對仿貓?zhí)S機(jī)器人起跳過程中腰部作用的分析

陳貴亮，莊昌瑞，楊 冬，張笑顏，黃榮新，李鐵軍

(河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300130)

隨著科技的發(fā)展，機(jī)器人逐漸代替人類在許多惡劣環(huán)境進(jìn)行工作，如外星探索，軍事偵察，火災(zāi)與地震救災(zāi)等。相比于傳統(tǒng)的輪式和履帶式機(jī)器人，腿式跳躍機(jī)器人因其良好的越障能力和對復(fù)雜環(huán)境的適應(yīng)能力受到越來越多研究者的青睞。對腿式跳躍機(jī)器人的研究也是機(jī)器人新的發(fā)展方向。為推動腿足式機(jī)器人的應(yīng)用與發(fā)展，美國國防先進(jìn)項(xiàng)目研究所(DAPRA)于2012年設(shè)置了機(jī)器人挑戰(zhàn)賽，以推動機(jī)器人在復(fù)雜不確定環(huán)境下完成復(fù)雜任務(wù)的技術(shù)研究[1-2]。在數(shù)億年的生物進(jìn)化中，生物在自然選擇下進(jìn)化出靈巧的運(yùn)動機(jī)構(gòu)和高效的運(yùn)動模式，這也成為機(jī)器人發(fā)展取之不盡的靈感源泉。通過對仿生模本的研究可以得到仿生機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和控制原理的理論依據(jù)。近年來，許多高校和科研機(jī)構(gòu)根據(jù)仿生原理，研制出了各種腿型仿生機(jī)器人。波士頓動力的big dog[3-4]可用于戶外載重的任務(wù)，具有靜態(tài)和動態(tài)的移動性能和完善的集成傳感器系統(tǒng)；麻省理工學(xué)院的獵豹機(jī)器人[5-6]具備時(shí)速16 km/h的高速奔跑和跨越障礙物等功能；Plecnik 等[7]以夜猴為模本設(shè)計(jì)了一種高效的單足跳躍機(jī)構(gòu)；以色列特拉維夫大學(xué)模仿沙漠蝗蟲的半月板在跳躍中的作用，設(shè)計(jì)了在關(guān)節(jié)處利用扭簧蓄能的微小型跳躍機(jī)器人[8]；西北工業(yè)大學(xué)的葛文杰等[9]對仿袋鼠機(jī)器人進(jìn)行了研究；哈爾濱工業(yè)大學(xué)任毅豪[10]研制了仿青蛙機(jī)器人并對其進(jìn)行逐步的改進(jìn)；南京航天航空大學(xué)的王寰[11]利用對蝗蟲的研究設(shè)計(jì)出一款能穩(wěn)定跳躍的仿蝗蟲跳躍機(jī)器人。

家貓作為一種善跳動物，跳躍能力高效穩(wěn)定，且在生活中便于觀察到，是良好的仿生模本。家貓的起跳過程對其最終的跳躍結(jié)果起著重要的影響，在家貓的起跳過程中，家貓的腰部中有著明顯的姿態(tài)變化，因此研究家貓腰部在起跳過程中的作用對提高仿貓機(jī)器人的跳躍能力有著指導(dǎo)作用。

基于此，建立一個(gè)簡單的仿貓?zhí)S機(jī)器人，根據(jù)家貓實(shí)際跳躍規(guī)律對其進(jìn)行跳躍仿真，對仿貓?zhí)S機(jī)器人的簡化機(jī)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)分析，驗(yàn)證其腰部在起跳過程中起到的作用；從能量角度比較有無腰部輔助跳躍的差別。研究結(jié)果可以對以后跳躍機(jī)器人的改進(jìn)和控制提供參考。

1 家貓?zhí)S規(guī)律及運(yùn)動分析

1.1 家貓?zhí)S觀察實(shí)驗(yàn)

引導(dǎo)一只家貓進(jìn)行跳躍實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中誘導(dǎo)家貓?jiān)竭^障礙物，通過障礙物的長度反映家貓的跳躍能力。跳躍過程拍攝后，利用視頻剪輯軟件對主要跳躍過程進(jìn)行截取以分析其運(yùn)動規(guī)律，如圖1所示。對幾組跳躍實(shí)驗(yàn)中，家貓起跳瞬間各關(guān)節(jié)角度測量如表1所示。

