邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)中的局部散射理論

董 明

(天津大學(xué) 機(jī)械學(xué)院 高速空氣動(dòng)力學(xué)研究室, 天津 300072)

0 引 言

從層流到湍流的轉(zhuǎn)捩問(wèn)題是航空航天工程中所關(guān)注的重要基礎(chǔ)問(wèn)題[1-2]。一般來(lái)說(shuō)，層流邊界層表面的摩擦阻力明顯小于湍流邊界層，因而， 若能通過(guò)有效的設(shè)計(jì)手段推遲轉(zhuǎn)捩的發(fā)生，則有利于減少燃料的消耗或在攜帶有限燃料的前提下使飛行器飛得更遠(yuǎn)。在航空領(lǐng)域，美國(guó)的波音公司[3]、歐洲的空客公司[4]以及我國(guó)的商飛公司等都投入了大量的人力與物力，致力于發(fā)展可靠、有效的層流控制方法。在航天領(lǐng)域，人們?cè)陉P(guān)注如何推遲轉(zhuǎn)捩的同時(shí)，還通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)和計(jì)算研究高速飛行器表面由材料編織、燒蝕等引起的粗糙度對(duì)轉(zhuǎn)捩的影響。另一方面，考慮在逆壓梯度下，湍流邊界層的分離區(qū)明顯小于層流邊界層，因而，在有些情況下，人們希望采取措施促進(jìn)轉(zhuǎn)捩的發(fā)生。一個(gè)典型的例子就是在高超聲速吸氣式飛行器的前體進(jìn)氣道布置有限尺寸的三維粗糙元[5-8]。此外，對(duì)于航天飛行器，轉(zhuǎn)捩區(qū)域往往伴隨著高熱流的出現(xiàn)，對(duì)轉(zhuǎn)捩的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)也是熱防護(hù)設(shè)計(jì)的前題。

當(dāng)環(huán)境擾動(dòng)的強(qiáng)度較低時(shí)，邊界層轉(zhuǎn)捩由模態(tài)擾動(dòng)的失穩(wěn)導(dǎo)致，這一過(guò)程包括如圖1所示的四個(gè)階段[9]。(a) 在感受性(receptivity)階段，自由流中的聲波、渦波和熵波進(jìn)入邊界層并激發(fā)邊界層中的不穩(wěn)定模態(tài)；(b) 激發(fā)出的不穩(wěn)定模態(tài)在線性穩(wěn)定性機(jī)制下呈指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)；(c) 當(dāng)擾動(dòng)累積到有限幅值以后，擾動(dòng)與擾動(dòng)、擾動(dòng)與平均流之間的非線性作用導(dǎo)致層流的breakdown；(d) 最后流動(dòng)進(jìn)入湍流狀態(tài)，表現(xiàn)為脈動(dòng)強(qiáng)度達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)，而邊界層的厚度迅速增長(zhǎng)。

圖1 邊界層轉(zhuǎn)捩的示意圖[9](略作修改)Fig.1 Sketch of boundary-layer transition (Ref.[9] with minor modification)

由于不穩(wěn)定模態(tài)的線性增長(zhǎng)占據(jù)了層流階段的絕大部分區(qū)域，因而很自然的想法就是基于由線性穩(wěn)定性理論給出的擾動(dòng)增長(zhǎng)率來(lái)預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩。根據(jù)圖1所給出的轉(zhuǎn)捩途徑，這一預(yù)測(cè)方法需要考慮三個(gè)子問(wèn)題：確定擾動(dòng)的初始幅值、描述擾動(dòng)的線性演化以及確定轉(zhuǎn)捩的判據(jù)。這一思想早在20世紀(jì)50年代就被提出，Smith[10]基于不可壓縮邊界層中的Tollmien-Schlichting(T-S)波(其是Orr-Sommerfeld或O-S方程的特征解)的增長(zhǎng)率，給出了早期的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)準(zhǔn)則，即當(dāng)T-S波被線性放大eN倍時(shí)轉(zhuǎn)捩發(fā)生。因而，該方法也被簡(jiǎn)稱為eN法。實(shí)際上，該方法只是較準(zhǔn)確地考慮了上述三個(gè)子問(wèn)題中的第二個(gè)，而把達(dá)到轉(zhuǎn)捩的門限幅值與感受性階段的初始幅值的比值的對(duì)數(shù)刻畫為人為參數(shù)N。由于感受性過(guò)程較復(fù)雜，對(duì)擾動(dòng)初始幅值的確定往往需要通過(guò)經(jīng)驗(yàn)。而eN方法中的人為參數(shù)只有一個(gè)，因而，該方法廣受歡迎。其后，一直到20世紀(jì)70年代，通過(guò)對(duì)一系列低速流實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合，人們發(fā)現(xiàn)不管是T-S波失穩(wěn)[11]、橫流失穩(wěn)[12]，還是由離心力引起的Gortler失穩(wěn)[13]，轉(zhuǎn)捩因子N的取值一般都在10左右。但是，轉(zhuǎn)捩不僅僅由平均流剖面決定，它同時(shí)還受自由流擾動(dòng)強(qiáng)度的影響；上述實(shí)驗(yàn)展示的轉(zhuǎn)捩因子N相近的現(xiàn)象只是巧合。Mack[14]通過(guò)理論預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)隨著來(lái)流湍流度的增強(qiáng)，N因子迅速下降。因而，現(xiàn)階段在工程上預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩時(shí)，N的選取要借助由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系來(lái)確定。另外，橫流和Gortler失穩(wěn)模態(tài)自身的累積并不能直接導(dǎo)致轉(zhuǎn)捩，故不考慮二次失穩(wěn)的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)模型從本質(zhì)上來(lái)看是存在問(wèn)題的。

