四個途徑，讓數(shù)學(xué)思維更有深度

王冬暉

摘 ?要：小學(xué)數(shù)學(xué)是訓(xùn)練學(xué)生思維的重要平臺。在教學(xué)實(shí)踐中，要注重發(fā)掘?qū)W生的思維深度，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維向深層次推進(jìn)。實(shí)踐表明，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過問題驅(qū)動、多元表征、智慧導(dǎo)讀、思維導(dǎo)圖四個途徑可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維走向深入。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維;問題驅(qū)動;多元表征;智慧導(dǎo)讀;思維導(dǎo)圖

小學(xué)數(shù)學(xué)是訓(xùn)練學(xué)生思維的重要平臺，這就要求教師除了幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識和基本技能外，還要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在教學(xué)實(shí)踐中，要注重發(fā)掘?qū)W生思維的深度，完善學(xué)生思維品質(zhì)。但是，筆者聽課過程中發(fā)現(xiàn)，很多教師在課堂上對于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練依然停留在表面，不利于學(xué)生思維深度的提升，也影響知識的理解與學(xué)習(xí)的遷移。調(diào)研表明，數(shù)學(xué)教師都認(rèn)同學(xué)生思維深度發(fā)展的重要性，但缺乏引導(dǎo)的方法與策略，以致教學(xué)陷入平庸。因此，積極探尋讓學(xué)生思維走向深度的途徑，是突破教學(xué)瓶頸的關(guān)鍵性舉措。

筆者通過已有經(jīng)驗(yàn)的分析與新近實(shí)踐的探索，篩選出以下四條促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的有效途徑。

一、問題驅(qū)動——促數(shù)學(xué)思維深刻

從學(xué)科特點(diǎn)來看，問題是數(shù)學(xué)的心臟。從認(rèn)知心理來講，建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)，讓學(xué)生在真實(shí)的教學(xué)情境中帶著問題學(xué)習(xí)，以探索問題的解決方法來驅(qū)動和維持學(xué)習(xí)的興趣和動機(jī)。實(shí)踐同樣表明，以問題驅(qū)動的形式讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐步走向數(shù)學(xué)知識的深入理解與建構(gòu)，是對數(shù)學(xué)知識內(nèi)部意義的追尋與理解。學(xué)生在探索解決問題的過程中，通過觀察、操作、發(fā)現(xiàn)、交流、比較、反思等步驟，使數(shù)學(xué)知識的理解更加深入，數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)思維也能獲得相應(yīng)提高。

例如，人教版“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”一課，首先通過激發(fā)認(rèn)識沖突：2人平分4個、2個、1個月餅，讓學(xué)生體會引進(jìn)“新”數(shù)的必要性，由此引出核心問題：

（1）怎樣分才是“一半”？“一半”怎樣表示？

然后，在引導(dǎo)學(xué)生語言規(guī)范表達(dá)基礎(chǔ)上進(jìn)一步提問：

（2）能不能像這樣說一說，怎樣得到一個西瓜的？一個長方形的呢？

（3）你能表示出下面圖形（圖形略）的嗎？（師生交流）

（4）通過折一折、涂一涂，都得到了這個圖形的，這些有什么相同點(diǎn)？又有什么不同？

（5）除了，你還能創(chuàng)造出其他的分?jǐn)?shù)嗎？

（6）你們創(chuàng)造出來的分?jǐn)?shù)有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

可見，問題是激發(fā)和引領(lǐng)課堂教學(xué)的重要推手，是撬動學(xué)生思維的杠桿，是師生之間進(jìn)行知識和情感傳遞的重要載體。課上，教師相機(jī)找準(zhǔn)切入點(diǎn)提出問題，把學(xué)生的思維一步步引向深入。學(xué)生在問題的驅(qū)動下，通過獨(dú)立思考、動手操作、小組合作與交流，有了這樣的收獲：雖然圖形的形狀、大小不同，分法也不同，但都是把圖形平均分成2份，涂了其中的一份，就是它的，這是基于直觀的抽象概括。學(xué)生在“問題串”的驅(qū)動下，不僅親身經(jīng)歷了新知識的發(fā)生過程，讓思維觸及概念本質(zhì)，而且培養(yǎng)了學(xué)生分析、解決問題的能力和創(chuàng)新意識。

二、多元表征——促數(shù)學(xué)思維靈活

數(shù)學(xué)多元表征是學(xué)生對數(shù)學(xué)理解的語言化、視覺化等不同形式的表達(dá)，它是思維多樣化的記載方式，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常用的方法。數(shù)學(xué)的多元表征不僅能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識內(nèi)涵的深刻理解，還可以促進(jìn)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累以及良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立。

在“口算除法”的新知學(xué)習(xí)中：

教師通過“60÷3=20”，引導(dǎo)學(xué)生思考算理，說明：為什么等于20？讓學(xué)生自主選擇喜歡的方式或借助老師提供的學(xué)具來驗(yàn)證60÷3的結(jié)果。

學(xué)生上臺分享想法：

生1：一捆小棒有10根，把6捆小棒平均分成3份，每份是2捆，就是2個十。

生2：先在十位上撥6顆珠子，表示6個十，平均分成3份，每份就有2顆珠子，就是20。

生3：我用6根小棒，每根小棒代表10，把它們平均分成3份，每份就是20。

生4：我用畫圖的方法。一個圓圈表示10，6個圓圈就有60，平均分成3份，每份就是20。

這些多樣化的表征，前三種選用的學(xué)具不同，抽象度略有差異，但和圖示表征異曲同工，都清楚地表達(dá)了算式的含義。

進(jìn)一步，為引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)概念抽象地表達(dá)算理，教師接著追問：為什么選擇的學(xué)具不同，可是結(jié)果卻相同？學(xué)生思考后得出：60就是6個十，除以3表示平均分成3份，結(jié)果是每份2個十，也就是20。

