非對稱荷載下溶洞頂板極限承載力計(jì)算

劉一新，雷 勇，鄧加政，劉澤宇，歐陽鵬博

(1. 湖南科技大學(xué) 巖土工程穩(wěn)定控制與健康監(jiān)測湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭 411201；2. 廣州中科華大工程技術(shù)檢測有限公司，廣東 廣州 510220 )

0 引言

一般而言巖溶區(qū)樁基的處治方法有兩種，一種是當(dāng)溶洞頂板較厚或樁基作用線與溶洞中軸線存在一定偏移量時，可利用頂板的自承力支撐樁端荷載[1]。另一種是當(dāng)溶洞頂板厚度較小或者風(fēng)化嚴(yán)重時，通常將樁穿過溶洞，將樁端嵌入穩(wěn)定的巖體內(nèi)，以確保工程的安全進(jìn)行，但此法成本較高，施工難度較大。因此有條件地優(yōu)先利用溶洞頂板的自承能力，進(jìn)行溶洞頂板承載力的研究對巖溶區(qū)樁基的設(shè)計(jì)和施工具有重要意義[1]。

目前，針對非對稱荷載下溶洞頂板極限承載力的研究成果較少。20世紀(jì) 50 年代以來國際著名學(xué)者M(jìn)eyerhof等[2-6]通過室內(nèi)模型試驗(yàn)對傾斜荷載下基樁的受力特征進(jìn)行了研究，并提出了單樁承載力的半經(jīng)驗(yàn)計(jì)算方法。王成華等[7]基于均布荷載下軟弱下臥層土體豎向附加應(yīng)力的計(jì)算方法，利用積分導(dǎo)出荷載偏移時豎向附加應(yīng)力的簡化計(jì)算公式，并提出了關(guān)于荷載偏移下軟弱下臥層承載力的驗(yàn)算基本準(zhǔn)則。Waltham等[8]通過試驗(yàn)研究得到了沖切破壞模式空洞頂板的破壞特征，隨著荷載位置偏移量的增大，破壞線由內(nèi)凹曲線向外凸曲線過渡。林智勇、戴自航等[9-10]采用數(shù)值模擬研究了溶洞位置對上方路基的影響。張慧樂等[11-12]通過模型試驗(yàn)研究了洞跨、荷載偏移及頂板厚度等因素對樁端承載能力的影響，并推導(dǎo)出一系列簡單的巖溶區(qū)樁端極限承載力計(jì)算方法。雷勇等[13]通過室內(nèi)模型試驗(yàn)分析了荷載位置偏移對溶洞頂板破壞模式及承載力的影響。上述研究重點(diǎn)在于試驗(yàn)和數(shù)值分析方面分析荷載位置偏移下溶洞頂板的破壞模式和極限承載力，對于荷載位置偏移下溶洞頂板極限承載力的理論求解卻鮮有報(bào)道。

基于已有的研究成果，對非對稱荷載下溶洞頂板沖切破壞模式的極限承載力進(jìn)行求解。首先基于Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則及極限分析法，建立沖切破壞體的功能方程。然后利用變分求極值原理，得到了荷載位置偏移下沖切破壞模式溶洞頂板極限承載力的計(jì)算公式。最后通過室內(nèi)模型試驗(yàn)驗(yàn)證了理論方法的合理性，并進(jìn)一步分析了頂板厚度和荷載位置偏移量對溶洞頂板極限承載力的影響，研究結(jié)論可為實(shí)際工程設(shè)計(jì)提供參考。

1 Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則

20世紀(jì)80年代，Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則開始被廣泛應(yīng)用，之后不少學(xué)者根據(jù)研究的需要對其進(jìn)行了改進(jìn)。A. Serrano等[14]推導(dǎo)出采用瞬時摩擦角ρ表示的巖體破壞面的切向應(yīng)力和法向應(yīng)力表達(dá)式如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，σn，τn分別為巖體破壞面上的法向應(yīng)力和剪應(yīng)力；GSI為巖體地質(zhì)力學(xué)分類指標(biāo)；β為強(qiáng)度模數(shù)；ζ為巖體抗拉強(qiáng)度系數(shù)；m0為巖體類型參數(shù)；σc為巖塊抗壓強(qiáng)度。