超聲速或高超聲速邊界層中的轉(zhuǎn)捩問(wèn)題更加復(fù)雜。首先，自由流中除了存在渦擾動(dòng)(湍流脈動(dòng))外，還存在壓力脈動(dòng)主導(dǎo)的聲擾動(dòng)和溫度脈動(dòng)主導(dǎo)的熵?cái)_動(dòng)。由于不同風(fēng)洞的背景噪聲強(qiáng)度大不相同，因而它們所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)捩因子N也大相徑庭。更重要的是，高空中的環(huán)境擾動(dòng)類型可能與風(fēng)洞中不同，這樣，從風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)中擬合出的N因子不能直接推廣到真實(shí)飛行情況。其次，超聲速與高超聲速邊界層存在多個(gè)失穩(wěn)模態(tài)(可壓縮O-S方程的特征解)[15]。在二維層流條件下，除了展向波數(shù)較大的第一模態(tài)是亞聲速黏性T-S波的延伸[16]以外，其它模態(tài)都是無(wú)黏的，被稱為Mack模態(tài)。Mack模態(tài)在邊界層前緣附近的感受性機(jī)制與黏性T-S波的機(jī)制[17]完全不同。Fedorov和Khokhlov[18-19]指出，在自然狀態(tài)下(無(wú)局部突變引起的感受性機(jī)制)，Mack模態(tài)通過(guò)與自由流中擾動(dòng)的同步而被激發(fā)。這種同步包括三類：(a) 在前緣附近，慢聲波與慢模態(tài)(第一模態(tài))同步；(b) 在下游某處，渦波、熵波與快模態(tài)同步；(c) 在第二模態(tài)下支界附近，快慢模態(tài)同步。這一現(xiàn)象其后被一系列直接數(shù)值模擬驗(yàn)證[20-22]。Fedorov[23]進(jìn)一步應(yīng)用該理論，計(jì)算了高超聲速平板邊界層對(duì)自由流中三維聲波的感受性問(wèn)題，結(jié)果與Maslov[24]的實(shí)驗(yàn)在波角(θ=tan-1(β/α)，其中α與β分別為擾動(dòng)的流向和展向波數(shù))小于50°時(shí)吻合很好。更大波角所對(duì)應(yīng)的不穩(wěn)定模態(tài)應(yīng)屬于黏性T-S波，其感受性應(yīng)該由三層結(jié)構(gòu)理論描述[25]。由于同步的機(jī)制比黏性T-S波的前緣感受性效率高得多，一般在超聲速或高超聲速風(fēng)洞中，轉(zhuǎn)捩因子N明顯小于低速流的值。

eN法的優(yōu)點(diǎn)是應(yīng)用起來(lái)簡(jiǎn)單方便，因?yàn)橹恍枰谄叫辛骷僭O(shè)下對(duì)基本流剖面求解局部增長(zhǎng)率再做積分即可。但是，人們發(fā)現(xiàn)，即使對(duì)于光滑壁情況，在增長(zhǎng)率不太大的時(shí)侯，由線性穩(wěn)定性理論預(yù)測(cè)的局部增長(zhǎng)率不夠準(zhǔn)確，這樣就影響了整體積分的精度。一個(gè)更加準(zhǔn)確的方法是拋物化穩(wěn)定性方程(PSE)[26-30]。該方法只忽略了原始Navier-Stokes(N-S)方程黏性項(xiàng)中擾動(dòng)對(duì)流向的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，這樣，原來(lái)橢圓型的方程系統(tǒng)就變成了拋物型的。該方法的優(yōu)點(diǎn)是：(a) 平均流的非平行性與擾動(dòng)對(duì)流項(xiàng)的一階導(dǎo)數(shù)被考慮進(jìn)來(lái)，這樣，在大部分情況下其計(jì)算精度是可以與直接數(shù)值模擬相當(dāng)?shù)模?b) 另外，擾動(dòng)與擾動(dòng)、擾動(dòng)與平均流的弱非線性作用也可以被考慮進(jìn)來(lái)(非線性PSE或NPSE)。因而，對(duì)于光滑壁面的邊界層流動(dòng)，如果確定了模態(tài)擾動(dòng)的初始幅值，NPSE可以一直被應(yīng)用到層流breakdown的起始階段[31]。值得說(shuō)明的是，在使用線性PSE做轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)時(shí)，同樣需要設(shè)置轉(zhuǎn)捩判據(jù)，即達(dá)到轉(zhuǎn)捩的時(shí)候不穩(wěn)定模態(tài)要線性放大多少倍；但在使用NPSE預(yù)測(cè)時(shí)，只需要設(shè)置模態(tài)擾動(dòng)的初始幅值，轉(zhuǎn)捩發(fā)生在計(jì)算發(fā)散或壁面摩擦系數(shù)曲線抬升時(shí)[31]。

以上基于O-S方程特征解的eN法與考慮部分非平行性效應(yīng)的PSE方法都是針對(duì)光滑壁面的邊界層流動(dòng)的。如果壁面上存在流向尺度與不穩(wěn)定模態(tài)波長(zhǎng)相當(dāng)?shù)木植客蛔?，如粗糙元、吹吸、臺(tái)階、縫隙等，則系統(tǒng)表現(xiàn)為強(qiáng)橢圓型。這樣，平行流假設(shè)或?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行拋物化從數(shù)學(xué)上來(lái)講是錯(cuò)誤的。實(shí)際上，壁面絕對(duì)光滑的邊界層問(wèn)題在工程上并不常見(jiàn)，而出現(xiàn)更多的是存在壁面缺陷或突變的邊界層問(wèn)題，如第一段介紹的層流控制與壁面編織、燒蝕引起的粗糙度等。這樣，就需要發(fā)展一套適用于此類問(wèn)題的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)理論框架。