圖1 家貓?zhí)S實(shí)驗(yàn)截圖Fig.1 A screenshot of a cat jumping experiment

表1 起跳瞬間家貓各關(guān)節(jié)角度Table 1 Joint angles of cat at the moment of take-off

1.2 家貓?zhí)S運(yùn)動分析

通過對幾個(gè)跳躍過程的分析可得出家貓?zhí)S的一般規(guī)律。在起跳的預(yù)備階段，家貓身體蜷縮，腰部拱起，整個(gè)身體成蓄能姿態(tài)；起跳時(shí)前腿先離地，身體向前舒張，腰部伸展同時(shí)后腿發(fā)力蹬地為跳躍提供動能；在空中通過姿態(tài)調(diào)整控制落點(diǎn)；落地時(shí)前腳先著地，通過腿部關(guān)節(jié)和腰部的彎曲消耗觸地時(shí)的動能達(dá)到平穩(wěn)落地的目的。在家貓起跳過程中腰部有著明顯的收縮和伸展。為更進(jìn)一步研究家貓腰部在起跳過程中的作用，需要進(jìn)行起跳時(shí)與腰部有關(guān)的進(jìn)一步分析。

2 仿貓機(jī)器人機(jī)構(gòu)模型簡化

由于家貓生物模本很難實(shí)現(xiàn)比較精確的指定參數(shù)的跳躍實(shí)驗(yàn)，且生物學(xué)參數(shù)難以測量，因此根據(jù)家貓骨骼模型(圖2)設(shè)計(jì)了一個(gè)簡單的仿貓?zhí)S機(jī)器人，機(jī)器人各部分長度根據(jù)貓骨骼模型測量比例進(jìn)行分配(圖3)，用于對家貓的跳躍進(jìn)行研究。如圖2所示，家貓主要可分為前肢、軀干、后肢三個(gè)部分。前肢含有肩關(guān)節(jié)、肘關(guān)節(jié)、腕關(guān)節(jié)，后肢含有髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)、踝關(guān)節(jié)。前肢和后肢都可看作三桿機(jī)構(gòu)，各桿繞各自連接關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動，各關(guān)節(jié)均有扭簧提供彈性勢能。由于不研究后腳掌在起跳過程中作用，所以柔性后腳掌可看作剛性桿。雖然家貓柔性脊柱由多個(gè)脊柱塊組成，但最大轉(zhuǎn)動發(fā)生在腰部，為了簡化機(jī)構(gòu)，將脊柱看作一二桿機(jī)構(gòu)，在腰部由一鉸鏈連接，簡化后可得到一個(gè)八桿串聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖4所示。圖4中，θi為各連桿之間夾角；li為各連桿長度；mi為根據(jù)機(jī)構(gòu)等效的各連桿質(zhì)量；O0～O8分別為仿貓機(jī)器人模型中的后肢趾關(guān)節(jié)、踝關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)、髖關(guān)節(jié)、腰部、肩關(guān)節(jié)、肘關(guān)節(jié)、腕關(guān)節(jié)和前肢趾關(guān)節(jié)；Xi和Yi分別為以O(shè)i對應(yīng)關(guān)節(jié)為圓心建立直角坐標(biāo)系的X軸和Y軸。

圖2 家貓骨骼模型Fig.2 Cat skeleton model

圖3 仿貓?zhí)S機(jī)器人Fig.3 Cat-like jumping robot

圖4 仿貓?zhí)S機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡化圖Fig.4 Simplified structure of cat-like jumping robot

