方和等于其本身的三位數(shù)稱為“美麗的數(shù)”. 比如：因為43+03+73=64+0+343=407，所以407是“美麗的數(shù)”. 你們能從131，153，121這三個數(shù)中找出“美麗的數(shù)”嗎？

設(shè)計意圖 情境選取學(xué)生感興趣的數(shù)學(xué)問題，能引發(fā)學(xué)生思考，感悟定義的必要性.

生1：只要分解一個三位數(shù)的每一位數(shù)字，并按照定義求出各個數(shù)位上數(shù)字的立方和，判斷結(jié)果是否為原來的三位數(shù)即可.

2.活動探究，建構(gòu)概念

問題2：（熟悉問題，感悟定義）

（1）怎樣的兩條直線叫“平行線”？

（2）怎樣的兩個數(shù)叫“互為相反數(shù)”？

設(shè)計意圖 設(shè)計熟悉的小問題，讓學(xué)生搶答，歸納定義的概念. （定義：對名稱或術(shù)語的含義進行描述或做出規(guī)定）通過回憶這些概念，引導(dǎo)學(xué)生感受概念的定義生成過程以及知識的前后聯(lián)系.

生2：“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線”是“平行線”的定義;“符號不同，絕對值相同的兩個數(shù)”是“互為相反數(shù)”的定義.

師：如何給概念下定義？定義的規(guī)則是：（1）應(yīng)相稱，即定義概念和定義概念的外延相等;（2）不應(yīng)循環(huán);（3）一般不是否定判斷;（4）應(yīng)清楚確切. 大家通過之前具體的例子進行感受即可.

問題3：下面每組的兩句話一樣嗎？如果不一樣，它們有什么不同？

（1）“等角的補角相等”與“等角的補角相等嗎”;

（2）“相等的角是對頂角”與“相等的角一定是對頂角嗎”;

（3）“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”與“過一點畫已知直線的垂線”.

設(shè)計意圖 分組討論，歸納總結(jié)（每組的兩句話，一類是對某件事做出判斷，另一類沒有對某件事做出判斷），引出命題的概念（命題：判斷一件事情的句子）. 引導(dǎo)學(xué)生通過對兩類（命題與非命題）具體例子的辨析，了解什么是命題，什么不是命題. 即使是錯誤的判斷，也是命題. 命題的特征：是句子、有判斷、有對錯.

生3：其中（1）（2）（3）前面的句子對某件事情做出了判斷，而后面的句子沒有對某件事情做出判斷.

問題4：命題指判斷一件事情的句子，請你舉出一些命題.

設(shè)計意圖 利用學(xué)生互相提問與矯正、教師引導(dǎo)的方式，讓學(xué)生進一步理解命題的概念，初步驗證命題的正確性.

生4：同位角相等嗎？

生5：我認(rèn)為生4給的例子并沒有對事物的情況進行判斷. 疑問句沒有肯定與否定，所以我認(rèn)為此句子不是命題.

生6：三角形的內(nèi)角和是360°.

生7：從命題的定義來判斷，生6的例子確實判斷出了三角形的內(nèi)角和的值，屬于肯定判斷. 我認(rèn)為此句子是命題，但是此命題做出了錯誤的判斷.

問題5：觀察下列命題，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的結(jié)構(gòu)特征嗎？

（1）如果a=b，那么a=b;

（2）如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等;

（3）如果兩條直線平行，那么同位角相等;

（4）對頂角相等.

設(shè)計意圖 讓知識的生長存在梯度，讓學(xué)生處于最近發(fā)展區(qū)，希望學(xué)生在相互交流學(xué)習(xí)中自我成長，讓學(xué)生體會所有的命題都由兩部分組成，即條件和結(jié)論，感受“如果……那么……”形式的簡潔與優(yōu)勢.

生8：它們都由條件與結(jié)論兩部分組成;我認(rèn)為“對頂角相等”的條件是“對頂角”，結(jié)論是“相等”.

師（追問）：你能把“對頂角相等”的條件與結(jié)論表述得更清楚嗎？

生9：生8表述的條件與結(jié)論不是完整的句子，不如這樣來表述——條件是“兩個角是對頂角”，結(jié)論是“這兩個角相等”. 我參考了前面（1）（2）（3）三個命題的表述形式（如果……，那么……），先把命題改寫為前面的形式，再寫出條件與結(jié)論.

問題6：說一說下面各命題的條件與結(jié)論，并判斷命題是否正確.

（1）如果a，b之和為0，那么a，b之積為0;

（2）兩個角是同旁內(nèi)角，這兩個角的和為180°;

（3）兩直線平行，內(nèi)錯角相等;

（4）兩直線平行，它們沒有交點.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會改寫命題，了解真命題、假命題的意義，并且學(xué)會用舉反例的方法來說明“命題”是錯誤的，即假命題.

生10：只要條件成立，結(jié)論也成立的命題就是真命題;如果條件成立，但是不能保證結(jié)論也成立的命題就是假命題.

生11：判斷假命題的方法就是能舉出一個反例，判斷真命題的方法需要推理說明.

3.匹配目標(biāo)，鞏固提升

（1）寫一個句子，并讓同桌來判斷該句子是否是命題.

設(shè)計意圖 考查學(xué)生對命題的概念的掌握情況.

（2）寫一個命題，請其他同學(xué)指出該命題的條件和結(jié)論，并判斷命題的真假，說一說理由.

