多故障并發(fā)下考慮部件經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的串并聯(lián)系統(tǒng)選擇性維護(hù)決策方法研究①

管業(yè)勤， 蔣祖華， 孫小明， 王海麗

(上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240)

0 引 言

隨著中國制造2025進(jìn)程的不斷發(fā)展，設(shè)備的大型化、高性能化與自動(dòng)化水平節(jié)節(jié)升高，因此維護(hù)成本對公司競爭能力的影響增加，維護(hù)策略優(yōu)化越來越受到重視[1]。傳統(tǒng)的維護(hù)策略研究大多假設(shè)設(shè)備因故障而停機(jī)后能迅速通過小修恢復(fù)[2]，而實(shí)際生產(chǎn)中，由于設(shè)備結(jié)構(gòu)、功能日趨復(fù)雜，設(shè)備故障的并發(fā)現(xiàn)象增多，設(shè)備失效后的維修決策需要考慮維修資源的約束。

以往適用于設(shè)備計(jì)劃性停機(jī)的預(yù)防性維護(hù)策略[3]因較少考慮維修資源約束，不太適用于設(shè)備多故障并發(fā)下的非計(jì)劃性停機(jī)情境。而以有限的維護(hù)資源為已知約束條件的選擇性維護(hù)策略非常契合復(fù)雜設(shè)備多故障并發(fā)下的維修決策需求。

選擇性維護(hù)的概念最早由Rice et al[4]提出，表示在維修資源(如維修時(shí)間、費(fèi)用、器材、人員等)約束下，從一系列待修項(xiàng)目中確定所要實(shí)施的維修項(xiàng)目的過程，后經(jīng)Maillart et al[5], Schneider et al[6]等人將其拓展至復(fù)雜系統(tǒng)的維修決策中。系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中，可以處于完全失效和性能最優(yōu)之間多個(gè)狀態(tài)，因此對部件的維護(hù)方式有多種選擇，不同維修方式可將其恢復(fù)至不同的狀態(tài)。Pandey et al[7,8]等人將多種失效模式以及非完美維護(hù)與選擇性維護(hù)模型相結(jié)合，研究了部件狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率服從指數(shù)分布的串并聯(lián)系統(tǒng)的選擇性維護(hù)問題。Chen et al[9]以多狀態(tài)系統(tǒng)為研究對象，建立可靠性約束下最小化維護(hù)成本的選擇性維護(hù)模型。

選擇性維護(hù)模型按目標(biāo)不同可分為三類：(1)以最大化系統(tǒng)可靠性為目標(biāo)，時(shí)間和費(fèi)用等維修資源為約束[10]；(2)最小化總維護(hù)成本，系統(tǒng)運(yùn)行可靠度要求和維修時(shí)間為約束[11]；(3)最小化總的維修時(shí)間，系統(tǒng)運(yùn)行可靠度要求為約束[12]。

選擇性維護(hù)方案通常是在多組件系統(tǒng)中實(shí)施許多維護(hù)操作，需要考慮部件之間的維修相關(guān)性，而部件間的經(jīng)濟(jì)相關(guān)性代表了一類最典型的維修相關(guān)性。經(jīng)濟(jì)相關(guān)性意味著若干個(gè)部件進(jìn)行聯(lián)合維護(hù)或維修時(shí)相比于單獨(dú)維修或維護(hù)時(shí)的維修成本會(huì)節(jié)省。維修成本中包括停機(jī)成本、備件工具成本及人力成本等。Dekker et al[13]總結(jié)了成組維護(hù)中裝配成本的節(jié)約在選擇性維護(hù)中的應(yīng)用，Nourelfath、Chatelet[14]研究了并聯(lián)生產(chǎn)系統(tǒng)中部件間的經(jīng)濟(jì)相關(guān)性和結(jié)構(gòu)相關(guān)性。文獻(xiàn)[15]研究了串聯(lián)系統(tǒng)在計(jì)劃停機(jī)和非計(jì)劃停機(jī)兩種情境下的考慮經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的選擇性維護(hù)策略，文獻(xiàn)[16-18]對計(jì)劃停機(jī)下考慮經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的串并聯(lián)系統(tǒng)展開研究。