(5)

式中，k和z為待定參數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)[15]k可取0.52，z取0.5。

由式(2)、式(5)得τ*的表達(dá)式為：

τn=kβ(σ*)0.5=kβ(σn/β+ζ)0.5。

(6)

2 沖切破壞模式的上限分析

2.1 荷載位置偏移下頂板破壞模式的假定

由極限分析理論可知[16]，選取一種合理的破壞機(jī)制是利用極限分析上限法解決問題的一個基本要求。一般情況，在傾斜偏心荷載作用下，基礎(chǔ)下部的土體會出現(xiàn)3個區(qū)域(如圖1所示)，整體為一彈性楔，楔的AC、CD邊為圓弧邊，其破壞面為對數(shù)螺旋線-對數(shù)螺旋線-直線[17]。但按照此破壞形式，在計(jì)算和分析樁端下部的溶洞頂板極限承載力問題時比較復(fù)雜。

圖1 偏心荷載下滑動模式Fig.1 Sliding mode under eccentric load

目前，溶洞頂板易發(fā)生沖切破壞模式被廣泛接受。由文獻(xiàn)[11-12]可知，溶洞頂板沖切破壞時的沖切體是以一定曲線為母線的軸對稱旋轉(zhuǎn)體，基于此模型得到的溶洞頂板極限承載力與實(shí)際較吻合，計(jì)算程序也較簡易[18-20]。因此，本研究在此基礎(chǔ)上繼續(xù)研究荷載位置偏移下溶洞頂板極限承載力的計(jì)算方法，頂板的沖切破壞模式如圖2所示。當(dāng)溶洞頂板上的荷載達(dá)到極限荷載時，破壞面出現(xiàn)厚度為δ的塑性區(qū)Ⅰ，剛性區(qū)Ⅱ和剛性區(qū)Ⅲ。

圖2 頂板沖切破壞模式Fig.2 Punching failure mode of roof

2.2 功能方程的建立

圖2中，A′B′C′D′部分表示完整的沖切體；u為沖切破壞體移動的方向；D=AB表示樁徑；e為荷載位置偏移量；D1=DC為沖切破壞體的底部直徑；R為溶洞半徑；h為溶洞的頂板厚度；H為沖切體的高度；δ為塑性區(qū)的厚度。

為便于計(jì)算，作如下假定：

(1)溶洞頂板為球形溶洞；

(2)除去A′B′E′部分后，A′E′C′D′部分沖切破壞體為一軸對稱旋轉(zhuǎn)體，且不考慮A′B′E′沖切破壞面上產(chǎn)生的承載力(偏于保守)，沖切體位移方向沿O′O方向；

(3)假定D′=D；

(4)巖體為理想的剛塑性材料，巖體的破壞機(jī)制符合Hoek-Brown準(zhǔn)則(圖3)，且服從相關(guān)聯(lián)流動法則。

圖3 Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則應(yīng)力(應(yīng)變)坐標(biāo)系Fig.3 Stress (strain) coordinate system of H-B strength criterion

根據(jù)上述假定可知，對于服從Hoek-Brown準(zhǔn)則的巖體，其塑性勢為：

(7)

塑性應(yīng)變率為：

(8)

(9)

應(yīng)變率和運(yùn)動速率的關(guān)系可表示[15]為：

(10)

(11)

聯(lián)立式(7)～(11)可求得應(yīng)力的表達(dá)式為：

(12)

(13)

由極限分析上限法可知，外荷載所做功率與塑性區(qū)耗損功率相等，即：

(14)

忽略沖切體自重，外力做功率為：

(15)

式中θ為外荷載P與沖切破壞體位移方向的夾角，即∠BAE。

塑性區(qū)耗散功率為：

(16)

(17)