在Adams環(huán)境下使仿貓?zhí)S機(jī)器人模擬家貓?zhí)S，如仿真結(jié)果與家貓實(shí)際跳躍情況接近，則認(rèn)為機(jī)器人機(jī)構(gòu)與實(shí)驗(yàn)貓具有相似的運(yùn)動特點(diǎn)，可對其進(jìn)行進(jìn)一步的分析。決定家貓?zhí)S最終結(jié)果的因素為離地瞬間的姿態(tài)及質(zhì)心速度大小。根據(jù)表1，在Adams仿真中設(shè)定跳躍條件，使得仿貓?zhí)S機(jī)器人起跳瞬間各關(guān)節(jié)角分別為腕關(guān)節(jié)145°、肘關(guān)節(jié)70°、肩關(guān)節(jié)50°、腰部165°、髖關(guān)節(jié)135°、膝關(guān)節(jié)145°、踝關(guān)節(jié)140°、后腳趾與地面夾角80°，此姿態(tài)與家貓起跳瞬間姿態(tài)相近。Adams仿真跳躍實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。仿貓?zhí)S機(jī)器人跳躍距離約為1.1 m，跳躍距離與家貓實(shí)際跳躍能力相符，因此認(rèn)為仿貓機(jī)器人跳躍規(guī)律與家貓?zhí)S規(guī)律基本一致，可以用作理論分析模本。

圖5 Adams仿真跳躍實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.5 Experimental results of Adams simulation jump

3 仿貓機(jī)器人起跳過程的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)分析

3.1 仿貓機(jī)器人起跳階段運(yùn)動學(xué)分析

腰部的主要姿態(tài)變化發(fā)生在前肢開始發(fā)力到后肢發(fā)力前這一階段，因此對這一過程進(jìn)行動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)分析。利用D-H法[12]對該過程進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析，家貓?jiān)谔S過程中左右腳同步運(yùn)動，整個(gè)跳躍過程可看作在XOY平面內(nèi)的運(yùn)動，D-H矩陣中的α和d均為0。由于整個(gè)起跳過程中后腳趾可看作繞地面轉(zhuǎn)動，因此以后腳趾為原點(diǎn)建立絕對坐標(biāo)系，地面為零勢能面，跳躍方向?yàn)閄軸正方向，坐標(biāo)建立如圖4所示。假設(shè)仿貓機(jī)器人第i根連桿繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為Ji。D-H參數(shù)與各連桿質(zhì)量如表2所示。

表2 D-H參數(shù)及各連桿質(zhì)量Table 2 D-H parameters and connecting rod quality

在二維平面中，由D-H法可知，相鄰坐標(biāo)系之間變換矩陣為

式中：iTi+1為第i根桿的坐標(biāo)系向第i+1根桿的坐標(biāo)系變換的變換矩陣。為簡化公式表達(dá)，令Si=sinθi，Ci=cosθi，Si±j=sin(θi±θj)，Ci±j=cos(θi±θj)。假設(shè)每根桿質(zhì)量均勻分布，每根桿的質(zhì)心近似為該桿的中點(diǎn)。此階段的運(yùn)動學(xué)正解問題即已知各連桿夾角求解機(jī)器人各桿質(zhì)心相對于后腳趾坐標(biāo)系位姿的問題，各桿坐標(biāo)系對后腳趾坐標(biāo)系的變換矩陣為

(2)

則各連桿質(zhì)心在絕對坐標(biāo)系中坐標(biāo)為

(3)

式(3)中：Cix和Ciy分別為第i根連桿質(zhì)心在絕對坐標(biāo)系中的橫、縱坐標(biāo)。

3.2 仿貓機(jī)器人起跳階段動力學(xué)分析

以運(yùn)動學(xué)分析為基礎(chǔ)，利用拉格朗日方程推導(dǎo)動力學(xué)方程[13]，對后腿開始發(fā)力前的跳躍過程進(jìn)行動力學(xué)分析，可以得到該過程各關(guān)節(jié)力矩的變化過程。此階段后腿還處于蓄能階段，膝關(guān)節(jié)與踝關(guān)節(jié)基本不動，因此分析對象為前腿各關(guān)節(jié)、腰部及髖關(guān)節(jié)，此時(shí)前肢與軀干可看作繞髖關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動。

各連桿質(zhì)心方程對時(shí)間求導(dǎo)可得各連桿質(zhì)心處水平方向和豎直方向的速度方程vix和viy：

(4)

(5)

其中：

(6)

(7)

若以起跳地面為重力勢能的0勢能面，則各桿質(zhì)心縱坐標(biāo)Ciy為質(zhì)心到零勢能面距離，重力加速度為g=9.8 m/s2，第i根桿重力勢能Pig為

Pig=migCiy

(8)

第i個(gè)關(guān)節(jié)處彈性勢能Pis為

(9)