設(shè)計意圖 考查學(xué)生命題的組成理解情況以及判斷命題真假的掌握情況，讓學(xué)生利用舉反例的方法來判斷假命題，感受真命題需要用推理來證明.

4.歸納小結(jié)，展望后續(xù)

大家一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：

（1）談?wù)勀銓γ}的認(rèn)識. 你認(rèn)為命題還需要學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？

（2）請你寫1～2個命題，說出它們的條件與結(jié)論，并判斷命題的真假.

設(shè)計意圖 學(xué)生回顧與思考，并歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生善于歸納和思考的能力，有利于他們對新知識加深理解.

5.分層作業(yè)，思維提高

必做作業(yè)：蘇科版教材習(xí)題7. 3. 1第1、2、3題.

選做作業(yè)：小莉遇到了一道題——比較nn+1與（n+1）n的大小. 她通過計算發(fā)現(xiàn)：當(dāng)n=2，3時，有nn+1<（n+1）n，于是得出結(jié)論nn+1<（n+1）n. 請你判斷小莉的做法是否正確.

設(shè)計意圖 及時了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，調(diào)整教學(xué)安排;通過學(xué)生課后獨立思考第1、2、3題，自我評價學(xué)習(xí)效果，加強學(xué)生對新知識的鞏固，檢查學(xué)生掌握知識的情況. 選做作業(yè)是課內(nèi)知識的延伸，學(xué)生可以通過閱讀教材、查找資料或與同學(xué)交流解決此題，培養(yǎng)學(xué)生的合作探究意識，并鍛煉解決問題的能力.

概念教學(xué)的再思考

1.概念教學(xué)需要把“數(shù)學(xué)育人”作為核心目標(biāo)

本節(jié)課是幾何推理的章節(jié)起始課，對后續(xù)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)有鋪墊、啟發(fā)、生長的作用. 從本質(zhì)上講，數(shù)學(xué)概念課的本質(zhì)是數(shù)學(xué)育人. 我們從幾何數(shù)學(xué)概念課開始滲透推理意識，對初中幾何的學(xué)習(xí)大有裨益，同時能促進學(xué)生的有機生長. 本節(jié)課單看內(nèi)容，只有幾個概念，如果要滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，內(nèi)容可選擇的角度就多了;如果是為學(xué)生的終身發(fā)展奠基，那可選擇的素材就更豐富了. 本節(jié)課是幾何基礎(chǔ)概念課，可采用“交代情境，引入概念，探究概念”的概念教學(xué)一般模式，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)概念出來、生長的一般過程，體會到研究數(shù)學(xué)概念的套路，激發(fā)思維，提高素養(yǎng). 這樣做，才能真正挖掘概念教學(xué)的育人資源，彰顯概念教學(xué)的價值.

2.概念教學(xué)需要學(xué)生積極概括概念的本質(zhì)特征

大多數(shù)概念課的弊病是課堂沉悶，教師講得枯燥乏味，學(xué)生學(xué)得無趣. 筆者認(rèn)為，學(xué)生積極概括概念的本質(zhì)特征會讓概念課更加有效、活潑. 其一，可以在概念教學(xué)中充分把握認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生思考;其二，可以在概念教學(xué)中積極利用問題串把不同思維含量的問題串聯(lián)在一起，幫助學(xué)生更好地理解概念. 概念的建構(gòu)需要概念思維，這也是促進學(xué)生不斷成長的重要因素. 比如，尋找命題的條件與結(jié)論時，改寫命題具有便捷性，這樣對命題概念的理解就更加深刻. 概念抽象需要典型實例，那誰來找例子？本節(jié)課多處出現(xiàn)讓學(xué)生自己舉例，且要求舉盡量不同的例子，逼學(xué)生思維動起來，這樣的例子百花齊放，貼近生活，貼近學(xué)生，貼近創(chuàng)新. 這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，自然形成，既有學(xué)生之間的互動交流，又有思維的生長，不僅促進了深度思考，更促進了思維深度的提高. 當(dāng)一個學(xué)生舉例后，其他同學(xué)也積極參與思辨，互動，互相促進思考，盡可能自主歸納概念，讓概念的形成過程貼生而行. 當(dāng)然，教師應(yīng)貼生而行，提出高思維的問題串，引導(dǎo)學(xué)生積極概括概念的本質(zhì)特征，真正參與到概念的建構(gòu)活動中.

3.概念教學(xué)要讓學(xué)生自然地實現(xiàn)“概念形成”

數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的. 概念教學(xué)就應(yīng)該使概念出得自然，水到渠成. 本節(jié)課的教學(xué)，我們力求使學(xué)生感受定義的存在性，了解定義的必要性，從如何下定義，如何用定義，上升到繼續(xù)研究命題.

從課堂的角度來看，概念教學(xué)主要有兩點：其一，概念生成需要邏輯自然;其二，概念生成需要符合學(xué)生的心理特征. 在本節(jié)課中，教師先帶領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)問題中感受定義的存在，進而感受下定義的必要性，接著從典型例子中歸納定義的概念. 利用上述基本活動經(jīng)驗與探究概念的套路，通過具體例子歸納出命題的概念，探究命題的結(jié)構(gòu)，判斷命題的真假;歸納判斷的經(jīng)驗;在引導(dǎo)學(xué)生概念形成的過程中，貼生而行，讓學(xué)生主動參與概念歸納過程，用多層次、高思維的問題串來引導(dǎo)課堂節(jié)奏，逐步深度思考并理解數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生自然地實現(xiàn)“概念形成”.