遵循波利亞“解題表”，深挖題目?jī)?nèi)在價(jià)值

麥少鳳

[摘 ?要] 教師如果認(rèn)為“題目簡(jiǎn)單”而不太重視課本習(xí)題，則易陷入“為做題而做題”的誤區(qū). 課本中會(huì)有一些“小題目”，教師借助波利亞的“怎樣解題表”，可以幫助學(xué)生更快更有效地找到解決問(wèn)題的切入點(diǎn)和難點(diǎn)的突破點(diǎn)，還可以讓自己更深入地挖掘題目本身的內(nèi)在價(jià)值，讓“小題目”產(chǎn)生“大發(fā)現(xiàn)”的美妙變化，有利于師生的解題思維提升.

[關(guān)鍵詞] 波利亞“解題表”;內(nèi)在價(jià)值;通性通法

問(wèn)題緣起：一道課本習(xí)題

案例 ?如圖1，在正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，MN⊥MA，CN平分∠DCE，E為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn). 求證：MA=MN.

上述案例是人教版教材八下的一道課本習(xí)題，這是很經(jīng)典的一道習(xí)題，很多地方的中考題或期末考試題都喜歡以這道題為母版進(jìn)行改編，而且經(jīng)久不衰. 由此可見(jiàn)，這道題蘊(yùn)含著豐富的內(nèi)在價(jià)值，值得我們對(duì)它進(jìn)行深度探究. 下文，我們將遵循波利亞“解題表”的四部曲，深挖該題的內(nèi)在價(jià)值，并以此為契機(jī)，引導(dǎo)讀者觸類旁通、舉一反三.

眾所周知，學(xué)生解題時(shí)遇到的最大困難是，即使他們已掌握了扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)（數(shù)學(xué)的基本概念、公式、定理、方法）和基本技能，也可以運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q一些問(wèn)題，但面對(duì)陌生的問(wèn)題時(shí)，他們卻不知如何下手，宛如“老虎吃天，無(wú)從下口”. 近年來(lái)，廣州的中考題每年都會(huì)呈現(xiàn)好幾道這樣“宛如天降”的壓軸題，讓廣大考生束手無(wú)策，根本不知從何下手. 廣州中考數(shù)據(jù)顯示，分?jǐn)?shù)段在130-150的考生占比：2017年為5.52%，2018年為2.13%. 因此，對(duì)于廣大廣州考生來(lái)說(shuō)，中考數(shù)學(xué)拿高分是相當(dāng)困難的事情. 造成壓軸題難以成功突破的原因雖然有很多，但最重要的可能是以下兩方面：一是缺少解題的基本思想方法，二是缺少指導(dǎo)自己理解題意的基本方法. 而波利亞的“解題表”，雖然沒(méi)有為我們提供一個(gè)萬(wàn)能的解題方法，但卻可以引導(dǎo)我們更好地理解題意，更容易找到解題的思路，同時(shí)也可以引導(dǎo)我們更進(jìn)一步地思考題目的內(nèi)在意義，達(dá)到解一題，懂一類，甚至觸類旁通的效果.

波利亞的“怎樣解題表”是針對(duì)“怎樣解題”“怎樣學(xué)會(huì)解題”等問(wèn)題，教師把“解題中典型、有用的智力活動(dòng)”，按照學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)思維的自然過(guò)程分為四個(gè)階段，即弄清問(wèn)題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧，描繪出解題理論的一個(gè)總體輪廓，也組成了一個(gè)完整的解題系統(tǒng).

解題策略

（一）弄清問(wèn)題

（1）你要求證什么？

題目要求證的是MA=MN.

（2）你有哪些條件？包括外顯條件、內(nèi)含條件或隱含條件？

一方面是題目給出的正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，MN⊥MA，CN平分∠DCE，另一方面是由這些已知條件可以直接推出的BM=CM，∠BAM=∠EMN，∠MCN=135°.

（二）擬定計(jì)劃

1. 題目類型識(shí)別

當(dāng)我們著手解答一道習(xí)題的時(shí)候，第一件事就是要識(shí)別題目類型，這個(gè)過(guò)程也叫模式識(shí)別. 倘若識(shí)別了習(xí)題的類型，在多數(shù)情況下，我們就能得到解題的思路，因?yàn)橛泻芏囝愋偷牧?xí)題都會(huì)有它們對(duì)應(yīng)的解題法則或解題方法.

例如，若要證明線段相等，最常規(guī)的思路是通過(guò)證明這兩條邊所在的三角形全等;如果這兩條線段在同一個(gè)三角形，則可以借助等角對(duì)等邊證明兩腰相等;如果在直角三角形背景下，還可以借助三角函數(shù)，也可以通過(guò)勾股定理證明這兩條線段的長(zhǎng)度相等. 這是證明線段相等的一般思路，當(dāng)然，最常規(guī)、最基礎(chǔ)、最具一般性的方法，肯定是證明三角形全等了.

