基于輻射傳輸方程的低損耗介質(zhì)微波介電常數(shù)反演

王志明，楊瑩，吳世紅，許剛，李靜

交通運(yùn)輸部 天津水運(yùn)工程科學(xué)研究所，天津 300456

0 引言

在過(guò)去10年中，隨著各種星載微波傳感器的推出，微波遙感能夠在全球范圍內(nèi)精確監(jiān)測(cè)地球系統(tǒng)的許多要素[1]。其中，微波可以穿透大氣、云和雨[2]，同時(shí)，微波遙感不需要太陽(yáng)作為光源，對(duì)植被特征、土壤含水量和積雪特征的變化相當(dāng)敏感，因此，微波遙感被廣泛用于監(jiān)測(cè)和反演全球表面參數(shù)，如雪和植被等[1]。微波傳感器接收的信號(hào)是被測(cè)物體介電常數(shù)的函數(shù)，這使得研究物體的介電常數(shù)成為微波技術(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)工作，并成為提取微波圖像信息的關(guān)鍵[3]。

微波介電常數(shù)是分析和研究電磁波與介質(zhì)物理特性之間相互作用的重要參數(shù)[2]。目前，已經(jīng)有許多測(cè)量介質(zhì)微波介電常數(shù)的方法。Courtney用諧振技術(shù)測(cè)量了非磁性材料的復(fù)介電常數(shù)[4]；Roberts和Von Hippel開發(fā)了僅需要弱振蕩器和少量材料的“空心管”方法，來(lái)估算介質(zhì)的介電常數(shù)[5]；Staebell采用開放式同軸線探針實(shí)驗(yàn)技術(shù)來(lái)測(cè)量微波頻率下材料的介電常數(shù)[6]；張金標(biāo)和邵方武改進(jìn)了Roberts算法的相位評(píng)估，明顯提高了介質(zhì)介電常數(shù)的測(cè)量準(zhǔn)確性[7]；Zhao et al.采用波導(dǎo)終端短路法，測(cè)量具有不同介電損耗介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)[8]；陳定一等使用相同的方法，測(cè)量濕土的介電常數(shù)，并構(gòu)建了半經(jīng)驗(yàn)介電模型以評(píng)估不同體積含水量土壤的介電常數(shù)[9]；陳秉鈞等改進(jìn)了介質(zhì)介電常數(shù)反演模型中的擬合系數(shù)，采用開放式波導(dǎo)方法直接接觸被測(cè)介質(zhì)[10]；Hallikainen et al.通過(guò)使用波導(dǎo)技術(shù)和自由空間天線技術(shù)，研究了正常和負(fù)溫度條件下砂壤土和粉質(zhì)黏土的介電常數(shù)[11]；張俊榮等用自由空間法，提供了典型物體微波介電常數(shù)的原位測(cè)量技術(shù)[12]；李麗英等使用Agilent微波網(wǎng)絡(luò)分析儀和同軸探針?lè)ǎ治鲈?.2～20.0 GHz頻率范圍內(nèi)具有不同體積含水量的土壤的介電常數(shù)[13]；吳昌英等提供了一種測(cè)量介質(zhì)復(fù)介電常數(shù)的新器件，通過(guò)增加器件上下板之間的短路來(lái)提高其精度，從而阻止輻射損耗。

然而，這些方法僅適用于具有強(qiáng)損耗正切的介質(zhì)，不適用于低損耗介質(zhì)。這些裝置和測(cè)量方法對(duì)強(qiáng)損耗介質(zhì)介電常數(shù)實(shí)部的測(cè)量結(jié)果較為精確[14]。目前，很少有方法以可靠的精度評(píng)估介電常數(shù)的虛部，特別是對(duì)于低損耗介質(zhì)，例如干砂和土壤。如何有效地獲得低損耗介質(zhì)的介電常數(shù)成為當(dāng)前微波遙感應(yīng)用的基本問(wèn)題之一。

