基于分形理論的冰下水流流速垂線分布研究

羅紅春，冀鴻蘭，郜國明，張寶森，牟獻(xiàn)友

（1. 內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué) 水利與土木建筑工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010018；2. 黃河水利科學(xué)研究院，河南 鄭州 450003）

1 研究背景

北方河流冰凍期常歷時(shí)四個(gè)月之久，冰蓋改變了河道水流結(jié)構(gòu)，引起水流垂線流速重分布，這一特性已受到國內(nèi)外河冰工作者廣泛關(guān)注［1-3］。對冰下水流流速垂線分布的研究，較統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)可歸納為：穩(wěn)封期固定冰蓋條件下，受冰蓋糙率及床面糙率綜合增阻影響，水流流速減??；冰蓋下最大流速位置較明流時(shí)下移，且隨冰蓋糙率改變而改變［4-6］；冰下水流垂線流速不再服從明流時(shí)單一的指數(shù)或?qū)?shù)分布，而體現(xiàn)為冰蓋和床面附近符合對數(shù)流速分布律［7］。研究表明，冰下水流流速事關(guān)輸水工程冰期的輸水能力與輸水效率［8-9］，因此，對冰下水流垂線流速分布的研究非常重要。目前，對封凍河道水流運(yùn)動(dòng)特性的研究，常采用Einstein［10］提出的阻力劃分原則，以最大流速線為界，沿水深方向?qū)⑺鞣殖蓛蓪拥刃髁髁鲃?dòng)層（冰蓋區(qū)和床面區(qū)），并假定分層水流相互獨(dú)立，分別只受冰底和床面糙率影響，分層水流流速均服從對數(shù)分布；陳永燦等［11］結(jié)合縱向流速沿垂向的雙對數(shù)分布律，建立了全過流斷面的流速分布；Larsen［12］利用冰蓋流的原型觀測資料，對流速分布曲線進(jìn)行了描述，分析得出冰蓋對水流流速分布的影響只限于靠近冰蓋的上層，而靠近河床的下層流速則不受冰蓋制約，驗(yàn)證了Einstein 假定的正確性；Lau 等［13］進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，冰蓋和床面糙率出現(xiàn)差異時(shí)，最大流速點(diǎn)會(huì)偏向光滑的一側(cè)，二者糙率相等時(shí)，兩層流速分布對稱；Meyer［14］通過水流分區(qū)，給出了描述水流速度垂線分布的關(guān)系式，揭示了動(dòng)床條件下冰下水流流動(dòng)機(jī)理。

由于在工程應(yīng)用中，水流流速分布多是基于方程求解得到的近似分布，對冰下水流，較為常見的是基于k-ε模型進(jìn)行冰下水流流速分布研究［15-17］，但分析過程相對復(fù)雜。因此，從標(biāo)度指數(shù)出發(fā)，尋找流速分布規(guī)律成為水流流速研究的突破口，分形理論即為典型。分形（Fractal）最初由美籍法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）［18］于1970年代提出，用于描述自然界中具有自相似性、自仿射性的圖形、結(jié)構(gòu)及現(xiàn)象，如山脊線、海岸線等自然現(xiàn)象。分形理論現(xiàn)已在河流（網(wǎng)）的非線性動(dòng)力系統(tǒng)防災(zāi)［19］等研究領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。

黃才安等［20］基于分形理論，對明渠水流流速及含沙量垂線分布的自相似性進(jìn)行了研究，表明分形理論能推出明渠水流垂線流速分布和含沙量分布公式。由Einstein 的阻力劃分原則及假定，冰蓋下水流流速垂線分布可視為兩層等效明流對數(shù)分布，類似于倪志輝等［21］提出的潮流中Ⅱ型垂線流速分布中的“C”型分布，研究結(jié)果表明，該Ⅱ型流速垂線分布同樣存在變維分形現(xiàn)象。因此，對于冰蓋下的水流垂線流速分布研究，不妨嘗試在明渠研究的基礎(chǔ)上，利用分形理論進(jìn)行延伸，完善不同工況下水流垂線流速分布的研究成果。

河流彎道常常是封凍期引起卡冰結(jié)壩的位置，水內(nèi)冰花形成及演變受制于水流速度場及溫度場的分布［22］，且低溫水流狀態(tài)下的泥沙具有較高的懸浮效率［23］，泥沙重分布也會(huì)引起水流結(jié)構(gòu)的調(diào)整，冰-水-沙-床-岸相互作用及變化過程與水流垂線流速分布直接相關(guān)。因此，分析冰蓋條件下水流流速分布有助于理解冰凌生消、泥沙輸移、河床演變過程及冰下輸水能力，為工程實(shí)際提供設(shè)計(jì)、施工等理論依據(jù)，對防凌減災(zāi)工作具有一定的實(shí)際意義。