2. 輔助問(wèn)題與形成計(jì)劃

有很多習(xí)題，盡管能夠識(shí)別出對(duì)應(yīng)的類型，但通常不能直接套用在待解決的問(wèn)題中，又或者是問(wèn)題本身的類型并不容易被識(shí)別或根本是自身不熟悉或費(fèi)解的，此時(shí)就需要設(shè)置“橋梁”，以完成從未知到已知的轉(zhuǎn)化，而這些所謂的“橋梁”就是指輔助問(wèn)題了.

從題目圖形可知，AM所在的三角形是Rt△ABM，而MN所在的三角形是鈍角△MCN，這兩個(gè)三角形不可能全等.

輔助問(wèn)題 ?那還能否通過(guò)證全等的方法證明結(jié)論？可以，但必須添加輔助線. 那應(yīng)該怎樣添加？要么利用MN構(gòu)造一個(gè)直角三角形與Rt△ABM全等，要么利用AM構(gòu)造一個(gè)含135°的鈍角三角形與△MCN全等. 然而，方案一中的構(gòu)造Rt△MFN，卻不夠條件證明Rt△MFN與 Rt△ABM全等（如圖2）.

形成計(jì)劃 ?改用方案二，在Rt△ABM的AB邊上通過(guò)截取BG=BM構(gòu)造△AGM，再證明△AGM與△MCN全等（如圖3）. 而該方案的難點(diǎn)是怎樣才能想到在AB邊上通過(guò)截取BG=BM構(gòu)造△AGM與△MCN全等，思考的依據(jù)是：由條件可知，∠BAM=∠EMN，∠MCN=135°，因此構(gòu)造的新三角形必須含有135°角，而135°角會(huì)讓人聯(lián)想到45°角，而45°角就不難讓人聯(lián)想到等腰直角三角形，難點(diǎn)可由此進(jìn)行突破.

（三）實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

證法1：如圖3，在AB上截取BG=BM，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，

所以BM=CM=BG=AG，∠BGM=BMG=45°.

又CN平分∠DCE，

所以∠NCE=45°，∠AGM=∠MCN=135°.

又MN⊥MA，

所以∠BAM+∠AMB=90°，∠CMN+∠AMB=90°，

所以∠BAM=∠CMN，

所以△AGM？艿△MCN（ASA），

所以MA=MN.

（四）回顧

1. 檢驗(yàn)與拓展

正面檢驗(yàn)每一步的推理是否有效，計(jì)算是否準(zhǔn)確，確認(rèn)無(wú)誤后，再思考除了上述方法外，還能否用別的方法證明這個(gè)結(jié)論？站在中考復(fù)習(xí)的維度上，要證明線段相等，在具備某些特定條件的前提下，本案例還可以借助三角函數(shù)或構(gòu)建坐標(biāo)系求解.

證法2：借助三角函數(shù)證明MA=MN. （初三適用）

如圖2，由于∠BAM=∠EMN，所以tan∠BAM=tan∠EMN，設(shè)NF=x，AB=2a（或AB=2也行），由 = = ，解得x=a，從而可證MA=MN.

證法3：通過(guò)構(gòu)建直角坐標(biāo)系，求出N點(diǎn)坐標(biāo).

如圖4，構(gòu)建直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2，N點(diǎn)坐標(biāo)為（1+a，a），先求出線段AM的解析式，再由MN⊥MA，k ·k =-1，求出線段MN的解析式，將N點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求出a的值，從而求出AM與MN的長(zhǎng)度，進(jìn)而得證.

2. 推廣與變式

“推廣”指將題目及其解法的本質(zhì)推廣到類似的情境中;“變式”指保持題目或解法中的一些成分不變，改變某個(gè)或某些成分，產(chǎn)生不同類型的變式題.

變式：本案例中的M點(diǎn)是線段BC的中點(diǎn)，具有特殊性，倘若改變M點(diǎn)的位置，令點(diǎn)M為直線BC上任意一點(diǎn)，則題目的結(jié)論還會(huì)成立嗎？

分類討論：①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上（對(duì)應(yīng)圖5）;②當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線上（對(duì)應(yīng)圖6）;③當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的反向延長(zhǎng)線上（對(duì)應(yīng)圖7）. 經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，改變點(diǎn)M的位置，變成上述三種情況時(shí)，題目的結(jié)論仍然成立，證明的思路與上文的證法1相同，但用證法2和證法3卻不可行. 由此可見(jiàn)，證法1才是通性通法，具有一般性，而證法2和證法3具有特殊性，在題目具備特殊條件時(shí)可行.

我們是否會(huì)得到更一般性的結(jié)論呢？

思考1：把題目中的“正方形ABCD”改為“等邊△ABC”，把“M是BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)M為直線BC上異于B，C的任意一點(diǎn)”，點(diǎn)N是∠ACE的角平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠AMN=60°時(shí)，結(jié)論AM=MN是否還成立？

結(jié)論1：結(jié)論成立. 如圖7、圖8、圖9所示，證明思路與上述變式相同.