從原理上來(lái)看，局部突變對(duì)邊界層自然轉(zhuǎn)捩的影響主要有兩種機(jī)制。一種是局部感受性機(jī)制，即自由流中的擾動(dòng)與由局部突變引起的快速畸變的平均流之間相互作用而直接激發(fā)不穩(wěn)定模態(tài)。由于由前緣感受性機(jī)制[17]激發(fā)出的不穩(wěn)定模態(tài)需要經(jīng)歷長(zhǎng)距離的衰減過(guò)程，因而，這種局部感受性機(jī)制的效率更高。這樣，如果在飛行器表面較上游的位置存在局部突變，則在轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)中這一局部感受性機(jī)制必須考慮。另一種機(jī)制被稱為線性模態(tài)的局部散射機(jī)制。當(dāng)局部突變出現(xiàn)在較下游的位置時(shí)，其上游傳播過(guò)來(lái)的不穩(wěn)定模態(tài)會(huì)與快變的平均流作用而迅速改變前者在下游的漸近幅值(把下游擾動(dòng)的幅值依照線性穩(wěn)定性理論拓展到局部突變處)。漸近幅值的增大或減小會(huì)促使下游轉(zhuǎn)捩的提前或推遲，新的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)理論必須考慮這一定量的變化。當(dāng)然，如果局部突變的尺寸足夠大，以至于其引起的平均流修正使流動(dòng)失穩(wěn)的性質(zhì)發(fā)生改變，則流動(dòng)可以逾越過(guò)不穩(wěn)定模態(tài)的線性放大過(guò)程，而通過(guò)旁路(bypass)轉(zhuǎn)捩途徑到達(dá)湍流。但本文主要關(guān)注的還是自然轉(zhuǎn)捩過(guò)程，假設(shè)壁面的局部突變尺寸較小。

本文的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)如下：首先在1.1節(jié)介紹考慮局部突變影響的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法的基本思想，引出局部感受性系數(shù)與透射系數(shù)的概念；在1.2節(jié)中介紹局部散射理論的基本原理；由于二維層流邊界層中的失穩(wěn)特性包括黏性和無(wú)黏兩種，1.3節(jié)將重點(diǎn)討論它們的區(qū)別與數(shù)學(xué)描述方法。在第2節(jié)中，本文重點(diǎn)介紹黏性T-S波的局部感受性過(guò)程，包括T-S波的局部散射、T-S波的局部感受性以及抽吸與臺(tái)階對(duì)T-S波的影響。在第3節(jié)中，介紹了無(wú)黏Mack模態(tài)的局部感受性與局部散射問(wèn)題。最后在第4節(jié)對(duì)本文做總結(jié)與展望。

1 局部散射理論的基本框架

1.1 考慮局部突變影響的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)模型

傳統(tǒng)的eN轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法的核心思想是認(rèn)為當(dāng)邊界層中最危險(xiǎn)的擾動(dòng)(或稱為主導(dǎo)擾動(dòng))在線性的機(jī)制下放大eN倍時(shí)轉(zhuǎn)捩發(fā)生。如果邊界層中存在局部突變，則擾動(dòng)的感受性和線性演化階段會(huì)受到影響，這將表現(xiàn)為轉(zhuǎn)捩位置的推遲或提前。最簡(jiǎn)單的構(gòu)建新的轉(zhuǎn)捩模型的方法是把這些影響定量地刻畫，然后用它們來(lái)修正轉(zhuǎn)捩的判據(jù)N值。如引言所述，局部突變對(duì)轉(zhuǎn)捩的影響主要通過(guò)局部感受性機(jī)制與線性模態(tài)的局部散射機(jī)制來(lái)實(shí)現(xiàn)，而這兩種機(jī)制可以由Wu和Dong[32]提出的一套通用的理論框架——局部散射理論——來(lái)定量刻畫。在實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用中，這兩種機(jī)制可能只有一個(gè)重要，也可能同時(shí)重要，這是由具體的條件(包括來(lái)流條件、主導(dǎo)擾動(dòng)的頻率以及局部突變的位置等)決定的。本節(jié)主要介紹在兩種機(jī)制下如何修正轉(zhuǎn)捩判據(jù)N值。

在局部感受性機(jī)制下，不穩(wěn)定模態(tài)的初始幅值將發(fā)生改變。圖2展示了局部感受性機(jī)制影響轉(zhuǎn)捩的原理，其中局部突變以小尺寸凹槽為例。

圖2 局部感受性機(jī)制影響轉(zhuǎn)捩的原理與中性曲線Fig.2 Mechanism of the impact of local receptivity on transition and the neutral curve

如果壁面是光滑的，則邊界層中某一頻率下的模態(tài)擾動(dòng)將經(jīng)歷如圖2(a)中黑實(shí)線所示的先衰減后增長(zhǎng)的過(guò)程。這是因?yàn)槟B(tài)失穩(wěn)是受雷諾數(shù)R影響的，而后者隨著流向坐標(biāo)x的增大而增大。當(dāng)某一流向位置的剖面所對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)是中性的時(shí)，幅值演化曲線就會(huì)在這里經(jīng)歷由衰減到增長(zhǎng)的變化。圖2(b)給出了在給定工況下(這里馬赫數(shù)Ma=5.92，壁面為無(wú)滑移、絕熱邊界條件)反映擾動(dòng)既不增長(zhǎng)又不衰減擾動(dòng)的頻率ω與雷諾數(shù)R的關(guān)系的中性曲線。由于來(lái)流是高超聲速的，不穩(wěn)定模態(tài)出現(xiàn)了兩族，分別是第一模態(tài)與第二模態(tài)[15]。這里兩個(gè)模態(tài)合并在一起，出現(xiàn)了同步現(xiàn)象[33]。令凹槽處所對(duì)應(yīng)的雷諾數(shù)超過(guò)臨界雷諾數(shù)(本工況約為130)，其對(duì)應(yīng)的中性曲線下支界的頻率為ωc。一般，在該頻率附近的模態(tài)擾動(dòng)的局部感受性最強(qiáng)。受凹槽引起的局部感受性影響，新的模態(tài)擾動(dòng)被激發(fā)，這樣擾動(dòng)的演化規(guī)律變成圖2(a)中的紅色實(shí)線。定義局部感受性系數(shù)K為激發(fā)出的模態(tài)擾動(dòng)的漸近初始幅值A(chǔ)0與自由流中的擾動(dòng)幅值A(chǔ)f之比。轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)則要考慮由前緣感受性和局部感受性兩種機(jī)制所激發(fā)的模態(tài)擾動(dòng)的疊加。若該頻率下的擾動(dòng)是觸發(fā)轉(zhuǎn)捩的主導(dǎo)模態(tài)，且在前緣感受性機(jī)制下得到該位置處的幅值為A1，則eN法中的轉(zhuǎn)捩因子N將會(huì)減小，其改變量為

