智慧卻在預(yù)設(shè)與生成的碰撞處
——以“一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”復(fù)習(xí)課為例

福建省廈門市湖里實(shí)驗(yàn)中學(xué) 阮玉英

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。因此在教學(xué)中，教師除了要注重課前精心的預(yù)設(shè)，更要關(guān)注課堂絕妙生成這一動(dòng)態(tài)過程。教師在備課時(shí)要預(yù)設(shè)一些能啟發(fā)學(xué)生思維的問題或問題串，讓學(xué)生積極參與，達(dá)到探究的開放性，并進(jìn)一步拓展延伸。下面以“一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”復(fù)習(xí)課為例，談?wù)勗诔跞龔?fù)習(xí)過程中，教師應(yīng)如何精心預(yù)設(shè)才能與學(xué)生的生成碰撞出智慧的火花。

一、預(yù)設(shè)開放性問題

(一）知識(shí)的回顧

一次函數(shù)是函數(shù)教學(xué)中最基本的一類函數(shù)，是數(shù)形結(jié)合的典型之一。我所教的學(xué)生是所在學(xué)校初三走班分層教學(xué)中的基礎(chǔ)班同學(xué)，學(xué)生已復(fù)習(xí)完函數(shù)的概念和反比例函數(shù)，因此在這一環(huán)節(jié)中預(yù)設(shè)引導(dǎo)學(xué)生類比反比例等函數(shù)，舉出幾個(gè)一次函數(shù)的例子和畫一次函數(shù)示意圖來幫助學(xué)生思考它們的異同點(diǎn)，更容易理解。

【問題呈現(xiàn)】問題3.若將一次函數(shù)上下平移，它的解析式會(huì)有什么變化？兩條直線平行，k和b各有何變化？

（二）典型例題

在典型例題的探究環(huán)節(jié)，教師同樣也是預(yù)設(shè)開放性的問題，學(xué)生的生成非常精彩，有些還是在預(yù)設(shè)時(shí)沒想到的。

【問題的呈現(xiàn)】例1.請你在坐標(biāo)系中畫出過點(diǎn)A(-2，- 1 )，B( 1，2 )的直線，并求出直線AB與x軸的交點(diǎn)C是_________，與y軸的交點(diǎn)D是_________.由圖中的交點(diǎn)、交點(diǎn)，我們還可以求些什么相關(guān)的量？還可以作哪些設(shè)問？我們一起來探究一下.

【預(yù)設(shè)與生成】學(xué)生1（運(yùn)算技能）：用待定系數(shù)法求出的AB的解析式y(tǒng)=x+ 2中，令y= 0時(shí)，可以求出C(-2，0)；令x= 0時(shí)，可以求出C(0，2).(如圖1）

學(xué)生2：由CD的坐標(biāo)，可以求出線段OC、OD、CD的長。學(xué)生3：還可以求出三角形OCD的面積和周。學(xué)生4：可以求三角形OCD中CD邊上的高OQ，恰好也是中線。

圖1

學(xué)生5（與相似疊加）：可以運(yùn)用相似求CD邊上的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)。（中點(diǎn)我在預(yù)設(shè)時(shí)沒考慮到，學(xué)生的生成很棒，剛好可以與相似疊加）

學(xué)生6（與三角函數(shù)疊加）：可以運(yùn)用三角函數(shù)求出∠OCD=45°。學(xué)生7：不用三角函數(shù)也可以求出。教師：怎么求？根據(jù)是什么？學(xué)生7：由以上OC、OD長，可知OC=OD，因此三角形OCD是等腰直角三角形，所以可以得出∠OCD=45°。教師：學(xué)生7的方法很不錯(cuò)，提醒我們解題時(shí)要注意是不是特殊三角形，要關(guān)注30°、45°、60°，思考能不能用三角函數(shù)解決問題。

【問題的呈現(xiàn)】追問1：在求點(diǎn)C 和點(diǎn)D 時(shí)，利用了一次函數(shù)與方程的關(guān)系來解決。同學(xué)們想一想，一次函數(shù)還與哪個(gè)知識(shí)有關(guān)系？

【預(yù)設(shè)與生成】學(xué)生8（與不等式疊加）：可以利用圖象，求當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0、y= 0、y＜0。

二、預(yù)設(shè)動(dòng)態(tài)問題

（一）動(dòng)點(diǎn)

【問題的呈現(xiàn)】追問2（與等腰三角形疊加）：若x軸上有一點(diǎn)P，使得ΔPCD是等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為多少？