2 研究區(qū)域概況及方法

2.1 研究區(qū)概況什四份子彎道地處黃河內(nèi)蒙古段下游（圖1），位于呼和浩特市托克托縣段，北緯40°17'39″，東經(jīng)111°2'53″。河道呈上游西北急轉(zhuǎn)為下游東南的“Ω”形走勢，彎道曲率大，水流進(jìn)出彎道方向約120°，河道比降約0.1%，河寬200 ～600 m。河道冰期多出現(xiàn)于11月下旬至翌年3月中下旬，持續(xù)百余天，多年（1998—2015年）平均流凌、封河及開河日期分別為11月22日、12月16日和3月17 日。封凍期，什四份子彎道兩側(cè)岸冰的生長，逐漸縮小河面寬度，同時(shí)有效輸冰河寬在彎頂所在斷面急劇縮小，嚴(yán)重降低水流的輸冰能力，因此，該彎道常成為初始卡冰位置［24］。此外，在彎道卡口段（1—3 斷面），河道橫斷面沿程束窄，加上垂向冰層的熱力與水力增厚，明顯降低了水流過流能力，引起冰下水流流速重分布。因此，了解彎道卡冰處的流速分布，將有助于研究彎道冰塞的分布及發(fā)展過程。

圖1 什四份子彎道及斷面分布

2.2 數(shù)據(jù)來源及方法冰封期（2019年1月10—13日）在什四份子彎道處進(jìn)行鉆孔測流，測流時(shí)間主要為下午3 點(diǎn)至5 點(diǎn)?；贏DCP 測流技術(shù)［25］，采用鉆冰機(jī)結(jié)合鐵釬進(jìn)行原位鉆孔，通過下放ADCP潛入冰花層以下進(jìn)行定點(diǎn)測量，流速測量采用延時(shí)采樣，采樣歷時(shí)1 min、垂向采樣間距10 cm，提取單孔測量數(shù)據(jù)，并按一定流速比尺進(jìn)行表達(dá)，結(jié)果如圖2，橫線越長流速越大。為減小水流脈動(dòng)影響，對采集的連續(xù)數(shù)據(jù)流進(jìn)行平均，得到單孔有效水深下的垂線流速分布。試驗(yàn)共布設(shè)3 個(gè)斷面（圖1右下角彩圖，順?biāo)鞣较蛞来螢?斷面、2斷面、3斷面），總計(jì)58個(gè)冰孔，各斷面上每孔間隔20 m（近岸部分為10 m），其中測流共計(jì)34孔，未測流孔位用測深錘補(bǔ)充水深值。冰下水流流速因河型不同會(huì)出現(xiàn)一定的差異，為反映分形理論對不同河型的適用程度及水流垂線流速的分形現(xiàn)象，采用了頭道拐水文站同期的水流垂線速度分布值（流速儀實(shí)測），該水文站位于什四份子彎道下游約5 km處，所處河道為順直型。

圖2 ADCP定點(diǎn)測流

基于分形理論，研究冰蓋下水流流速垂線分布規(guī)律。分形原意是“不規(guī)則的，支離破碎的”，但體現(xiàn)了自然界某一類對象，其局部與局部/整體在形態(tài)和信息上具有自相似性的基本屬性。自相似性可描述為標(biāo)度不變性，即某一分形對象，其空間尺度r（或時(shí)間尺度t）倍乘λ后，其結(jié)構(gòu)特征不變，只是在原來的基礎(chǔ)上進(jìn)行放大或縮小。標(biāo)度不變性滿足下式：

式中：λ為比例系數(shù)；α為標(biāo)度指數(shù)；f（r）為某一物理量；f（λr）為f（r）乘以λ倍后對應(yīng)的值。

式（1）也稱為標(biāo)度律，對尺度的選擇可以是空間也可以是時(shí)間，當(dāng)空間尺度r表征為長度時(shí)，標(biāo)度指數(shù)α與分形維數(shù)D滿足：α+D=1。其中，分形維數(shù)D是描述分形集幾何特征的定量參數(shù)，可用來反映垂線流速分布的均勻程度，D值越大，垂線流速分布越均勻［26］。然而，對于同一河道斷面的不同位置處，D值也可能不同。