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其中A0與A1都是帶相位的復(fù)數(shù)。若凹槽相對(duì)較深，使得|A0|?|A1|，則轉(zhuǎn)捩的預(yù)測(cè)可只考慮由局部感受性機(jī)制引起的模態(tài)擾動(dòng)的演化，而此時(shí)使用NPSE方法預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩更加合適。但如果主導(dǎo)模態(tài)的頻率不在ωc附近，則局部感受性對(duì)轉(zhuǎn)捩的影響較弱。

在線性模態(tài)的局部散射機(jī)制下，不穩(wěn)定模態(tài)的增長(zhǎng)可能會(huì)被促進(jìn)或抑制，進(jìn)而影響轉(zhuǎn)捩位置。圖3給出了線性模態(tài)局部散射機(jī)制影響轉(zhuǎn)捩的原理。如圖3(b)所示，現(xiàn)在我們關(guān)注的是所有不穩(wěn)定頻率下的擾動(dòng)(如圖中紅色陰影區(qū)域)。在光滑邊界層內(nèi)，不穩(wěn)定擾動(dòng)如圖3(a)中黑色實(shí)線所示呈指數(shù)增長(zhǎng)。當(dāng)凹槽存在于壁面上時(shí)，局部快變的平均流會(huì)與上游不穩(wěn)定模態(tài)相作用，表現(xiàn)為如紅色實(shí)線所示的局部“跳躍”。在下游，擾動(dòng)的增長(zhǎng)規(guī)律再次恢復(fù)到光滑壁面的情況。如果把上下游的遠(yuǎn)場(chǎng)擾動(dòng)做漸近延拓，則可以在凹槽處看到由A1到A0的跳躍。在新的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法中，定義透射系數(shù)T=A0/A1，則轉(zhuǎn)捩因子N的變化為

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注意在線性模態(tài)的局部散射機(jī)制中，A0和A1的定義與局部感受性機(jī)制不同。當(dāng)|T|>1時(shí)，不穩(wěn)定模態(tài)被促進(jìn)，則轉(zhuǎn)捩提前，ΔN<0；反之不穩(wěn)定模態(tài)被抑制，ΔN>0。若壁面上存在一系列局部突變，則總的ΔN為所有ΔN之和。

圖3 線性模態(tài)局部散射機(jī)制影響轉(zhuǎn)捩的 原理與中性曲線Fig.3 Mechanism of the impact of linear-mode local scattering on transition and the neutral curve

新的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)模型就是在傳統(tǒng)的eN方法的基礎(chǔ)上，根據(jù)公式(1)與公式(2)確定新的轉(zhuǎn)捩判據(jù)N+ΔN。接下來(lái)的問(wèn)題就是如何定量地刻畫局部感受性系數(shù)K和局部透射系數(shù)T，這就是局部散射理論框架的任務(wù)。

1.2 局部散射理論的基本思想

局部感受性和線性模態(tài)的局部散射問(wèn)題都可由圖4的示意圖表示。本質(zhì)上，局部散射問(wèn)題就是通過(guò)來(lái)流擾動(dòng)和由局部突變引起的快變平均流的非線性作用而激發(fā)不穩(wěn)定模態(tài)的過(guò)程。這里對(duì)于局部感受性問(wèn)題，來(lái)流擾動(dòng)表現(xiàn)為自由流中的聲波、渦波或熵波；而對(duì)于線性模態(tài)的局部散射問(wèn)題，來(lái)流擾動(dòng)表現(xiàn)為上游的不穩(wěn)定模態(tài)。對(duì)于后者，激發(fā)出的模態(tài)擾動(dòng)與來(lái)流擾動(dòng)形式相同，透射系數(shù)表現(xiàn)為二者幅值的疊加與來(lái)流擾動(dòng)幅值之比。

圖4 局部散射問(wèn)題的本質(zhì)Fig.4 Intrinsic mechanism of the local scattering problem

如果來(lái)流擾動(dòng)和快變平均流的強(qiáng)度都很小，該系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)線性問(wèn)題。首先把瞬時(shí)流場(chǎng)寫成

(3)

(4)

圖5 在復(fù)kx平面內(nèi)的環(huán)路積分路徑Fig.5 Integral path in the complex kx plane

當(dāng)壁面突變(如粗糙元)的流向尺度與不穩(wěn)定模態(tài)的波長(zhǎng)相當(dāng)?shù)臅r(shí)候，局部散射問(wèn)題表現(xiàn)為一個(gè)局部的橢圓型系統(tǒng)，表現(xiàn)為在粗糙元附近的擾動(dòng)不但受上游信息影響，還受下游信息影響。因而，只關(guān)注局部剖面的O-S方程或把系統(tǒng)拋物化的PSE方法都是不適用的。雖然人們可以同樣通過(guò)實(shí)驗(yàn)或直接數(shù)值模擬對(duì)特定工況下的感受性系數(shù)K與透射系數(shù)T進(jìn)行測(cè)量，但要想系統(tǒng)地研究K與T對(duì)整個(gè)參數(shù)空間的依賴，并總結(jié)規(guī)律性結(jié)論，則需要構(gòu)建定量的理論框架。本文討論的局部散射理論框架包括大雷諾數(shù)漸近理論和有限雷諾數(shù)理論兩部分，前者能夠清晰地展示尺度之間的作用機(jī)理，而后者在定量上更加準(zhǔn)確。

1.3 黏性與無(wú)黏不穩(wěn)定機(jī)制

以最簡(jiǎn)單的二維層流邊界層為例，失穩(wěn)模態(tài)包括黏性和無(wú)黏兩類。這兩類模態(tài)擾動(dòng)受局部突變影響而產(chǎn)生的局部散射現(xiàn)象的機(jī)理是不同的，但這種不同只能通過(guò)漸近理論的分析得到。為清晰地展示兩種模態(tài)的區(qū)別，本節(jié)采用漸近理論分別介紹兩類模態(tài)的特征尺度。