作為一類典型的多部件系統(tǒng)，串并聯(lián)系統(tǒng)體現(xiàn)了復(fù)雜系統(tǒng)的基本特性，是非常好的研究對象。串并聯(lián)系統(tǒng)中部件的經(jīng)濟(jì)相關(guān)性體現(xiàn)在：當(dāng)決定同時(shí)維修兩個(gè)及以上部件時(shí)，維修費(fèi)用和時(shí)間會(huì)有一定程度的節(jié)??；若對兩個(gè)及以上相同的部件采取相同的維修方式，也能導(dǎo)致費(fèi)用和耗時(shí)上的縮減。由于部件共同維修時(shí)可以分?jǐn)倻?zhǔn)備費(fèi)用，當(dāng)共同維修的部件數(shù)量增加時(shí)，相應(yīng)的維修費(fèi)用和耗時(shí)也會(huì)減少得更多。這也意味著當(dāng)系統(tǒng)因部件故障而停機(jī)時(shí)，若對非故障部件進(jìn)行預(yù)防性維護(hù)，可以節(jié)省停機(jī)成本。但已有文獻(xiàn)中考慮部件經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的選擇性維護(hù)模型多以計(jì)劃停機(jī)為背景，較少考慮以系統(tǒng)故障停機(jī)為背景的非計(jì)劃停機(jī)場景下的選擇性維護(hù)研究。

因此，將選擇性維護(hù)引入多狀態(tài)串并聯(lián)系統(tǒng)的非計(jì)劃停機(jī)維修決策中，研究系統(tǒng)因多故障并發(fā)而停機(jī)的情形下，如何在有限的資源限制下安排系統(tǒng)各部件的檢修活動(dòng)，使得系統(tǒng)能盡量長時(shí)期維持在一個(gè)較好的運(yùn)行狀態(tài)。

1 問題描述

研究的串并聯(lián)系統(tǒng)由M個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)串聯(lián)而成，如圖1所示, 其中，第i(i=1,2,...,M)個(gè)子系統(tǒng)由Ni個(gè)相同的部件并聯(lián)而成。

圖1 串并聯(lián)系統(tǒng)示意圖

用S描述部件或系統(tǒng)所處的狀態(tài)可能集合，K表示最佳狀態(tài)值，0表示故障狀態(tài)值，則每個(gè)部件和系統(tǒng)的所有可能狀態(tài)有K+1種，即S={0,1,...,K}。系統(tǒng)從某個(gè)已知狀態(tài)開始運(yùn)行，運(yùn)行時(shí)間達(dá)到t后，用sij(t)表示BJ(i,j)(第i個(gè)子系統(tǒng)中第j個(gè)部件)此時(shí)所處的狀態(tài)，則BJ(i,j)在運(yùn)行時(shí)間達(dá)到t后處于狀態(tài)k的概率pi,j,k(t)定義為(1)所示，

pi,j,k(t)=P{sij(t)=k}

(1)

Y={Yij},(i=1,2,...,M,j=1,2,..,Ni)

(2)

X={Xij},(i=1,2,...,M,j=1,2,..,Ni)

(3)

研究問題有如下假設(shè)：

(1)系統(tǒng)由M個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)而成，每個(gè)子系統(tǒng)由任意個(gè)相同的部件并聯(lián)而成；

(2)每個(gè)部件的工作狀態(tài)均有K+1個(gè)，即除完全失效和正常運(yùn)行外，部件工作狀態(tài)值還可以介于兩者之間，且部件狀態(tài)在系統(tǒng)運(yùn)行過程中存在劣化過程，即逐漸從最佳狀態(tài)退化至完全失效狀態(tài)；

(4)系統(tǒng)狀態(tài)需要在有限的時(shí)間和費(fèi)用約束內(nèi)得到恢復(fù)；

(5)系統(tǒng)及組成單元在失效過程中表現(xiàn)出多狀態(tài)的特征，同一個(gè)子系統(tǒng)中的設(shè)備完全相同，各設(shè)備狀態(tài)的劣化轉(zhuǎn)移強(qiáng)度(Transition Intensity)是已知的，系統(tǒng)的可靠度能夠被準(zhǔn)確估計(jì)；

(6)維修活動(dòng)不可能造成設(shè)備狀態(tài)的退化，即Yij≤Xij；

(7)系統(tǒng)恢復(fù)運(yùn)行后，要求在時(shí)間τ內(nèi)滿足最低狀態(tài)值要求D的條件下正常運(yùn)行；

(8)任何針對單個(gè)部件BJ(i,j)將其從Yij恢復(fù)至Xij的單獨(dú)的維修活動(dòng)所需的費(fèi)用和時(shí)間為已知的常量；