分形標(biāo)度律說明，盡管分形現(xiàn)象是復(fù)雜的，但是具有標(biāo)度不變性，天然河道中的水流結(jié)構(gòu)雖然復(fù)雜，但是對于明渠時(shí)的某一固定水深，沿水深方向整體水流垂線流速分布可看作是由對應(yīng)某一水深處流速值的組合形式。垂線流速的分布特點(diǎn)體現(xiàn)了分形中局部與整體的自相似性，因此，該特點(diǎn)為分形理論在流速垂線分布的應(yīng)用上奠定了基礎(chǔ)。綜上，運(yùn)用自相似分形標(biāo)度律的基礎(chǔ)，重點(diǎn)在于空間尺度r（或時(shí)間尺度t）及物理量f（r）的遴選，且所選目標(biāo)須具備自相似分形的特點(diǎn)。依托前人在明流條件下的工作基礎(chǔ)，嘗試基于分形理論研究冰下水流流速垂線分布，作為明渠水流研究成果的一個(gè)拓展。

3 結(jié)果分析

3.1 暢流期水流流速垂線分布依據(jù)黃才安等［20］的研究結(jié)果，明渠水流的流速垂線分布如圖3（a）所示。顯然，明渠條件下的水流流速分布具備分形特征，即通過放大圖形OABO 一定倍數(shù)（λ）后得到的圖形類似于OCDO，此時(shí)空間尺度r為長度y，對應(yīng)物理量為流速u。因此，有：f（r）=u（y），λr=h=（h/y）y=λy，其中λ=h/y。由分形標(biāo)度律可得：

圖3 暢流期和冰封期水流流速垂線分布

式（4）即為明渠條件下水流流速垂線分布的指數(shù)形式，此時(shí)標(biāo)度指數(shù)α=m，表示流速分布指數(shù)，說明基于分形理論能推得明渠水流的流速垂線分布公式。關(guān)于明渠水流垂線流速分布的研究已屢見不鮮［27-29］，但總體而言，流速分布型式仍為常見的對數(shù)或指數(shù)型。

3.2 冰封期水流流速垂線分布冰下水流垂線流速分布如圖3（b），一些學(xué)者的研究結(jié)果將其歸結(jié)為拋物線分布［30］或雙冪律分布［31］。采用Einstein 的劃分方法，以最大流速線作為分界線，將冰-床雙邊界條件下的整個(gè)水流分成冰蓋區(qū)（CEDC）和河床區(qū)（OEDO），則兩個(gè)分區(qū)水流的流速垂線分布均近似呈指數(shù)或?qū)?shù)分布。

（1）在河床區(qū)（0≤y≤hm），由于冰蓋區(qū)與河床區(qū)互不影響，水流垂線流速分布服從明渠水流的指數(shù)或?qū)?shù)分布。以指數(shù)分布為例，λr=hm=（hm/yb）yb=λyb，其中λ=hm/yb。流速分布即為：

式中：ub為距離河床yb處的流速；hm為最大流速點(diǎn)位置距離河床的高度；yb=y；αb=mb。

（2）在冰蓋區(qū)（hm≤y≤h），以指數(shù)分布為例，則冰蓋區(qū)流速分布與河床區(qū)流速分布鏡像，即：

式中：ui為距離冰蓋yi處的流速；yi=h-y；αi=mi。

以上分析結(jié)果表明，冰下分區(qū)水流流速垂線分布與明渠水流的流速垂線分布一致。

通過差異選取空間尺度，采用不同的比例系數(shù)和標(biāo)度指數(shù)，基于明渠條件下不同學(xué)者的流速分布研究成果，可得到冰蓋下不同形式的河床區(qū)和冰蓋區(qū)流速垂線分布公式（表1、表2）。研究結(jié)果表明，利用分形理論能得到明渠水流的流速垂線分布公式，同時(shí)也能拓展到冰蓋水流的研究中。

表1 由分形理論得到的各種形式冰蓋下河床區(qū)流速分布公式

表2 由分形理論得到的各種形式冰蓋下冰蓋區(qū)流速分布公式

在研究水流流速垂線分布時(shí)，多采用基于Prandtl 假設(shè)的對數(shù)分布公式。對冰蓋水流，由于雙對數(shù)流速分布公式形式簡單，具有一定的理論基礎(chǔ)且準(zhǔn)確性較高等特點(diǎn)，因此應(yīng)用廣泛。雙對數(shù)流速分布公式（此處進(jìn)行了統(tǒng)一）簡記為：式中：河床區(qū)x=b；冰蓋區(qū)x=i；ux為冰蓋區(qū)或河床區(qū)的流速；yx為距離冰底或床面的高度；Kx為冰蓋區(qū)或河床區(qū)的當(dāng)量粗糙高度；u*x為冰蓋區(qū)或河床區(qū)的摩阻流速；κ為卡門常數(shù)。