式(7)中：ki為各關(guān)節(jié)處扭簧剛度系數(shù)，θi0為各關(guān)節(jié)之間初始相對轉(zhuǎn)角。

則系統(tǒng)總動能K為

(10)

系統(tǒng)總勢能P為

(11)

系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)的表達(dá)式為

L=K-P

(12)

式(12)中：L為系統(tǒng)用各廣義坐標(biāo)和各廣義速度所表示的功能。對拉格朗日函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)處理，可得各關(guān)節(jié)處驅(qū)動力矩的表達(dá)式：

(13)

式(13)中:T4為后肢髖關(guān)節(jié)處力矩；T5為腰部驅(qū)動力矩；T6、T7、T8分別為前肢肩關(guān)節(jié)、肘關(guān)節(jié)和腕關(guān)節(jié)的力矩；t為時(shí)間。整個(gè)過程持續(xù)時(shí)間約為0.1 s，對Adams中測得的各關(guān)節(jié)角度變化進(jìn)行三次擬合，各關(guān)節(jié)角度擬合為

(14)

各關(guān)節(jié)角扭簧剛度系數(shù)為k4=8 Nm/rad，k5=10 Nm/rad，k6=2.5 Nm/rad，k7=1.5 Nm/rad，k8=0.5 Nm/rad。各關(guān)節(jié)角初始相對轉(zhuǎn)角為θ40=73.3°，θ50=135.2°，θ60=62.4°，θ70=-64.5°，θ80=-34.7°。再將表2中基本參數(shù)代入式(13)，可得各關(guān)節(jié)力矩隨時(shí)間變化規(guī)律，腰部力矩隨時(shí)間變化如圖6所示，其余關(guān)節(jié)力矩隨時(shí)間變化如圖7所示。

圖6 腰部力矩隨時(shí)間變化Fig.6 Time-varying of waist moment

T4為髖關(guān)節(jié)處力矩；T6為肩關(guān)節(jié)處力矩；T7為肘關(guān)節(jié)處力矩；T8為腕關(guān)節(jié)處力矩圖7 各關(guān)節(jié)力矩隨時(shí)間變化Fig.7 Time-varying of joint moments

由圖6、圖7可知，起跳瞬間腰部與前肢同時(shí)發(fā)力，隨著前肢持續(xù)做功，腰部力矩逐漸減小。時(shí)間t約為0.06 s時(shí)前腿完全離開地面，此時(shí)前腿不再對外做功，為克服前肢與軀干重力髖關(guān)節(jié)處力矩逐漸增加。此時(shí)腰部力矩逐漸增大，帶動前肢繼續(xù)運(yùn)動，使前肢與前部軀干繼續(xù)繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)，增大了前肢與前部軀干繞質(zhì)心的角動量。根據(jù) Zajac[14]對貓的極大跳躍的研究，家貓?jiān)谄鹛把窟\(yùn)動會給質(zhì)心提供很大一部分跳躍所需角動量，這與分析得到結(jié)論相符。

4 仿貓機(jī)器人腰部初始夾角與機(jī)構(gòu)起跳階段所需做功關(guān)系

在Adams中測得起跳瞬間質(zhì)心速度為v=[vx,vy]=[2.1 m/s,2.4 m/s]，起跳瞬間各關(guān)節(jié)角為θ1=80°、θ2=140°、θ3=-145°、θ4=145°、θ5=165°、θ6=50°、θ7=-75°、θ8=135°。則由式(5)、式(10)得到起跳時(shí)動能E和起跳時(shí)勢能Pll。給定準(zhǔn)備狀態(tài)各關(guān)節(jié)夾角θ10=150°、θ20=55°、θ30=-90°、θ70=-65°、θ80=-35°，前腳趾與地面夾角為10°，根據(jù)此時(shí)姿態(tài)可得機(jī)構(gòu)前后肢重力勢能為常數(shù)，θ40、θ60隨著θ50變化而變化。準(zhǔn)備狀態(tài)重力勢能為

PI=0.63+m4gC4y+m5gC5y

(15)

初始狀態(tài)的腰部夾角θ滿足：

θ=θ50

(16)

若要滿足相同的起跳條件，機(jī)構(gòu)需要做的功為

W=Pll+E-Pl

(17)