【預(yù)設(shè)與生成】學(xué)生9：根據(jù)三角形是等腰三角形，我認(rèn)為應(yīng)分為三類：①CP=DP?P1(0，0)；②

教師：學(xué)生9你真棒，能想到等腰三角形的分類標(biāo)準(zhǔn)，大家要懂得做類似的題時(shí)用數(shù)形結(jié)合的方法來幫助我們解題。請問就這三種答案嗎？通過剛才的幾何畫板展示，同學(xué)們還有其他不同的想法嗎？

學(xué)生10：教師，我認(rèn)為總共有四種情況，還有一種情況：當(dāng)CD=CP時(shí)，點(diǎn)P 還可以在點(diǎn)C 的左側(cè)，因此得出第四種情況

教師：沒錯(cuò)，學(xué)生10補(bǔ)充得很完整，綜上所述：

解答（分類討論）：

在課后拓展環(huán)節(jié)中，也設(shè)計(jì)了一個(gè)動(dòng)態(tài)的問題。

（二）動(dòng)直線

【問題的呈現(xiàn)】問題4.已知：直線y1=kx+b與直線y1= 2x+ 4 相 交 于 點(diǎn)A( 1，a)，且 與y軸 交 于 點(diǎn)

（1）求k，b的值以及A點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知直線y=m(m＞0)與直線y1=kx+b相交于點(diǎn)M，與直線y2= 2x+ 4相交于點(diǎn)N，若MN= 4，求m的值。

【預(yù)設(shè)與生成】在兩條相交直線的基礎(chǔ)上，再加入一條動(dòng)直線，通過動(dòng)直線的運(yùn)動(dòng)，滲透分類討論思想。講解時(shí)注意訓(xùn)練學(xué)生的畫圖，識(shí)圖技能及推理技能，有些同學(xué)可能會(huì)畫錯(cuò)直線y=m(m＞0)，與直線y=x混淆；大部分學(xué)生想不到這題需要分類討論。通過作圖，找出基本圖形，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)圖形的變化，定好分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論。通過幾何畫板的演示，讓學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想，使動(dòng)態(tài)的情況更直觀。能培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀，訓(xùn)練學(xué)生的識(shí)圖畫圖技能、推理技能及綜合運(yùn)用的能力。

小結(jié)：通過學(xué)生的動(dòng)手作圖，找出基本圖形，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)圖形的變化，定好分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論；在課堂中整合信息技術(shù)——幾何畫板，讓學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想，使動(dòng)態(tài)的情況更直觀。達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀，訓(xùn)練學(xué)生的識(shí)圖畫圖技能、推理技能及綜合運(yùn)用的能力。

三、預(yù)設(shè)變式問題

教學(xué)典型例題2 時(shí)，教師設(shè)計(jì)的是兩條相交的直線，接下來在這基礎(chǔ)上進(jìn)行一定的變式，展示豐富多彩的函數(shù)和圖形世界，也可以更進(jìn)一步地拓展學(xué)生的思維。

【問題的呈現(xiàn)】若增加一條直線y=-x- 4 與直線AB 相交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)G，這里有相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎？

【變式】追問：可將直線y=-x- 4變式為其他函數(shù)或圖形呢？同學(xué)們馬上按合作的小組展開積極的討論：有的小組說變式為反比例函數(shù)；還有小組說變式為二次函數(shù)也可以；有一個(gè)同學(xué)甚至說到了，變式為圓就可以討論直線與圓的位置關(guān)系了；師生還一起說與三角形，四邊形這樣的幾何圖形相交也是可以的。最后引導(dǎo)學(xué)生作小結(jié)：兩線相交，可以是兩條直線相交，也可以是一直一曲相交，直線還可以和其他幾何圖形相交。

四、預(yù)設(shè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)

一節(jié)課的學(xué)習(xí)和討論結(jié)束后，組織學(xué)生進(jìn)行了歸納和小結(jié)：一次函數(shù)是一條直線，不僅兩點(diǎn)確定一條直線，直線上還有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，因此我們先從最基本的圖形點(diǎn)開始研究。有與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，有一條線段的中點(diǎn)，有兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，有運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)；點(diǎn)運(yùn)動(dòng)成線，可以是直線、線段、射線，還可以是雙曲線、拋物線、圓；線再圍成三角形、四邊形等，可以求周長、面積，還可以構(gòu)造不等關(guān)系、構(gòu)造全等、構(gòu)造相似；還可以讓線動(dòng)起來……因此在初中階段，尤其是初三總復(fù)習(xí)階段，教師應(yīng)認(rèn)真研讀教材，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)入手，用心設(shè)計(jì)各個(gè)技能的疊加，整合信息技術(shù)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生積極開展探究活動(dòng)。