利用分形理論可容易推得冰下分區(qū)水流的流速對數(shù)分布公式，在公式的統(tǒng)一上，基于Odggard［32］對明渠水流的研究成果，Tsai［33］提出了冰下水流流速的雙冪律分布公式，即：

式中：K0為給定流量下的常數(shù)；y為距離床面的高度；h為水深；α1為與流量阻力項(xiàng)有關(guān)的參數(shù)；α2為與河床和冰蓋阻力特性有關(guān)的參數(shù)。

式（9）的推算正是由Tsai等通過式（5）、式（6）合并而成。

以上分析結(jié)果表明，從分形理論出發(fā)，通過適當(dāng)整合轉(zhuǎn)化，能推出不同形式的冰下水流流速分布公式。

3.3 冰蓋下水流流速垂線分布分析采用野外觀測的垂線流速數(shù)據(jù)組進(jìn)行冰下水流垂線流速分布的規(guī)律分析，其中什四份子彎道3 個(gè)斷面共34 組、頭道拐水文站大斷面11 組。因ADCP 上下測流盲區(qū)的限制，冰蓋下和河床上的局部區(qū)域無實(shí)測流速值，受冰蓋與河床糙率影響，冰蓋底部和河床表面流速很小，常以0值處理，限于篇幅，僅給出1、3斷面中典型垂線的分析結(jié)果（圖4）。由于河槽不同區(qū)域分布有厚度不一的冰花，ADCP實(shí)測流速均為冰下有效水深的流速。

3.3.1 彎道處（什四份子） 1 斷面5#孔和21#孔分別為凹（左）岸和凸（右）岸兩側(cè)主流中水深較大的孔位，不難看出，無論是ADCP實(shí)測的全流速（非嚴(yán)格意義上整個(gè)水深的全部流速），還是以冰封期六點(diǎn)法從中提取的流速（ADCP多點(diǎn)測量與流速儀單點(diǎn)測量結(jié)果一致性較好［25］），垂線上最大流速點(diǎn)的位置均位于水深的中上部分（圖4（a）），但更接近中部。由于最大流速點(diǎn)位置與冰蓋和河床糙率有關(guān)，當(dāng)二者糙率相等時(shí)，最大流速點(diǎn)位于水深中央，因此，以0.5h為界，將整個(gè)水深分為上下兩層。因最大流速位置偏向光滑一側(cè)，說明1斷面冰蓋底部的糙率小于河床表面糙率，但相差不大。反觀3斷面2#孔和12#孔的測量結(jié)果，ADCP 實(shí)測的垂線流速，由于冰蓋區(qū)和河床區(qū)流速最大值非常接近，最大流速點(diǎn)難以界定，僅能從單點(diǎn)值大小判斷最大流速位于上層水深；而六點(diǎn)法中的最大流速則位于下層水深（圖4（b）），這種差異其實(shí)與水流的脈動(dòng)作用及時(shí)均效應(yīng)有關(guān)。事實(shí)上，通過對34組測流結(jié)果的分析，ADCP實(shí)測最大流速點(diǎn)所在區(qū)域與六點(diǎn)法得出的結(jié)果吻合度達(dá)90%，34組測流中，垂線最大流速點(diǎn)位于上層水深的占85.3%，且多接近于0.5h，表明此試驗(yàn)階段，冰蓋底部相對平滑，冰底糙率與河床糙率趨于平衡，在水深較淺的垂線（12#、7#）上也有類似特征。