(9)系統(tǒng)修復(fù)后至任務(wù)結(jié)束期間無意外故障發(fā)生。

2 模型建立

建立的模型用于在有限的維修時(shí)間T0和費(fèi)用C0約束下，決策故障部件的維修方式以及選擇進(jìn)行機(jī)會(huì)維護(hù)的部件和維護(hù)程度，以保證系統(tǒng)在接下來的時(shí)間τ內(nèi)達(dá)到最低狀態(tài)值D的基礎(chǔ)上，提升系統(tǒng)的整體可靠性。

2.1 系統(tǒng)可靠性

假設(shè)BJ(i,j)從最佳狀態(tài)K開始運(yùn)行，在每個(gè)狀態(tài)的停留時(shí)間滿足指數(shù)分布，其性能逐級退化過程如圖2所示，由于同一個(gè)子系統(tǒng)中部件相同，則子系統(tǒng)i中任一部件BJ(i,j)從狀態(tài)k到狀態(tài)k-1的劣化轉(zhuǎn)移強(qiáng)度可用λi,k表示[19]。因此若BJ(i,j)從起始時(shí)刻0開始以狀態(tài)K開始運(yùn)行，考慮部件的性能退化過程，BJ(i,j)在t時(shí)刻處于各狀態(tài)的概率集合如(4)所示，在t時(shí)刻其狀態(tài)概率可以通過求解如(5)所示的Chapman-Kolmogorov(C-K)等式得到[20]。

圖2 部件的性能退化過程示意

Pij(t)={pi,j,0(t)·pi,j,1(t)·…·pi,j,K(t)}

(4)

(5)

若系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間段τ后，φ(τ)表示系統(tǒng)整體所處的狀態(tài)值，φi(τ)表示子系統(tǒng)i所處的狀態(tài)值，系統(tǒng)的可靠度指系統(tǒng)在正常運(yùn)行時(shí)間段τ后所處狀態(tài)仍滿足狀態(tài)值大于等于D的要求的概率，即Rs(τ,D)=P(φ(τ)≥D)。系統(tǒng)可靠度可由式(6)計(jì)算得到

(6)

2.2 多態(tài)部件的維修選擇

通常來說，對于一個(gè)多態(tài)部件有多種維修或維護(hù)方案可供選擇，所有的方案大致可分為如下三類

(1)保養(yǎng)：不改變部件的狀態(tài)，即Xij=Yij；

(2)替換：部件修復(fù)如新，即Xij=K；

(3)非完美維護(hù)：部件狀態(tài)提升，但達(dá)不到最佳狀態(tài)，即Yij

由于同一個(gè)子系統(tǒng)中部件相同，則子系統(tǒng)i中任意部件BJ(i,j),若在維修期間將其狀態(tài)從Yij提升至Xij，則其費(fèi)用支出均為ci(Yij,Xij)個(gè)單位成本的。若BJ(i,j)在維修期間只是稍作保養(yǎng)，即狀態(tài)值維持原狀，有Xij=Yij,ci(Yij,Xij)=0。若Yij

i=1,2,...,M

(7)

則維修期間系統(tǒng)的維修費(fèi)用為所有部件的維修費(fèi)用之和，如式(8)所示，

(8)

同理，由于同一個(gè)子系統(tǒng)中部件相同，可將ti(Yij,Xij)0.5定義為系統(tǒng)i中任意部件BJ(i,j)在維修期間將其狀態(tài)從Yij提升至Xij的單位耗時(shí)，子系統(tǒng)i中BJ(i,j)所有可能的ti(Yij,Xij)組成的(K+1)(K+1)的耗時(shí)矩陣可用同一個(gè)耗時(shí)矩陣表示，如式(9)所示。

i=1,2,...,M

(9)

假設(shè)系統(tǒng)中部件的維修依次進(jìn)行，則維修期間系統(tǒng)的維修時(shí)間之和為所有部件的維修時(shí)間之和，如式(10)所示

(10)

2.3 考慮部件經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的維修費(fèi)用與耗時(shí)

圖3 考慮“固定成本”節(jié)約的維修費(fèi)用(時(shí)間)

隨共同維護(hù)部件數(shù)量的變化

圖4 維修相同部件的成本變化

因此，系統(tǒng)總的維修費(fèi)用如式(11)所示。

(11)

式中：

類似地，系統(tǒng)總維修時(shí)間如(12)所示

(12)

式中：

2.4 模型的優(yōu)化目標(biāo)與決策變量

定義的維護(hù)問題可由非線性整數(shù)規(guī)劃模型描述如下

maxRS(X,τ,D)

s.t.CM(X)≤C0

TM(X)≤T0

Yij

(13)