在微波遙感領(lǐng)域，低損耗介質(zhì)的觀測(cè)亮溫受到溫度分布、介電常數(shù)、表面粗糙度和厚度等參數(shù)的嚴(yán)重影響，其中包括實(shí)部和虛部，介電常數(shù)是亮溫的決定性因素[2]。因此，筆者引入并改進(jìn)了被動(dòng)微波輻射傳輸方程，以構(gòu)建低損耗介質(zhì)的物理參數(shù)與觀測(cè)亮溫之間的關(guān)系；通過(guò)嚴(yán)格控制實(shí)驗(yàn)條件，包括物理溫度、厚度和表面粗糙度，觀察亮溫將直接介質(zhì)的介電常數(shù)相對(duì)應(yīng)；利用測(cè)量的微波亮溫，可以使用被動(dòng)微波輻射傳輸模擬來(lái)評(píng)估介質(zhì)的反射率和吸收系數(shù)；最后，通過(guò)數(shù)值解來(lái)評(píng)估低損耗介質(zhì)介電常數(shù)的實(shí)部和虛部。本研究的目的是提供一種新的有效方法來(lái)估算低損耗介質(zhì)的微波介電常數(shù)。

1 改進(jìn)的輻射傳輸方程

輻射傳輸模擬是將觀測(cè)亮溫與介質(zhì)的物理參數(shù)相關(guān)聯(lián)的有效工具，包括介電常數(shù)的實(shí)部和虛部。

1.1 兩層介質(zhì)的輻射傳輸模擬

對(duì)于雙層介質(zhì)(圖1)，基于二流近似原理[2, 15]，微波輻射計(jì)以角度θ0觀測(cè)的微波亮溫TB包括來(lái)自介質(zhì)1的輻射TB1和來(lái)自介質(zhì)2的輻射TB2。TB1還包括其上行輻射T1up和下行輻射T1dn。其表達(dá)式為：

TB=TB1+TB2=T1up+T1dn+T2up

(1)

圖1 雙層介質(zhì)模型的微波輻射模擬Fig.1 Radiation transfer simulation in two-layer medium

其中：

(2a)

(2b)

(2c)

式中：參數(shù)d是介質(zhì)1的厚度；θ1和θ2分別是介質(zhì)1和介質(zhì)2中的入射角；p=h，v，其對(duì)應(yīng)于水平和垂直極化；T(z)是介質(zhì)的溫度分布；rp1是空氣--介質(zhì)1界面的有效反射率；rp2是介質(zhì)1和2界面的有效反射率。

ka1(z)、ka2(z)分別是介質(zhì)1、2在深度z中的吸收系數(shù)，它們分別是介質(zhì)1和介質(zhì)2介電常數(shù)ε1(z)、ε2(z)的函數(shù)。對(duì)于低耗損介質(zhì)，該參數(shù)可以表示為[16--17]：

ka1(z)=2k″(z)

(3)

其中：

(4)

式中：f是微波輻射計(jì)的頻率；μ1是磁導(dǎo)率；εa是真空的介電常數(shù)；ε1(z)是介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)，又可表示為ε1(z) =ε1′(z) +iε1″(z)；ε1′(z)是相對(duì)介電常數(shù)的實(shí)部；ε1″(z) 是相對(duì)介電常數(shù)的虛部。

(5a)

(5b)

式(2)中，L的表達(dá)式如下：

(6)

表達(dá)式1 /(1-L)表示界面1和2之間的多次反射。

1.2 改進(jìn)的輻射傳輸方程

公式(2)至(6)表明微波輻射計(jì)觀察到的亮溫受溫度分布T(z)、介電常數(shù)分布ε1(z)、介質(zhì)1的表面粗糙度和厚度d等參數(shù)的影響。然而，觀測(cè)條件是可以嚴(yán)格控制的，如，入射角θ1和θ2設(shè)定為0°，表面布置盡可能平滑(表面RMS高度遠(yuǎn)小于觀察波長(zhǎng))，溫度分布T(z)和介電常數(shù)分布ε1(z)設(shè)置為均勻介質(zhì)，即設(shè)置為常數(shù)T0和ε1，不隨深度變化。此外，極低溫材料如液氮可以用于介質(zhì)2，產(chǎn)生的效果是：介質(zhì)2沒(méi)有微波熱輻射。

那么公式(2)可以改進(jìn)為：

=(1-rp1)T0(1-e-ka1d)/(1-L(d))

(7a)

=(1-rp1)rp1T0e-ka1·2d(eka1d-1)/(1-L(d))

(7b)

對(duì)式(7)進(jìn)行數(shù)學(xué)積分，結(jié)果為：

(8)