由圖2中的幾何關(guān)系可知：

(18)

(19)

(20)

(21)

聯(lián)立式(14)～(21)可得：

(22)

2.3 溶洞頂板極限承載力的求解

為得到式(22)的一個上限解，運(yùn)用變分原理，首先令：

(23)

根據(jù)歐拉方程：

(24)

將式(23)代入式(24)，可得：

(25)

通過式(25)求得沖切體破壞面的母線方程為：

(26)

式中C1，C2為待定系數(shù)。由上述假定可知D′=D，邊界條件有：

(27)

(28)

將式(27)～(28)代入式(26)，求得母線方程為：

(29)

再將式(29)代入式(22)，得到溶洞頂板極限承載力的表達(dá)式：

(30)

式(30)中的未知量有θ，H和D1。其中H可由θ，e，D，h，D′，R和D1確定，因此式(30)中的未知量只有θ和D1。

圖2中，由幾何關(guān)系可得：

(31)

在△CDO中有：

(32)

在△ADO中：

(33)

在△ADO中由正弦定理知：

(34)

式中,

OD=R

∠ODA=∠ODC+∠ADC。

聯(lián)立式(31)～(34)解得：

(35)

因此，將式(35)代入式(30)就得到極限承載力計(jì)算公式，然后令?P/?θ=0， ?P/?D1=0求出相應(yīng)θ和D1的值，再將θ和D1的值代入式(30)就可求得溶洞頂板極限承載力的一個上限解，即極限承載力。

為了便于計(jì)算，對沖切破壞體高度H進(jìn)一步簡化。在圖4中，沖切體高度H近似取為MN的長度，其中M為AB的中點(diǎn)。

圖4 沖切體高度H的簡化圖Fig.4 Simplified diagram of height H of punching body

θ近似取為∠AMO的余角：

(36)

(37)

將式(36)～(37)代入式(30)有：

(38)

3 試驗(yàn)與理論對比

3.1 模型試驗(yàn)

為驗(yàn)證理論方法的合理性，在室內(nèi)進(jìn)行了下伏溶洞的頂板極限承載力試驗(yàn)。采用一定配比的石膏、水泥、砂以及黏土模擬溶洞基巖[13]，試驗(yàn)加載裝置及試驗(yàn)如圖5所示。溶洞直徑l=33 cm，荷載板的直徑D=5.75 cm，通過試驗(yàn)測得砂漿的單軸抗壓強(qiáng)度為σc=2.97 MPa。進(jìn)行了h/D=1，2，3，4的4組試驗(yàn)，每一組按不同偏心位置設(shè)加載點(diǎn)進(jìn)行加載。

圖5 加載裝置及試驗(yàn)Fig.5 Loading device and test

圖6為加載點(diǎn)的平面布置圖，圖中的編號“1-1”代表第 1 組第1個加載點(diǎn)，其他以此類推。

圖6 加載點(diǎn)平面布置(單位：cm)Fig.6 Layout of loading points(unit:cm)

當(dāng)頂板厚度h為1-3D時，試驗(yàn)成功取出了8個加載點(diǎn)的沖切破壞體。h為4D，無荷載位置偏移時，頂板發(fā)生了不完全的沖切破壞，因此未能取出沖切體，具體破壞模式見文獻(xiàn)[13]。

3.2 理論與實(shí)測結(jié)果的對比分析

按基巖模擬材料的性質(zhì)、完整情況及室內(nèi)基巖材料的參數(shù)測試，采用Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則時，相關(guān)計(jì)算參數(shù)見表1[15]。

表1 溶洞頂板極限承載力計(jì)算的相關(guān)參數(shù)Tab.1 Related parameters for calculating ultimate bearing capacity of cavern roof

通過荷載板試驗(yàn)得出的基巖承載力如表2所示。試驗(yàn)和理論得出的不同頂板厚度h及荷載位置偏移量e時溶洞頂板各加載點(diǎn)處的極限承載力如表3所示。