彎道水流的特殊結(jié)構(gòu)會(huì)引起流速重分布，冰蓋下彎道水流在各向均有不同表現(xiàn)，主要取1、3 斷面進(jìn)行分析（圖4）。流速沿縱向的重分布表現(xiàn)為：凹岸一側(cè)水流流速沿程變化不大，平均流速變幅在0.1 m/s 以內(nèi)，凸岸一側(cè)水流流速基本不變，維持在1.0 m/s 左右，最大流速貼近凸岸；流速沿橫向表現(xiàn)為：凹岸一側(cè)水流平均流速（0.7 ～0.8 m/s）小于凸岸（0.9 ～1.0 m/s），中部流速最?。?.5 ～0.6 m/s），原因是凹岸一側(cè)水流受護(hù)岸回推及頂托產(chǎn)生的回流影響，水流動(dòng)能削弱，且凹岸一側(cè)冰花較厚（疑為冰塞），冰花對水流產(chǎn)生的阻力也會(huì)降低水流流速；流速沿垂向表現(xiàn)為：冰蓋區(qū)和河床區(qū)流速分布較為均勻，且平均流速大小相近?？傮w來看，各測點(diǎn)水流流速垂線分布呈“震蕩”型式，尚不能清楚辨識(shí)流速分布規(guī)律，因此，需要采用數(shù)學(xué)方法進(jìn)一步分析其分布特性。

圖4 什四份子彎道部分點(diǎn)位流速垂線分布

分析冰下水流結(jié)構(gòu)，利用雙對數(shù)分布公式進(jìn)行流速擬合。由式（7）可得：

式中：A為某一常數(shù)；B為斜率。

以ADCP 流速起止點(diǎn)為參考點(diǎn)，對上下盲區(qū)進(jìn)行線性內(nèi)插（流速近似線性增大）。選取1斷面中兩條典型垂線，按照式（10）進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖5。結(jié)果表明，ADCP 實(shí)測冰蓋區(qū)與河床區(qū)的流速均具有分形特征，用雙對數(shù)分布公式對流速分布的表達(dá)效果較好，但在流動(dòng)核心區(qū)，點(diǎn)群偏離擬合直線且分布較為集中，表明核心區(qū)流速并不服從對數(shù)分布，與茅澤育等［15］的研究結(jié)果一致。因此，針對不同需求，利用冰下水流流速垂線分布公式時(shí)需考慮其適用性。

對ADCP實(shí)測水流流速分布進(jìn)行分維計(jì)算。因彎道水流流態(tài)復(fù)雜，流速混亂，故在建立線性趨勢的基礎(chǔ)上遴選出符合趨勢的流速點(diǎn)。分維計(jì)算公式可簡要概括為［26］：

圖5 什四份子彎道1斷面流速雙對數(shù)分布

式中：C為系數(shù)；D為分維值。

選取水深值較大的幾條典型垂線進(jìn)行流速分布的分維計(jì)算，選定的垂線覆蓋兩側(cè)河槽，率定結(jié)果具有代表性。統(tǒng)計(jì)的分維值能反映分區(qū)水流流速的分布特性，其大小可以表征挾沙水流流速分布的均勻程度，對冰下泥沙及污染物濃度分布、水流離散程度及挾沙能力的研究有參考意義。計(jì)算結(jié)果如表3。

表3 典型垂線流速分布的分維結(jié)果

分析典型垂線的流速分布的分維值。結(jié)果表明，冰蓋區(qū)水流流速D值范圍為0.70 ～0.93，在河床區(qū)則為0.01 ～0.95，冰蓋區(qū)的D值明顯大于河床區(qū)（除12#），說明彎道處的冰蓋水流，其冰蓋區(qū)的流速分布比河床區(qū)更為均勻。對比彎道兩側(cè)河槽，1 斷面凹岸一側(cè)水流冰蓋區(qū)流速的D值小于凸岸，3斷面則相反，說明1 斷面凹岸一側(cè)冰蓋區(qū)流速分布比凸岸均勻，在3 斷面出現(xiàn)異岸轉(zhuǎn)移；1 斷面凹岸一側(cè)河床區(qū)流速D值也大于凸岸，但3斷面無明顯規(guī)律。由于3斷面為彎頂段，最容易卡冰，受彎頂護(hù)岸頂托及回流作用，水流會(huì)發(fā)生明顯的摻混，同時(shí)，3斷面凹岸河槽存在大量的冰花，加上彎頂螺旋流影響，多因素疊加作用使得該斷面水流分布不均勻。