觀測(cè)到的亮溫與介質(zhì)1的物理參數(shù)之間的關(guān)系就可以用等式(3)、(4)、(5)、(6)和(8)直接構(gòu)造。

2 介電常數(shù)的反演模型

在公式(8)中，TB(d)是由微波輻射計(jì)的測(cè)量亮溫。物理參數(shù)T0和d可以在微波輻射計(jì)觀測(cè)時(shí)測(cè)量得到。亮溫和介電常數(shù)之間的關(guān)系由公式(8)直接構(gòu)成。然而，在等式(8)中存在兩個(gè)未知參數(shù)rp1和ka1。因此，介質(zhì)1的介電常數(shù)的反演將對(duì)非線性方程的求解，可能導(dǎo)致所謂的“病態(tài)”問(wèn)題[1,2,18]，即:相同的亮溫對(duì)應(yīng)于不同的rp1和ka組合，因此公式(8)的解是不確定的。

為了避免這個(gè)問(wèn)題對(duì)求解微波輻射傳輸方程的影響，需要至少兩次觀測(cè)。本研究中，進(jìn)行了3次觀測(cè)。因此，每次觀測(cè)對(duì)應(yīng)的模擬結(jié)果都可以表示為：

(9a)

(9b)

(9c)

式中：TB(di) (i=1, 2, 3)為厚度為di時(shí)的觀測(cè)亮溫。

因?yàn)槲粗獏?shù)ka1以指數(shù)形式出現(xiàn)，且rp1也是待求解量，因此公式(9)沒(méi)有解析解。為了解決這一問(wèn)題，引入Gauss--Seidel算法，通過(guò)多次迭代以得到解析解，最終，基于公式(9)估計(jì)介質(zhì)的吸收系數(shù)ka1和表面反射率rp1。

由公式(3)和(5)推導(dǎo)出本研究給定條件下的公式(10)和(11)，用基于上述計(jì)算得到的rp1和ka1，計(jì)算得到介質(zhì)1的介電常數(shù)的實(shí)部ε1′和虛部ε1″。

(10)

(11)

式中：ε1′可以由公式(10)來(lái)計(jì)算，通過(guò)公式(11)可以求解ε1″。這樣介質(zhì)1的介電常數(shù)反演模型就構(gòu)造完成。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在本研究中，根據(jù)需求設(shè)計(jì)了測(cè)量低損耗介質(zhì)介電常數(shù)的裝置。

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置

1.微波輻射計(jì)；2.電源線；3. 聚四氟乙烯板；4.不銹鋼板；5.泡沫板；6.吸波材料；7.液氮； 8.泡沫板；9.不銹鋼板；10.泡沫板；11.數(shù)據(jù)線。圖2 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.2 Schematic diagram of experimental device

實(shí)驗(yàn)裝置包括微波輻射計(jì)、觀測(cè)介質(zhì)微波發(fā)射的輔助設(shè)備和容器(圖2)。微波輻射計(jì)有L、S、K和Ka 4個(gè)波段(由中國(guó)科學(xué)院東北地理與農(nóng)業(yè)生態(tài)研究所趙凱研究員提供)。觀測(cè)角度為0°，輻射靈敏度約為0.5 K。輔助設(shè)備主要由不銹鋼板、泡沫板和聚四氟乙烯板組成。不銹鋼板用于保證微波輻射計(jì)觀測(cè)到的輻射只來(lái)自介質(zhì)，泡沫板應(yīng)足夠厚以保持介質(zhì)的體積溫度，聚四氟乙烯板用于阻止溫度極低的底層液氮對(duì)介質(zhì)溫度的影響。

輔助設(shè)備放置在較大的容器中，該容器的組成材料與較小的容器相同。唯一的區(qū)別是，較大的容器由一層吸波材料包裹，用于防止其他來(lái)源的輻射污染。將液氮放入較大的容器中，將待測(cè)介質(zhì)放入較小的容器中。