表2 實(shí)測完整基巖承載力Tab.2 Measured bearing capacity of intact bed rock

表3 各加載點(diǎn)的實(shí)測及理論極限承載力Tab.3 Measured and theoretical ultimate bearing capacity of each loading point

圖7 P隨h/D的變化規(guī)律Fig.7 Rule of P varying with h/D

3.2.1 P與h/D的關(guān)系

圖7為荷載位置偏移量e一定時，試驗(yàn)與理論得到的頂板極限承載力P隨h/D的變化情況，其中l(wèi)=2R，代表溶洞的直徑。

由圖可得，當(dāng)e一定時，隨著厚徑比h/D的增加，頂板極限承載力P大致呈線性增長，理論結(jié)果與實(shí)測結(jié)果相吻合。當(dāng)e達(dá)到l時，不同頂板厚度相對應(yīng)加載點(diǎn)的極限承載力均與基巖承載力基本相等，且頂板均未發(fā)生沖切破壞，此時理論方法不再適用，因此圖7中未給出理論結(jié)果。

3.2.2 P與e的關(guān)系

圖8為頂板厚度h一定時，試驗(yàn)與理論得到的頂板極限承載力P隨e/l的變化情況。

圖8 P隨e/l的變化規(guī)律Fig.8 Rule of P varying with e/l

由圖8可知，理論結(jié)果與實(shí)測結(jié)果較吻合，且隨著荷載位置偏移量e的增加，溶洞頂板極限承載力呈非線性增長。當(dāng)e增大到一定值時，頂板極限承載力趨向平穩(wěn)，并逐漸達(dá)到基巖承載力。

3.2.3 P與GSI的關(guān)系

由式(3)和式(4)可知，參數(shù)b和ζ與巖體地質(zhì)力學(xué)分類指標(biāo)GIS相關(guān)。由文獻(xiàn)[15]可知：對于自然條件下穩(wěn)定的巖溶頂板，可取GSI分別為44，65，85，100進(jìn)行研究。

圖9 P隨GSI的變化規(guī)律Fig.9 Rule of P varying with GSI

圖9給出了h為2D時，頂板極限承載力隨GSI的變化情況。由圖可知，隨著GSI的增大，溶洞頂板極限承載力呈非線性增長，增長的幅度逐漸變大。當(dāng)GSI為44(頂板的巖體質(zhì)量一般)，e為0，0.25l，0.5l時，頂板的極限承載力分別為1.8，2.2，3.6 kN；當(dāng)GSI為100(頂板的巖體質(zhì)量非常好)時，相應(yīng)的極限承載力分別為24，29，43 kN，近似為前者的12倍，說明巖體質(zhì)量的好壞對溶洞頂板承受能力的影響較大。在實(shí)際工程中，要盡可能選取巖體質(zhì)量較好的地域進(jìn)行設(shè)計(jì)與施工才能獲取安全及經(jīng)濟(jì)效益。

4 結(jié)論

采用Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)剪應(yīng)力的拋物線形式，基于極限分析法提出了荷載位置偏移下溶洞頂板極限承載力的計(jì)算方法，并通過模型試驗(yàn)驗(yàn)證了理論的合理性，得到如下結(jié)論：

(1)對于厚度h在1～4D范圍內(nèi)的溶洞頂板，當(dāng)荷載位置偏移量一定時，隨著厚徑比h/D的增加，頂板極限承載力大致呈線性增長。

(2)對于發(fā)生沖切破壞的溶洞頂板，當(dāng)頂板厚度h一定時，隨著荷載位置偏移量e的增大，頂板極限承載力呈非線性增長。

(3)對于h為2D的溶洞頂板，隨著GSI的增大，頂板極限承載力呈非線性增長，增長的幅度逐漸變大，且當(dāng)GSI為44，e為0，0.25l，0.5l時，頂板的極限承載力分別為1.8，2.2，3.6 kN；當(dāng)GSI為100時，相應(yīng)的極限承載力分別為24，29，43 kN，近似為前者的12倍。