12-6臺體型并聯(lián)機構位置正解的唯一性分析

尤晶晶，朱俊豪，符周舟，雙家煒

（1.南京林業(yè)大學機械電子工程學院，江蘇 南京 210037；2.江蘇省精密與微細制造技術重點實驗室，江蘇 南京 210016；3.南京林業(yè)大學汽車與交通工程學院，江蘇 南京 210037）

1 引言

并聯(lián)機構具有高剛度、高精度等優(yōu)點，愈發(fā)受到關注[1]，其中的六自由度并聯(lián)機構在傳感器[2-3]、模擬器[4]等領域有著非常良好的應用前景。并聯(lián)機構的運動學正解算法是研究其動力學控制、奇異位形、工作空間等問題的基礎，甚至可以說，正解問題不解決，后續(xù)工作將舉步維艱。針對該問題，國內(nèi)外學者提出了很多不同的方法，如對偶四元數(shù)[5-6]、粒子群[7]、拓撲結構[8-9]。從算法形式來劃分，并聯(lián)機構的運動學正解又可以分為解析法、數(shù)值法和半解析法（本質上也是數(shù)值法）。其中，數(shù)值法適用于任何構型，但運算效率低、過度依賴于給定的初值且容易失根。相比較，解析法有明確的數(shù)學表達式，精確度高、運算效率高，有著數(shù)值法和半解析法無法比擬的優(yōu)勢，故六自由度并聯(lián)機構要想得到大規(guī)模的實際運用，給出其正解的解析表達式極其重要。

從檢索到的文獻資料來看，并不是所有的六自由度并聯(lián)機構都具有解析正解，而且，即使存在解析解，其推導過程也異常復雜，不利于程式化。在文獻[10]中提出了一種可完全解耦的六自由度十二桿的臺體型冗余并聯(lián)機構，并給出了其運動學正解的求解流程。然而，進一步研究發(fā)現(xiàn)，由于不能確定正解的具體個數(shù)，該算法在處理幾類特殊位形時存在增根或失根的可能性，這將影響機構的連續(xù)性控制。

針對上述問題，通過剖析文獻[10]的正解算法，并結合機構拓撲構型內(nèi)固有的尺度約束關系，對所有可能出現(xiàn)的特殊位形逐類進行分析，確定了新型并聯(lián)機構的正解數(shù)，給出了最終的解析解表達式。最后，通過虛擬試驗驗證了算法的正確性。

2 結構模型及正解算法

2.1 結構模型

所討論的并聯(lián)機構共有12根初始長度為L的可伸縮支鏈，支鏈的一端通過一般球鉸鏈與靜平臺相連，另一端通過復合球鉸鏈與動平臺相連，且每兩條支鏈共用1個復合球鉸鏈；動平臺是邊長為2n的正方體，靜平臺是邊長為2（n+L）的空殼狀正方體；初始狀態(tài)下，動平臺與靜平臺的中心點重合，且姿態(tài)相同；六個復合球鉸鏈分別位于動平臺的左上棱、后上棱、右后棱、右下棱、左前棱、前下棱的中點位置，如圖1所示。

圖1 初始位形下的機構簡圖Fig.1 Schematic Diagram of Mechanism in the Initial State

2.2 正解算法

以靜平臺的中心為原點，固連三維直角坐標系｛o-x-y-z｝，其中，x、y、z軸分別指向靜平臺右側面、上側面、前側面的中心點。將靜平臺上十二個一般球鉸鏈的中心點記為b1～b12，動平臺上六個復合球鉸鏈的中心點記為B1～B6，動平臺的中心點記為P，十二條支鏈記為①～12○，其實時桿長表示為li。分別將B1、B2、B3、P點的笛卡爾坐標表示為（x1，y1，z1）、（x2，y2，z2）、（x3，y3，z3）、（x0，y0，z0），因此，正解算法中共有十二個未知量。任意給定一組桿長，容易推導出y1、z1、x2、y2、x3、z3、x0、y0、z0這9個量的解析表達式[10]。然而，在特殊位形時，x1、y3、z2可能會出現(xiàn)多解。為便于討論，這里首先對多解的情況進行分組，如表1所示。

表1 多解情況的分組Tab.1 The Division of Situations of Multiple Solutions

3 正解唯一性分析

3.1 兩組解的情況分析

以位形1為例，2、3的分析過程與此類似。根據(jù)動平臺上復合球鉸鏈之間、復合球鉸鏈與動平臺質心之間的固有尺度約束關系，建立未知量之間的約束方程：

當x2≠0且x3≠0或者x2=0且x3≠0或者x2≠0且x3=0時，x1均具有唯一解。

構型中，B1B2平行于B3P，且B1、B2、B3、P四點共面。因此，當x2=0且x3=0時，x1只有零解。

綜上所述，當x0，y0，z0中只有一個為0時，新型并聯(lián)機構的運動學正解是唯一的。

3.2 四組解的情況分析

以位形4為例，位形5、6的分析過程與此類似。約束方程為：

當z1≠0且y1≠0或者z1=0、y1≠0且z3≠0時，y3、z2有唯一解。

當z1=0、y1≠0且z3=0時，y3有唯一解；另外，根據(jù)“四點共面”，z2的值等于0。同理，當z1≠0且y1=0時，y3、z2有唯一解。

當z1=y1=0時，若y2=z3=0，則由“四點共面”可得z2=y3=0；若y2=0且z3≠0，則z2有唯一解，且由“四點共面”得到y(tǒng)3=0；若z3=0且y2≠0，同理可得，y3、z2只有唯一解；若z3≠0且y2≠0，由“四點共面”可得z2≠0、y3≠0，且：