小學(xué)生的思維特點(diǎn)以具體形象思維為主，尤其是低年級的學(xué)生，他們需要在活動中感悟知識的生成。操作感知是他們認(rèn)識數(shù)學(xué)的重要方式。教師提供多樣的學(xué)具，為學(xué)生自由選擇，出現(xiàn)個性化表征提供了必要的條件。學(xué)生在表征過程中自發(fā)地溝通了算理和算法，進(jìn)而自然而然地用數(shù)學(xué)語言說出了“口算除法”背后的“深層算理”，形成了計(jì)算的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為理解數(shù)學(xué)本質(zhì)打下了基礎(chǔ)。

三、智慧導(dǎo)讀——促數(shù)學(xué)思維創(chuàng)新

數(shù)學(xué)閱讀在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有積極的意義和作用，能有效提升課堂教學(xué)的質(zhì)量和學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。數(shù)學(xué)的閱讀對象決定了它是一種語言理解與數(shù)學(xué)理解交織的復(fù)雜思維過程。在布置數(shù)學(xué)材料閱讀時，教師有必要根據(jù)材料和學(xué)生的知識水平設(shè)計(jì)具有連續(xù)性或挑戰(zhàn)性的問題，引起學(xué)生的注意，突出理解重點(diǎn)。學(xué)生帶著問題閱讀，不僅能提高針對性，導(dǎo)引邊看邊想，活躍思維，而且閱讀時積極主動投入，閱讀效率更高。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)五年級上冊“位置”時，設(shè)置了以下導(dǎo)讀提綱：

問題一：教室里確定一個同學(xué)的位置，需要幾個數(shù)據(jù)？

問題二：你想用怎樣的符號來表示位置？

問題三：你能嘗試寫出你好朋友的位置嗎？

問題四：對照課本，你的方法與書本有什么不同？哪一種更合理些？

以上問題設(shè)置彰顯“四導(dǎo)”：

（1）導(dǎo)向——引導(dǎo)有目的的閱讀。問題一引導(dǎo)學(xué)生思考，帶著解決問題的目的進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀。

（2）導(dǎo)行——引導(dǎo)閱讀后的學(xué)生行為。問題二指向?qū)W生行為，提示學(xué)生在閱讀中動手、實(shí)踐、操作、探究等多種學(xué)習(xí)方式。

（3）導(dǎo)用——引導(dǎo)閱讀后進(jìn)行應(yīng)用。問題三激發(fā)學(xué)生應(yīng)用，鼓勵學(xué)生及時將閱讀收獲進(jìn)行初步應(yīng)用。

（4）導(dǎo)創(chuàng)——引導(dǎo)閱讀后進(jìn)行創(chuàng)新。問題四引發(fā)學(xué)生創(chuàng)造，讓數(shù)學(xué)智慧在不同的學(xué)生閱讀體驗(yàn)中創(chuàng)造。

這些符合學(xué)情的導(dǎo)讀問題，使學(xué)生的閱讀有的放矢，不僅有助于實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，在閱讀中獲取知識、深化認(rèn)識、掌握方法、把握實(shí)質(zhì)，而且也有利于提高閱讀的層次和思維的創(chuàng)新，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)自主閱讀能力。

四、思維導(dǎo)圖——促數(shù)學(xué)思維開闊

思維導(dǎo)圖是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常用的手段，通常是從一個主要的中心概念開始，隨著個人思維的延伸使用曲線、符號、圖片、關(guān)鍵詞和顏色等向周圍發(fā)散為多個樹狀的結(jié)構(gòu)，是一種培養(yǎng)思維的重要工具。數(shù)學(xué)活動中應(yīng)用思維導(dǎo)圖可以幫助學(xué)生將相關(guān)的數(shù)學(xué)知識及其聯(lián)系用圖畫出來，學(xué)生根據(jù)個人繪制的思維導(dǎo)圖能較快地理清知識的脈絡(luò)，使知識系統(tǒng)化、思維可視化，從而促進(jìn)知識的融會貫通，發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性。

例如，在教學(xué)“比的應(yīng)用”的練習(xí)課時，教師出示并提問：“看到你們想到什么知識？”學(xué)生從分率、除法、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)、比等知識展開聯(lián)想，并畫出思維導(dǎo)圖（如圖2）。與此同時，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所畫的思維導(dǎo)圖交流分享各自的想法，并進(jìn)行舉例說明。如：“代表雞的只數(shù)是鴨的只數(shù)的”“鴨的只數(shù)是雞的只數(shù)的4倍”“雞和鴨的只數(shù)的比是1∶4”“雞的只數(shù)是總數(shù)的”“鴨的只數(shù)是總數(shù)的”……學(xué)生結(jié)合思維導(dǎo)圖，將數(shù)學(xué)知識舉一反三，應(yīng)用拓展，有理有據(jù)。在這個過程中，學(xué)生的思維被激活，多角度思路被打開，知識被重新建構(gòu)聯(lián)系，表達(dá)能力和思維的廣闊性得以培養(yǎng)和提升。

總之，數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)歸根結(jié)底是數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練活動。教師只有積極地把學(xué)生的數(shù)學(xué)思維引向深入，加強(qiáng)學(xué)生思維深度的教學(xué)，才能提升學(xué)生的探究能力，促進(jìn)學(xué)生的思考和探究，真正實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目標(biāo)。