發(fā)揮數(shù)學(xué)模型的作用

曾慶豐

數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際上是數(shù)學(xué)模型的教學(xué)。本文以“最短路徑問題”為例，談?wù)勗跀?shù)學(xué)模型教學(xué)中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一些思考。

創(chuàng)設(shè)情境，孕育數(shù)學(xué)模型。通過學(xué)生已有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)來創(chuàng)設(shè)問題情景，并融入新知識(shí)的生長點(diǎn)，是進(jìn)行教學(xué)預(yù)設(shè)的出發(fā)點(diǎn)和開展教學(xué)活動(dòng)的發(fā)起點(diǎn)。教師可以出示如下題目：如圖1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊飲馬，然后到B地。牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？

我們可以把筆直的河抽象成一條直線馬（A地）和帳篷（B地）分別抽象成兩個(gè)點(diǎn)M、N（圖2）。連結(jié)MN交直線于點(diǎn)P，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知：牧馬人到河邊點(diǎn)P處飲馬，可使所走的路徑最短。教師通過牧馬人飲馬來創(chuàng)設(shè)問題情景，并融入學(xué)生熟悉的“兩點(diǎn)之間，線段最短”公理，其公理是本節(jié)課“最短路徑問題”的“最近發(fā)展區(qū)”。這樣設(shè)計(jì)，既體現(xiàn)了學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，又為“最短路徑問題”的導(dǎo)入做鋪墊。

抽象轉(zhuǎn)化，發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力。在教學(xué)中，教師應(yīng)適當(dāng)?shù)劁亯|、啟發(fā)和引導(dǎo)，注重?cái)?shù)學(xué)模型發(fā)生、發(fā)展與形成的探究過程，幫助學(xué)生積累建?；顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)。

教師可以出示以下例題：如圖3，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊飲馬，然后到B地。牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？教師可以引導(dǎo)學(xué)生把河抽象成一條直線馬（A地）和帳篷（B地）分別抽象成兩個(gè)點(diǎn)M、N（如圖4）?，F(xiàn)在問題便轉(zhuǎn)化為：在直線上求作一點(diǎn)P，使“PM+PN”最短。

由上面的引例，我們可以這樣引導(dǎo)學(xué)生：如果點(diǎn)N在直線的另一側(cè)就好了，可不可以轉(zhuǎn)化呢？也就是說，能不能在直線的另一側(cè)找到一點(diǎn)N'，使點(diǎn)N'和N點(diǎn)到直線上任意一點(diǎn)的距離都是相等的呢？不改變問題的實(shí)際背景和結(jié)論，只改變帳篷的位置，一是減少背景對學(xué)生思維的干擾，保持思維的連貫性;二是啟迪學(xué)生將新問題轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)，感受轉(zhuǎn)化的自然性與合理性。

演繹推理，發(fā)展推理論證能力。教學(xué)中，教師應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)模型在形式化幾何命題中的計(jì)算、演繹、推理，并滲透知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系和邏輯關(guān)系。

教師可以出示如下例題：如圖5，設(shè)正三角形ABC的邊長為2，M是AB邊上的中點(diǎn)，P是BC上任意一點(diǎn)，PA+PM的最大值和最小值分別記為s和t，求s2-t2的值。

由于點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，PA+PM的值最大，此時(shí)，①[s=CM+CA=][CA2-AM2+CA=2+3];作點(diǎn)M關(guān)于BC邊的對稱點(diǎn)N，連接AN交BC邊于點(diǎn)P，連接MP，則“PA+PM”的值最小。連接CM、CN，由中垂線的性質(zhì)和等腰三角形的“三線合一”，得CN=CM=[3]，∠1=∠2=∠3=300。②在Rt△ACN中，[AN=AC2+CN2]=[7]。綜合①、②，得：[s2-t2=（2+3）2-（7）2=43]。

擺脫模型的實(shí)際背景，從形式化的幾何命題出發(fā)，將模型嵌入等邊三角形中，并且融入動(dòng)點(diǎn)問題，旨在增加問題的寬度。在求最小值時(shí)需要運(yùn)用等邊三角形、勾股定理、中垂線等相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生在分析、轉(zhuǎn)化、計(jì)算、推理等思維活動(dòng)中，提升運(yùn)算求解和推理論證的能力。

（作者單位：襄陽市第七中學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