為更好地描述式（3）中變量之間的幾何關系，以y3、z2為正交軸建立輔助笛卡爾坐標系，如圖2所示。

圖2 輔助笛卡爾坐標系Fig.2 The Auxiliary Cartesian Coordinate System

式（3）中的前兩個方程在坐標系中表示為四條直線，如圖2中的虛線所示，它們的四個交點A、B、C、D關于原點對稱。第三個方程為一條斜線，理論上它與A、B、C、D可能有一個交點（如L1、L3、L4等），也可能有兩個交點（如L2、L5等），而后者一定對應著斜線過原點的情況。由于z1=y1=y0=z0=0，故B1、P點在x軸上；又因為B2與B1、P的距離相等，故B2在x軸上的投影為B1、P的中點。同理，B3在x軸上的投影也為B1、P的中點。又由于n＞0，故第三個方程對應的斜線一定不可能過原點。綜上所述，當x0，y0，z0中有兩個為0時，正解是唯一的。

3.3 八組解的情況分析

約束方程為：

3.3.1 位形7

以x2=0為例分析，其它五種情況與此類似。

結合式（4）可知，x1、y3有唯一解。

3.3.2 位形8

僅分析三種典型情況，其它與此類似。

當x2=x3=0時，由“四點共面”關系得到x1、y3、z2的唯一解。

當z1=y1=0時，x1、z2、y3有唯一解。

當x2=z1=0時，x1、z2、y3有唯一解。

3.3.3 位形9

僅分析兩種典型情況，其它與此類似。

當x2=x3=z1=0時，由“四點共面”關系得到x1、y3、z2的唯一解。

當x2=z1=y2=0時，z2有唯一解。此時，B2、P點都在z軸上；又因為B2P平行于B1B3，所以B1B3也平行于z軸，即y3=y1且x1=x3。因此，x1、y3的解唯一。

3.3.4 位形10

以x2=x3=z1=y1=0為例進行分析。由“四點共面”得到x1=0；再結合式（4），z2、y3的解唯一。

3.3.5 位形11

以x2=x3=z1=y1=y2=0為例進行分析。z2的解唯一；再結合“四點共面”關系，得到x1=y3=0。

3.3.6 位形12

直接由“四點共面”關系得到：x1=y3=z2=0。

3.3.7 位形13

當上述行列式的值等于零時，方程組發(fā)生退化；但此時由“四點共面”的幾何特征關系可得：

綜上，當x0，y0，z0全部為0時，正解也是唯一的。

4 虛擬試驗的算例驗證

運用Mathematica軟件建立新型并聯(lián)機構的虛擬樣機，如圖3所示。其中，質量塊的邊長和支鏈的初始長度分別設置為30mm、25mm。虛擬試驗中，通過給定并聯(lián)機構12條支鏈的長度，可以測量出動平臺的位置、姿態(tài)數(shù)據(jù)以及所有特征點的坐標值；相反地，通過給定動平臺的位置、姿態(tài)或者三個非共線特征點的坐標值，也可以測量出12條支鏈的長度數(shù)據(jù)。

圖3 并聯(lián)機構的虛擬樣機Fig.3 The Virtual Prototype of Parallel Mechanism

給出三個典型算例，首先，基于正解算法計算特征點的坐標值；然后，將理論計算值與試驗測量數(shù)據(jù)進行對比，如表2所示。結果顯示，該新型并聯(lián)機構具有確定的、唯一的運動學正解，且計算值與試驗值完全吻合，表明這里的算法是正確、有效的。

表2 并聯(lián)機構正解模型的算例驗證Tab.2 Exam ples of Forward Kinematics of Parallel Mechanism

5 結論

針對一種新提出的12-6臺體型并聯(lián)機構，對其正向運動學算法進行了剖析，從理論上證明了該機構的運動學正解不存在增根和失根的現(xiàn)象，并推導出了全解析表達式。進一步通過虛擬試驗驗證了所提出方法的正確性和有效性。研究結果表明，當給定一組合適的桿長時，并聯(lián)機構動平臺的位姿能夠唯一確定，這為機構后續(xù)的實時、有效控制奠定了理論保障。下一步工作計劃是從輸入、輸出量的解析映射出發(fā)，推導并求解桿長協(xié)調方程。