黏性模態(tài)主要包括不可壓縮與亞聲速邊界層中的T-S波以及超聲速邊界層中波角的第一模態(tài)不穩(wěn)定波，其漸近尺度(不包括中性曲線上支界附近)如圖6(a)所示，其中α與β分別為不穩(wěn)定模態(tài)的流向與展向波數(shù)。

(5)

圖6 黏性與無(wú)黏模態(tài)的漸近尺度Fig.6 Asymptotic scalings of the viscous and inviscid modes

Lin[38]和Smith[39-40]通過(guò)漸近分析指出，在不可壓縮或亞聲速邊界層中，T-S波的下支界中性頻率是O(R1/4U∞/L*)的量級(jí)，而波長(zhǎng)是O(R-3/8L*)的量級(jí)，其中R=U∞L*/ν∞是以當(dāng)?shù)氐角熬壍木嚯xL*為特征長(zhǎng)度、分別以來(lái)流速度U∞和黏性系數(shù)ν∞為特征速度和黏性系數(shù)的雷諾數(shù)。這里要強(qiáng)調(diào)的是，T-S波的波長(zhǎng)比當(dāng)?shù)剡吔鐚拥暮穸萇(R-1/2L*)長(zhǎng)，這兩個(gè)尺度的差別是O(R-1/8)的量級(jí)。但是，有限雷諾數(shù)的實(shí)驗(yàn)或直接數(shù)值模擬往往給人們一個(gè)錯(cuò)誤的印象——T-S波的波長(zhǎng)和邊界層厚度相當(dāng)。因?yàn)榧词乖赗=106時(shí)，這兩個(gè)尺度的差別R-1/8也只有0.178。而只有當(dāng)尺度的估計(jì)是正確時(shí)，后面的數(shù)學(xué)分析才有意義。Lin[38]和Smith[39-40]的尺度分析告訴我們，T-S波的相速度c≡ω/α=O(R-1/8U∞)?U∞。因而，T-S波的特征函數(shù)集中在非?？拷诿娴谋觵～R-5/8L*內(nèi)。這一尺度恰好與三層結(jié)構(gòu)理論[41-43]的尺度相同，后者被應(yīng)用于描述如平板尾緣、粗糙元等對(duì)平板邊界層的修正。更巧合的是，低速流中的聲波也在壁面附近O(R-5/8L*)的區(qū)域內(nèi)激發(fā)非定常的Stokes層。因而，Ruban[34]和Goldstein[35]基于對(duì)黏性底層的分析，最早描述了T-S波被聲波與粗糙元作用而激發(fā)的物理過(guò)程。另外，在中性曲線上支界附近的T-S波不滿足圖6(a)的漸近尺度，它在法向表現(xiàn)為如Bodonyi和Smith[44]給出的五層結(jié)構(gòu)尺度。在這一分析中，邊界層內(nèi)出現(xiàn)相速度與基本流速度相同的臨界層，非平行性效應(yīng)也要被考慮進(jìn)來(lái)。但是不穩(wěn)定模態(tài)在通過(guò)中性曲線上支界后進(jìn)入線性衰減區(qū)，轉(zhuǎn)捩受其影響很小，故本文不詳細(xì)討論中性曲線上支界的穩(wěn)定性問(wèn)題。

當(dāng)來(lái)流變成超聲速時(shí)，三層結(jié)構(gòu)公式體系的上層的控制方程由橢圓型的拉普拉斯方程變成了雙曲型的亥姆霍茲方程，這樣，只有條件(5)被滿足時(shí)才能得到黏性機(jī)制下的不穩(wěn)定模態(tài)解[16]。而這種解恰好對(duì)應(yīng)于超聲速邊界層中的三維第一模態(tài)，因而，三維性較強(qiáng)(波角tan-1(β/α)較大)的超聲速第一模態(tài)擾動(dòng)也可以被稱為黏性T-S波。

在超聲速邊界層中，O-S方程存在多族不穩(wěn)定模態(tài)解，Mack[15]對(duì)該問(wèn)題的數(shù)值研究進(jìn)行了詳細(xì)的綜述。研究發(fā)現(xiàn)，大部分第一模態(tài)以及所有高階模態(tài)都屬于無(wú)黏失穩(wěn)，這是因?yàn)檫吔鐚悠拭娲嬖趶V義拐點(diǎn)，即滿足的點(diǎn)。這些無(wú)黏模態(tài)的漸近尺度如圖6(b)所示。無(wú)黏模態(tài)的頻率和波長(zhǎng)分別為O(R1/2U∞/L*)和O(R-1/2L*)的量級(jí)，故其相速度c=O(U∞)。這樣，無(wú)黏模態(tài)的特征函數(shù)出現(xiàn)在邊界層的主層，一般可以用線性歐拉方程或Rayleigh方程描述。但是，注意到無(wú)黏方程的解并不滿足無(wú)滑移邊界條件，因而必須在非?？拷诿娴腛(R-3/4L*)的區(qū)域內(nèi)引入一個(gè)Stokes層，其作用是使得主層無(wú)黏解的滑移速度在這一薄層內(nèi)迅速衰減到壁面的零值。

(6)

不管是黏性還是無(wú)黏模態(tài)，基本流非平行性的影響都是O(R-1)的量級(jí)，因而它在首階上是可以忽略的。本文在采用大雷諾數(shù)漸近理論描述局部散射理論框架時(shí)，區(qū)分不穩(wěn)定模態(tài)的黏性屬性，能清晰地展示局部散射過(guò)程的本質(zhì)。