當(dāng)起跳過程沒有腰部輔助跳躍時(shí)，整個(gè)起跳過程軀干可看作一個(gè)整體，θ5始終為180°，腰部在起跳過程中始終沒有力矩。當(dāng)前肢與后肢起跳的準(zhǔn)備姿態(tài)與有腰部輔助跳躍準(zhǔn)備姿態(tài)一致時(shí)，由式(15)可得到機(jī)構(gòu)此時(shí)的重力勢能。根據(jù)式(17)可得到初始位置腰部夾角與機(jī)構(gòu)滿足相同起跳條件所需做功關(guān)系。

機(jī)構(gòu)做功來自于各關(guān)節(jié)處扭簧釋放的彈性勢能，扭簧儲存的彈性勢能來自于起跳前對各關(guān)節(jié)的壓縮。由圖8可知，有腰部輔助跳躍時(shí)，起跳瞬間腰部夾角越小機(jī)構(gòu)所需做功越少，沒有腰部輔助跳躍時(shí)機(jī)構(gòu)所需做功最多。家貓?jiān)陂_始跳躍前都會盡可能拱起脊柱，減小腰部夾角，這與分析驗(yàn)證所得結(jié)果一致。在起跳前，機(jī)構(gòu)通過姿態(tài)調(diào)整儲存能量為跳躍做準(zhǔn)備。在前后肢各關(guān)節(jié)壓縮角度相同的情況下，腰部的姿態(tài)調(diào)整可以在增加腰部彈性勢能的同時(shí)減小機(jī)構(gòu)到起跳姿態(tài)所需增加的重力勢能。腰部的姿態(tài)調(diào)整把一部分起跳階段需要做的功在起跳的準(zhǔn)備階段提前完成，減小起跳階段所需做功，使整個(gè)跳躍過程能量分配更平滑。若沒有腰部輔助跳躍，在前后肢開始起跳瞬間姿態(tài)一定時(shí)，機(jī)構(gòu)不能在起跳的準(zhǔn)備階段進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整，且沒有腰部輔助跳躍時(shí)比有腰部輔助跳躍時(shí)少一個(gè)驅(qū)動關(guān)節(jié)，除機(jī)構(gòu)所需做的總功更多外，前后肢各關(guān)節(jié)所需做功也將變多，使得運(yùn)動效率降低。

圖8 初始位置腰部夾角與機(jī)構(gòu)所需做功關(guān)系Fig.8 The relationship between the waist angle at the initial position and the work required by the mechanism

5 結(jié)論

在家貓生物原型的基礎(chǔ)上建立仿貓機(jī)器人的機(jī)構(gòu)模型，并對其進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)及動力學(xué)運(yùn)動學(xué)分析。得出以下結(jié)論。

(1)根據(jù)仿生學(xué)研究的基本方法，依照家貓?zhí)S規(guī)律對仿貓?zhí)S機(jī)器人進(jìn)行仿真。對仿貓?zhí)S機(jī)器人進(jìn)行了結(jié)構(gòu)簡化并進(jìn)行了動力學(xué)和運(yùn)動學(xué)分析。通過腰部力矩變化說明了腰部可為起跳時(shí)質(zhì)心提供所需的角動量。

(2)通過能量的角度分析了起跳過程初始階段腰部夾角和達(dá)到相同起跳狀態(tài)機(jī)構(gòu)所需做功的關(guān)系，在起跳的準(zhǔn)備階段，腰部初始夾角越小，機(jī)構(gòu)所需做功越少。這與自然界家貓的運(yùn)動規(guī)律相符合。

(3)對比了有腰部輔助跳躍時(shí)和無腰部輔助跳躍時(shí)的區(qū)別。對仿貓?zhí)S機(jī)器人而言，當(dāng)有腰部輔助跳躍時(shí)，可以在起跳的準(zhǔn)備階段更好地進(jìn)行姿態(tài)調(diào)整，跳高跳躍效率。

算例中家貓各肢體位姿數(shù)據(jù)根據(jù)Adams仿真得到，與實(shí)際姿態(tài)存在誤差，且生物學(xué)基本參數(shù)與實(shí)際家貓的生物學(xué)參數(shù)也有出入，但結(jié)論趨勢反映了家貓起跳階段的一般規(guī)律，為仿貓機(jī)器人的改進(jìn)和跳躍運(yùn)動的控制提供了理論基礎(chǔ)。