思考2：如果把原題目中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCDE…”，當(dāng)∠AMN= 時(shí)，結(jié)論AM=MN是否還成立？

結(jié)論2：結(jié)論仍然成立，只是要借助高中會(huì)學(xué)到的數(shù)學(xué)歸納法才能證明. 但作為初中生，教師可以引導(dǎo)學(xué)生去猜想和發(fā)現(xiàn)（無(wú)須證明）這個(gè)結(jié)論，也是非常有價(jià)值的. 另外，也可以把本題改成一道填空題，讓學(xué)生猜想當(dāng)∠AMN=______°時(shí)，結(jié)論AM=MN仍然成立（無(wú)須證明）.

教學(xué)啟示

（一）啟示之一：“通式通法”顯價(jià)值

章建躍博士反復(fù)強(qiáng)調(diào)：一線數(shù)學(xué)教師一定要注重“通性通法”的教學(xué)，而所謂的“通性”就是指概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì);“通法”則是指概念所蘊(yùn)含的思想方法. 在教學(xué)中，注重?cái)?shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本性質(zhì)及其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，才是追求數(shù)學(xué)教學(xué)的“長(zhǎng)期利益”. 而在解題教學(xué)中，“通法”是指最常見(jiàn)、最基本的解題模式. 在本案例中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)通過(guò)作輔助線構(gòu)造△AGM與△MCN全等是解決這道題的通法，具有一般性和普適性，最重要的是當(dāng)改變題目條件時(shí)，這種方法同樣適用，而其他的很多方法已經(jīng)不適用了，這就是大巧若拙的“通性通法”的價(jià)值所在了. 因此，在解題教學(xué)中，我們要使學(xué)生逐步養(yǎng)成從基本概念、基本原理及其聯(lián)系性出發(fā)思考和解決問(wèn)題的習(xí)慣，追求解決問(wèn)題的“通性通法”才是發(fā)展學(xué)生思維能力的正道.

（二）啟示之二：“借題發(fā)揮”助升華

“借題發(fā)揮”來(lái)解決問(wèn)題，就是借助解決某個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解決更難或隱藏更深的問(wèn)題，以彰顯這個(gè)問(wèn)題的價(jià)值. 如果我們只滿足于原題目，就發(fā)現(xiàn)不了“當(dāng)改變點(diǎn)M的位置”或“改變圖形背景”時(shí)，問(wèn)題的結(jié)論仍然成立這個(gè)一般性的問(wèn)題，因而也就更難發(fā)現(xiàn)原來(lái)這個(gè)問(wèn)題還可以推廣到一個(gè)正多邊形中去這個(gè)更具一般性的命題，這樣這道題就失去了它本該有的內(nèi)部?jī)r(jià)值了，這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是非常大的損失. 因此，在解題的過(guò)程中，只要我們堅(jiān)持把握問(wèn)題的價(jià)值，堅(jiān)持厘清問(wèn)題本質(zhì)，堅(jiān)持運(yùn)用變式問(wèn)題的眼光，借發(fā)揮已解決過(guò)的習(xí)題的價(jià)值來(lái)解決更深入的問(wèn)題，就一定會(huì)更有收獲.

（三）啟示之三：“回歸課本” 是正道

波利亞指出：“一個(gè)有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付煩瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過(guò)量的題目，還不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面，在指導(dǎo)學(xué)生解 題的過(guò)程中，提高他們的才智與推理能力. ”本案例的題目來(lái)源于課本的習(xí)題，題目本身難度不算太大，但學(xué)生在沒(méi)有提示的前提下答題，情況并不理想. 這只是浩瀚題海中一道很普通的題目，但深挖后卻發(fā)現(xiàn)小題目蘊(yùn)含大學(xué)問(wèn). 此外，我們的學(xué)生做了很多題目，可是一到真正的大考，我們所有的尖子生幾乎全部淪陷;更離譜的是，還有不少教師認(rèn)為課本的題目太簡(jiǎn)單，沒(méi)有可做性，教學(xué)全程居然都不使用課本……其實(shí)，從上述案例及其變式延伸中我們可以看出，學(xué)生的解題思維沒(méi)有培養(yǎng)起來(lái)不是因?yàn)檎n本的題目不夠好、不夠多，而恰好是因?yàn)槲覀兤毡闆](méi)有重視課本，沒(méi)有認(rèn)真對(duì)待教材，不愿意也不用心去幫助學(xué)生深挖課本習(xí)題的各個(gè)方面及其內(nèi)在價(jià)值，只是純粹地為做題而做題. 因此，讓我們的教學(xué)回歸課本，重質(zhì)減量，選好題講好題，注重思維培養(yǎng)，才是數(shù)學(xué)教學(xué)之正道也.