2 黏性機(jī)制下的局部散射理論

2.1 粗糙元對(duì)亞聲速T-S波的局部散射

如1.3節(jié)所述，黏性模態(tài)在大雷諾數(shù)漸近理論框架下可由三層結(jié)構(gòu)理論描述，而由局部突變引起的平均流修正也在這一尺度范圍內(nèi)，因而，Wu和Dong[32]采用三層結(jié)構(gòu)理論，系統(tǒng)地研究了亞聲速平板邊界層中二維T-S波被局部粗糙元散射的問(wèn)題。其尺度作用如圖7(a)所示。在該工作中，粗糙元的高度被假設(shè)為O(R-5/8L*)的量級(jí)，由其引起的平均流修正在底層滿足非線性邊界層方程。雖然底層(Lower deck)的控制方程是拋物型的，但是由于壓力梯度也是解的一部分，該方程組不封閉。對(duì)該系統(tǒng)的求解需要疊加上層(Upper deck)的信息，即自激發(fā)的壓力梯度與邊界層的排移效應(yīng)之間的線性關(guān)系。后者可化成一個(gè)橢圓型的希爾伯特積分，因而整個(gè)系統(tǒng)表現(xiàn)為下游影響上游的橢圓型特性。

圖7 三層結(jié)構(gòu)尺度(a)與T-S波的局部散射(b)示意圖Fig. 7 Sketches of triple-deck structure (a) and local scattering of the T-S wave (b)

(7)

圖8 脈動(dòng)場(chǎng)的速度特征函數(shù)實(shí)部的等值線[32] (其中實(shí)線表示正值，虛線表示負(fù)值)Fig.8 Contours of the real part of the velocity eigenfunction of the perturbation field, where the solid and dashed lines represent positive and negative values (from Ref.[32])

采用三層結(jié)構(gòu)理論的另一個(gè)好處是，系統(tǒng)參數(shù)的個(gè)數(shù)大大減少了。本質(zhì)上，透射系數(shù)T受來(lái)流馬赫數(shù)、雷諾數(shù)、壁面溫度、來(lái)流溫度(影響Sutherland黏性律)、上游T-S波頻率和粗糙元形狀的影響，在大雷諾數(shù)三層結(jié)構(gòu)體系下，T只受T-S波的頻率和粗糙元形狀的影響。通過(guò)系統(tǒng)的參數(shù)研究，發(fā)現(xiàn)凸起和凹陷都會(huì)促進(jìn)T-S波的增長(zhǎng)，但凸起的效果更明顯；隨著T-S波頻率和粗糙元高度的增加，散射效應(yīng)增強(qiáng)；當(dāng)粗糙元的寬度與T-S波的波長(zhǎng)相當(dāng)時(shí)，散射效應(yīng)出現(xiàn)峰值。該理論框架也被應(yīng)用于由抽吸、臺(tái)階引起的局部散射問(wèn)題[45-46]。

2.2 粗糙元與聲波作用而激發(fā)T-S波的局部感受性

Ruban[34]和Goldstein[35]最早采用三層結(jié)構(gòu)理論，描述了亞聲速和不可壓縮邊界層中T-S波的局部感受性。聲波在底層激發(fā)了黏性非定常Stokes層，其流向、法向速度和壓力在首階上可表示為

(US,VS,PS)～(1-e-(-iω)1/2Y,0,1)e-iωt+c.c.

(8)

由于粗糙元上下游擾動(dòng)的形式不同，整個(gè)系統(tǒng)可以化成一個(gè)線性代數(shù)方程組

(9)

圖9 T-S波的局部感受性機(jī)制示意圖[45](略作改動(dòng))Fig.9 Sketch of the local receptivity regime (From Ref.[45] with small modification)

圖10 感受性系數(shù)對(duì)粗糙元寬度的依賴Fig.10 Dependence of receptivity coefficient on the roughness width

2.3 壁面抽吸補(bǔ)償臺(tái)階對(duì)T-S波的促進(jìn)作用

本節(jié)應(yīng)用局部散射理論討論一個(gè)有趣的設(shè)計(jì)。在航空工程中，常會(huì)遇到兩塊材料拼接的情況，而拼接處難免出現(xiàn)縫隙與臺(tái)階。在實(shí)際操作中，常用填充物把縫隙堵上，但這會(huì)給維護(hù)工作增加困難，并且當(dāng)填充物在連續(xù)荷載作用下發(fā)生變形時(shí)，轉(zhuǎn)捩也會(huì)受到影響。Zahn和Rist[48]通過(guò)DNS發(fā)現(xiàn)，雖然縫隙本身會(huì)促進(jìn)T-S波的增長(zhǎng)，但當(dāng)它被安置在前臺(tái)階之前或后臺(tái)階之后時(shí)，它有可能抑制臺(tái)階對(duì)T-S波的促進(jìn)作用。而如果在縫隙處引入抽吸，補(bǔ)償效果就更明顯了，甚至有些時(shí)候T-S波會(huì)被縫隙與臺(tái)階的組合所抑制。更重要的是，由于在前臺(tái)階前緣和后臺(tái)階后緣有自激發(fā)的壓力梯度，這樣，在縫隙內(nèi)不需要引入額外的能量就可以使部分流體在壓力梯度下產(chǎn)生自然的抽吸效果[49]。這在實(shí)際操作中更容易實(shí)現(xiàn)。

本節(jié)所考慮的物理問(wèn)題如圖11所示，考慮一個(gè)帶臺(tái)階的平板放在一個(gè)亞聲速來(lái)流中。圖11(a)展示的是一個(gè)前臺(tái)階，在其前緣安置一個(gè)抽吸元；圖11(b)展示的是在后緣安置抽吸元的后臺(tái)階。假設(shè)臺(tái)階處在T-S波的不穩(wěn)定區(qū)域，則上游傳播過(guò)來(lái)的T-S波可以與臺(tái)階發(fā)生局部散射作用。考慮臺(tái)階的高度遠(yuǎn)低于邊界層厚度，為O(R-5/8L*)的量級(jí)，則它們之間的作用仍然可以被大雷諾數(shù)三層結(jié)構(gòu)描述，具體過(guò)程與2.1節(jié)中的介紹完全相同。