3.2 數(shù)據(jù)采集

在實(shí)驗(yàn)前，待測(cè)介質(zhì)應(yīng)在干燥和溫度恒定的環(huán)境中保持24 h或更長(zhǎng)時(shí)間，這樣可使介質(zhì)保持均勻的體溫度，然后按以下步驟操作：①將液氮倒入較大的容器中；②較小的容器放在較大的容器中(圖2)；③將一定量的介質(zhì)加入較小的容器中，并將上表面加工成光滑的，從微波輻射計(jì)讀取亮溫TB(d1)，測(cè)量介質(zhì)的厚度d1和物理溫度T1；④再執(zhí)行相同的步驟兩次，讀取并記錄對(duì)應(yīng)的TB(d2)、d2、T2和TB(d3)、d3、T3。

3.3 低損耗介質(zhì)的介電常數(shù)反演

本研究選取模擬月壤作為低損耗介質(zhì)。模擬月壤是真實(shí)月壤的地球化學(xué)復(fù)制品，它具有與月壤相同的礦物組分、化學(xué)成分和物理性質(zhì)，在探測(cè)月球資源和未來(lái)建立月球基地方面發(fā)揮著重要作用[19]。模擬月壤的原料是吉林省輝南縣金川鎮(zhèn)收集的新生代玄武巖火山渣，其成分和礦物組分與阿波羅14號(hào)采集的月壤樣品相近[20--21]。

為了獲得均勻的體溫度，將模擬月壤置于干燥且溫度恒定的室內(nèi)48 h，室溫保持在27℃。然后在相同的環(huán)境中，通過(guò)設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)裝置觀測(cè)不同厚度的模擬月壤的微波輻射亮溫。結(jié)果如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)中亮溫(TB)和厚度(d)的測(cè)量結(jié)果

Table 1 Measured results of temperature (TB) and thickness (d)

厚度/cm亮溫/K3.73167.207 26.36189.765 68.00197.857 2

結(jié)合測(cè)量結(jié)果，可以使用Gauss--Seidel迭代算法，通過(guò)公式(9)計(jì)算介質(zhì)的吸收系數(shù)和反射率；用公式(10)和(11)計(jì)算介電常數(shù)的實(shí)部和虛部。在本研究中，介質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)的計(jì)算結(jié)果為，實(shí)部約為3.586，虛部約為0.072 5。

為了驗(yàn)證反演結(jié)果，與北京師范大學(xué)通過(guò)安捷倫微波網(wǎng)絡(luò)分析儀和同軸探針?lè)y(cè)量的介電常數(shù)進(jìn)行比對(duì)。北京師范大學(xué)測(cè)得的相對(duì)介電常數(shù)約為3.574 + i 0.278 2，表明兩種方法反演的介電常數(shù)的虛部相差較大，而介電常數(shù)的實(shí)部與本實(shí)驗(yàn)的結(jié)果幾乎相同，因此，本研究設(shè)計(jì)的模型用于反演介質(zhì)介電常數(shù)的實(shí)部是可行的。

此外，模擬月壤的損耗正切角很小，也就是說(shuō)，介電常數(shù)的虛部應(yīng)該相當(dāng)?shù)?。但北京師范大學(xué)估計(jì)的虛部比本文的結(jié)果要大得多，哪種方法對(duì)于低損耗介質(zhì)虛部的計(jì)算更加合理，需要進(jìn)一步討論。

本研究收集了阿波羅14號(hào)月壤樣品的檢測(cè)結(jié)果，其平均介電常數(shù)約為4.705 3+ i 0.072 9[16]。這里，實(shí)部與本研究的結(jié)果相差較大，而虛部幾乎相同。這表明該方法獲得低損耗介質(zhì)介電常數(shù)的虛部也是可靠的。

4 結(jié)論

(1)改進(jìn)了輻射傳輸方程，構(gòu)建了介質(zhì)的物理參數(shù)與其微波亮溫之間的關(guān)系；利用改進(jìn)的輻射傳輸方程，在嚴(yán)格控制的實(shí)驗(yàn)環(huán)境條件下，構(gòu)建和設(shè)計(jì)了低損耗介質(zhì)微波介電常數(shù)的反演模型。

(2)利用所設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)裝置和制作的模擬月壤，進(jìn)行了低損耗介質(zhì)微波介電常數(shù)的反演研究。所得到的微波介電常數(shù)，實(shí)部與北京師范大學(xué)提供的結(jié)果接近，虛部與阿波羅14號(hào)月壤的平均測(cè)量值接近，說(shuō)明使用該方法反演的低損耗介質(zhì)微波介電常數(shù)是可靠的。