圖6 頭道拐水文站流速垂線分布

圖7 頭道拐水文站冰厚、水深分布

3.3.2 直道處（頭道拐水文站） 頭道拐水文站的三點(diǎn)法測量結(jié)果中，冰下水流流速垂線分布呈明顯的鏡像結(jié)構(gòu)，分形特征顯著，表明分形理論也能應(yīng)用于直河道的冰下水流結(jié)構(gòu)研究。大斷面近岸兩側(cè)流速小，沿河寬方向流速逐漸增加，清溝左側(cè)主流流速大于右側(cè)，冰蓋下河道左右側(cè)的流速垂線分布非常一致，最大流速點(diǎn)基本位于水深中央（圖6），而左右側(cè)水深分布不均（圖7），說明冰下水流最大流速點(diǎn)的分布與水深大小無關(guān)，當(dāng)然，這也只是因?yàn)槿c(diǎn)法只選取了0.15、0.5、0.85 m 水深處的流速，實(shí)際上最大流速在上下層水深均有可能存在，要獲得準(zhǔn)確結(jié)果，需多次進(jìn)行加密測量，但同時(shí)會(huì)明顯增加工作量；在處理一些工程實(shí)際問題時(shí)，由于最大流速點(diǎn)很難準(zhǔn)確界定，只需獲得其大概位置即可。對二點(diǎn)法、三點(diǎn)法測流試驗(yàn)的評估［31］，冰期采用的二點(diǎn)法、三點(diǎn)法等點(diǎn)測量方法，測流誤差較小，利用雙冪律分布公式擬合，結(jié)果良好，說明冰期采用三點(diǎn)法得到的測流結(jié)果是合理的，能概化冰下水流結(jié)構(gòu)。相較于ADCP 測流技術(shù)，由于三點(diǎn)法漏測了許多垂線點(diǎn)，因此對流速垂線分布的概化偏于理想化，但總體上，三點(diǎn)法實(shí)測直河道的冰下水流垂線流速分布仍具備良好的分形特性，基于分形理論推求的冰下水流垂線流速分布公式仍可沿用。計(jì)算水文站各測點(diǎn)水流垂線流速分布的分維值，冰蓋區(qū)D值范圍為0.50 ～0.97，河床區(qū)則為0.07 ～0.70，仍表現(xiàn)為冰蓋區(qū)流速分布比河床區(qū)均勻，而清溝左右兩側(cè)水流流速分布的D值差異不大，表明河槽兩側(cè)流速分布的一致性較好。

無論是彎道還是直河道，冰下水流流速垂線分布在冰蓋區(qū)和河床區(qū)均具有分形特征，能用雙對數(shù)分布或雙冪律分布進(jìn)行描述。然而對于彎道，受雙層反向環(huán)流影響，冰蓋區(qū)和河床區(qū)水流流速分布較為均勻，且大小相近，表明在有冰蓋影響下，水流流速在流動(dòng)核心區(qū)一定范圍內(nèi)并不服從對數(shù)分布。因此，對不同河型，運(yùn)用冰下水流流速分布公式時(shí)，需考慮適用性或引入因子項(xiàng)。

4 結(jié)論

以黃河內(nèi)蒙古什四份子彎道和頭道拐水文站直河道為研究對象，基于分形理論對冰蓋下水流流速的分布規(guī)律進(jìn)行了研究。（1）分形理論不僅可以應(yīng)用于明渠水流，對冰蓋下水流流速垂線分布同樣適用，通過分形理論可推出冰蓋條件下水流流速垂線分布公式；（2）冰蓋下的水流分布，無論是冰蓋區(qū)還是河床區(qū)，其流速垂線分布均具有分形現(xiàn)象，能用雙對數(shù)分布公式表達(dá)；然而，彎道水流垂線流速在水流核心區(qū)不服從對數(shù)分布。因此，對不同河型，使用流速分布公式需考慮公式的適用性或引入其他因子項(xiàng)（如環(huán)流因子）；（3）穩(wěn)封期，最大流速點(diǎn)接近水深中央，冰蓋糙率多小于河床糙率，但差值不大，體現(xiàn)為二者逐漸向平衡態(tài)逼近。冰蓋區(qū)水流流速分布的分維值大于河床區(qū)，流速分布沿水深方向均勻化，但對彎道而言，彎頂處受冰花堆積與水流摻混影響，河床區(qū)水流流速分布的分維值不規(guī)律。

推求的冰下水流流速分布公式，完善了分形理論在水流流速垂線分布方面的研究。由于糙率對水流結(jié)構(gòu)的影響顯著，而冰蓋糙率在整個(gè)封凍期一直處于動(dòng)態(tài)變化中，研究只涉及了穩(wěn)封期的流速分布，因此，需要進(jìn)一步分析封河過程前期、后期冰蓋糙率的變化對水流流速垂線分布的影響，同時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮流速公式在天然河道的可移植性并適當(dāng)予以修正，提升基于分形理論推求的流速分布公式在不同工況下的普適性及準(zhǔn)確度。