(a) 在前緣安置抽吸元的前臺(tái)階

(b) 在后緣安置抽吸元的后臺(tái)階圖11 用抽吸補(bǔ)償臺(tái)階對(duì)T-S波的促進(jìn)作用Fig. 11 Compensation of the enhancement effect of steps on T-S waves by suction

計(jì)算發(fā)現(xiàn)，若抽吸的流量為0，則前、后臺(tái)階都會(huì)對(duì)T-S波有促進(jìn)作用(T>1)，而且相同尺寸的后臺(tái)階對(duì)T-S波的促進(jìn)作用更強(qiáng)。透射系數(shù)隨著來(lái)流頻率與臺(tái)階高度的增加而增加[46]。而如果從壁面引入體積流量為O(R-3/4L*U∞)的抽吸時(shí)，臺(tái)階對(duì)T-S波的促進(jìn)作用則可被補(bǔ)償，甚至得到較好的抑制轉(zhuǎn)捩的效果。

為驗(yàn)證漸近理論的定量結(jié)果的精度，我們還發(fā)展了有限雷諾數(shù)版本的局部散射理論。這一方法與文獻(xiàn)[50-53]中的線性化N-S方法相同，其原理是把隨時(shí)間簡(jiǎn)諧振動(dòng)的脈動(dòng)場(chǎng)帶入N-S方程并做線性化，這樣，在給定入口條件下，該系統(tǒng)化成一個(gè)高維線性代數(shù)方程組。這被稱為Harmonic Linearized Navier-Stokes(HLNS)方法。通過(guò)兩個(gè)方法計(jì)算結(jié)果的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)漸近理論在抽吸流量較小時(shí)與HLNS的結(jié)果吻合較好，但隨著抽吸流量的增大，二者存在一定差別。這是可以理解的，因?yàn)闈u近理論只考慮首階近似。但在漸近理論下，不同馬赫數(shù)、雷諾數(shù)的計(jì)算結(jié)果可通過(guò)合適的歸一化而合并到一起，這對(duì)理解局部散射問(wèn)題的本質(zhì)有重要意義。該工作尚未發(fā)表，正在審稿中。

3 無(wú)黏機(jī)制下的局部散射理論

3.1 超聲速無(wú)黏模態(tài)的局部感受性

本節(jié)討論的問(wèn)題是超聲速邊界層中的無(wú)黏Mack模態(tài)被自由流中聲波和壁面粗糙元作用而激發(fā)的問(wèn)題，如圖12所示。

圖12 無(wú)黏模態(tài)局部感受性的示意圖[54]Fig.12 Sketch of local receptivity of invisid modes[54]

圖14展示的是來(lái)流馬赫數(shù)為5.92的絕熱壁平板邊界層中局部感受性系數(shù)隨雷諾數(shù)的變化規(guī)律。通過(guò)對(duì)該基本流的穩(wěn)定性分析，可得到表征模態(tài)既不增長(zhǎng)也不衰減的中性曲線，如圖2(b)或圖3(b)所示。計(jì)算中，選擇了三個(gè)典型頻率，分別為ω=0.108、0.110和0.120。這三個(gè)頻率都對(duì)應(yīng)于第二模態(tài)不穩(wěn)定波，且ω=0.108接近第一模態(tài)與第二模態(tài)的同步點(diǎn)。圖14(a)中的符號(hào)表示DNS結(jié)果，實(shí)線表示基于留數(shù)定理的有限雷諾數(shù)理論的計(jì)算結(jié)果。因?yàn)樵龃罄字Z數(shù)后DNS的計(jì)算量太大，所以這里DNS計(jì)算的最大雷諾數(shù)為15 600。對(duì)于所計(jì)算的雷諾數(shù)范圍，DNS結(jié)果與有限雷諾數(shù)理論幾乎重合。而當(dāng)雷諾數(shù)繼續(xù)增大時(shí)，有限雷諾數(shù)理論的計(jì)算結(jié)果趨近于大雷諾數(shù)漸近理論的結(jié)果(虛線所示)。這說(shuō)明了本節(jié)發(fā)展的兩套理論都是可靠的。但是，我們還發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)中等的雷諾數(shù)，漸近理論的預(yù)測(cè)精度顯然不夠。其原因主要是來(lái)自Rayleigh算子和O-S算子的差別。考慮到Rayleigh方程的最大簡(jiǎn)化是忽略了底層對(duì)主層的影響，我們引入一個(gè)修正方法，即把無(wú)穿透的壁面邊界條件改為考慮Stokes層貢獻(xiàn)的邊界條件，具體形式見(jiàn)文獻(xiàn)[54]。這樣，可以計(jì)算出修正漸近理論的結(jié)果，如圖14(b)中的虛線所示。與有限雷諾數(shù)結(jié)果(實(shí)線)對(duì)比，漸近理論的精度大大提高了，其結(jié)果可以精確到雷諾數(shù)是幾千的情況。

圖13 無(wú)黏模態(tài)局部感受性的機(jī)理[54]Fig.13 Mechanism of local receptivity of invisid modes[54]

(a) 未修正

(b) 修正后圖14 感受性系數(shù)隨雷諾數(shù)的變化(選自文獻(xiàn)[54])Fig.14 Dependence of receptivity coefficient on Reynolds number (from Ref.[54])

漸近理論給我們的另一個(gè)啟示是，對(duì)于粗糙元+聲波引起的局部感受性問(wèn)題，在首階上，激發(fā)的擾動(dòng)場(chǎng)由Rayleigh方程加上非定常壁面吹吸的邊界條件控制。這很容易讓人聯(lián)想到一個(gè)更加基本的感受性問(wèn)題，即模態(tài)擾動(dòng)被非定常壁面吹吸所激發(fā)。后者不需要在自由流中引入任何擾動(dòng)；且在小幅值吹吸下，平均流修正為0。盡管兩個(gè)感受性問(wèn)題的物理本質(zhì)不同，但在數(shù)學(xué)描述上完全一樣，這一比擬有助于對(duì)局部感受性問(wèn)題本質(zhì)的理解。

3.2 超聲速無(wú)黏模態(tài)的線性局部散射

為了描述有限高度(h～δ)的粗糙元對(duì)無(wú)黏模態(tài)的散射作用，本節(jié)采用另一套有限雷諾數(shù)理論——HLNS[53]。該理論與2.3節(jié)中介紹的有限雷諾數(shù)理論相同。研究的物理問(wèn)題與圖7相同，只是在高超聲速邊界層中，二維不穩(wěn)定模態(tài)是無(wú)黏Mack模態(tài)，而不是黏性T-S波。

選取的計(jì)算工況仍然是馬赫數(shù)為5.92的絕熱平板邊界層，其中性曲線與圖2(b)或圖3(b)相同。首先通過(guò)直接數(shù)值模擬，求得被有限高度的凸起及凹陷修正的平均流，圖15展示了平均壓力云圖及流線。在粗糙元處的邊界層名義厚度為2.36 mm。可以看到在凸起的尾端和凹陷的內(nèi)部存在回流區(qū)。

(a) 凸起情況

(b) 凹陷情況圖15 被有限高度凸起及凹陷修正的平均流[53]Fig.15 Mean flow distorted by a finite-height hump and indentation[53]

Duan等[55]和Fong等[56-57]通過(guò)直接數(shù)值模擬，研究了來(lái)流馬赫數(shù)為5.92的邊界層中Mack模態(tài)被粗糙元局部散射的問(wèn)題。他們發(fā)現(xiàn)，粗糙元對(duì)頻率高于同步頻率的Mack模態(tài)有抑制作用，而對(duì)頻率低于同步頻率的模態(tài)有促進(jìn)作用。但直接數(shù)值模擬只能針對(duì)個(gè)別工況做定量研究，無(wú)法在整個(gè)參數(shù)空間內(nèi)總結(jié)規(guī)律性結(jié)論，而這一任務(wù)可以被HLNS[53]完成。

圖16展示了透射系數(shù)隨來(lái)流Mack模態(tài)頻率的變化。圖中展示了五個(gè)工況(Case 1.1～Case 1.5)，分別表示五個(gè)不同高度的凸起型粗糙元(h/δ99=0.05、0.10、0.15、0.20和0.25，其中δ99為邊界層名義厚度)，它們的寬度都是2δ99。對(duì)于本節(jié)所研究的基本流，有量綱的同步頻率約為128 kHz。在圖中，同步頻率相當(dāng)于一條區(qū)分促進(jìn)與抑制作用的分界線，粗糙元只對(duì)頻率高于同步頻率的Mack模態(tài)有抑制作用。而且，可以明顯看出，粗糙元越高，散射效應(yīng)越強(qiáng)。另外，局部凹陷對(duì)Mack模態(tài)的散射作用與凸起相同，只是相同高度的凹陷的散射作用更弱。

圖16 透射系數(shù)隨頻率的變化[53]Fig.16 Dependence of transmission coefficient on frequency[53]

值得說(shuō)明的是，以上有限雷諾數(shù)理論仍然無(wú)法解釋為什么同步頻率表現(xiàn)為區(qū)分粗糙元促進(jìn)與抑制作用的分界線，而這需要采用漸近理論做進(jìn)一步分析。只是該工作尚未完成，故本文暫不做綜述。

4 結(jié)束語(yǔ)

為適應(yīng)工程上對(duì)非光滑壁面飛行器轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)的需求，需要發(fā)展考慮局部突變影響的邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法。本文建議了一個(gè)新的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)模型，即在傳統(tǒng)的eN方法基礎(chǔ)上，依據(jù)公式(1)和公式(2)修正轉(zhuǎn)捩判據(jù)。這里最重要的環(huán)節(jié)就是如何量化局部突變對(duì)轉(zhuǎn)捩的影響，即計(jì)算局部感受性系數(shù)與透射系數(shù)。本文綜述了定量刻畫以上兩個(gè)系數(shù)的局部散射理論在近年來(lái)的研究進(jìn)展。

對(duì)于二維層流邊界層，不穩(wěn)定波包括黏性T-S模態(tài)和無(wú)黏Mack模態(tài)兩類，它們的漸近尺度以及與局部突變的作用機(jī)制是不同的。局部散射理論框架把大雷諾數(shù)漸近理論與有限雷諾數(shù)理論相結(jié)合，得到了物理機(jī)制清晰、定量上準(zhǔn)確的刻畫兩個(gè)特征參數(shù)的方法。本文展示了局部散射理論在一系列具體物理問(wèn)題中的應(yīng)用。

作為一套通用的理論框架，局部散射理論保留了局部散射系統(tǒng)的橢圓性，從數(shù)學(xué)上來(lái)講是嚴(yán)格的。另一方面，通過(guò)理性的簡(jiǎn)化處理，該理論使系統(tǒng)地研究描述局部散射系統(tǒng)的特征參數(shù)對(duì)全參數(shù)空間的依賴關(guān)系成為可能。更重要的是，該理論所描述的特征參數(shù)可與傳統(tǒng)轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法無(wú)縫對(duì)接，以獲得適用于非光滑壁面的邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)的方法。

關(guān)于局部散射理論的后續(xù)研究工作包括兩方面。首先，在更豐富的壁面突變情況下描述局部感受性系數(shù)與透射系數(shù)，比如折角、多孔壁、波紋壁等，特別是在高超聲速邊界層中的應(yīng)用。值得說(shuō)明的是，本文介紹的局部散射理論可以推廣到如波紋壁等的分布式突變的情況。在求解感受性(透射)系數(shù)時(shí)，需要用格林函數(shù)法把局部感受性(透射)系數(shù)沿流向積分，這里要注意的是流向的非平行性要考慮進(jìn)來(lái)，如Choudhari[58]。另一方面，需要把發(fā)展的考慮局部突變影響的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法應(yīng)用于求解航空航天工程的實(shí)際問(wèn)題中，用實(shí)驗(yàn)或直接數(shù)值模擬數(shù)據(jù)驗(yàn)證新的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)模型。

致謝:本文圖6為劉銀輝博士生制作，在此表示感謝。