3 算例分析

3.1 算例建模與求解

考慮如圖5所示的串并聯(lián)系統(tǒng)，其中M=3，N1=3 ,N2=2，N3=4，S={0,1,2,3}，不同于文獻(xiàn)[16],對系統(tǒng)選擇性維修決策設(shè)置了多故障并發(fā)這一情境，該情境下系統(tǒng)失效時(shí)的狀態(tài)量為Y=[1 0 1 0 0 0 1 1 1]，即部件BJ(1,2)，BJ(2,1)，BJ(2,2)，BJ(3,1)故障，假設(shè)任一子系統(tǒng)中的部件為相同部件，三個(gè)子系統(tǒng)中部件的狀態(tài)劣化轉(zhuǎn)移強(qiáng)度見表1。

圖5 串并聯(lián)系統(tǒng)算例

表1 算例中各子系統(tǒng)部件轉(zhuǎn)移強(qiáng)度

子系統(tǒng)編號(hào)狀態(tài)轉(zhuǎn)移強(qiáng)度(單位:每年)k=3k=2k=110.060.110.0520.140.090.230.110.080.16

對于任一子系統(tǒng)i中的BJ(i,j),i=1,2,3，ti(a,b)，ci(a,b)已知，則由式(8)、( 10)得到各子系統(tǒng)部件相應(yīng)的維修費(fèi)用和維修時(shí)間矩陣如下所示，

3.2 結(jié)果分析

將不考慮部件經(jīng)濟(jì)相關(guān)性情境下的最優(yōu)方案命名為strategy1，考慮部件經(jīng)濟(jì)相關(guān)性情境下的最優(yōu)方案命名為strategy2。兩種方案均通過遺傳算法[21]求出，算法的參數(shù)設(shè)置如表2所示。

表2 遺傳算法參數(shù)設(shè)置

兩種方案的最優(yōu)解如表3所示，當(dāng)維修決策考慮部件經(jīng)濟(jì)相關(guān)性時(shí)，聯(lián)合維護(hù)活動(dòng)會(huì)增多。strategy1中維修活動(dòng)耗時(shí)17個(gè)單位時(shí)間，耗費(fèi)31個(gè)單位費(fèi)用，strategy2中維修活動(dòng)耗時(shí)11.1個(gè)單位時(shí)間，耗費(fèi)24.5個(gè)單位費(fèi)用。不考慮經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的方案所需耗費(fèi)的時(shí)間和費(fèi)用均高于考慮經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的方案，但前者的可靠度低于后者。

表3 最優(yōu)維修方案

圖6 系統(tǒng)可靠性 VS 費(fèi)用約束

接下來探討上述兩種情形下，隨著資源預(yù)算的增減，系統(tǒng)可靠性的變動(dòng)情況。如圖6，圖7所示,考慮部件經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的維修方案對時(shí)間和費(fèi)用的約束更敏感，但兩種情形下系統(tǒng)可靠性隨著資源預(yù)算的變動(dòng)趨勢較一致。

考慮部件經(jīng)濟(jì)相關(guān)性時(shí)，分別觀察最佳維修方案在與部件經(jīng)濟(jì)相關(guān)性密切相關(guān)的參數(shù)變動(dòng)時(shí)對維修時(shí)間和費(fèi)用的影響，如圖8所示，維修耗時(shí)和費(fèi)用變動(dòng)趨勢相似，聯(lián)合維修活動(dòng)帶來的費(fèi)用節(jié)省越多，整體維修活動(dòng)的資源消耗越少。對相同部件采取完全一致的維修活動(dòng)，單個(gè)部件的費(fèi)用增加時(shí)，整體維修活動(dòng)的資源消耗也會(huì)增加。由于子系統(tǒng)1中三個(gè)部件的初始狀態(tài)完全不同，因此子系統(tǒng)1的費(fèi)用節(jié)省因子對整體費(fèi)用沒有影響，而子系統(tǒng)2中所有部件的初始狀態(tài)均相同，因此子系統(tǒng)2的費(fèi)用節(jié)省因子對整體費(fèi)用的影響最大。對維修耗時(shí)的分析與此類似。

圖7 系統(tǒng)可靠性VS 時(shí)間約束

圖8 經(jīng)濟(jì)相關(guān)性參數(shù)設(shè)置對維修時(shí)間和費(fèi)用影響分析

為探究部件的維護(hù)成本對上述兩種情形下資源消耗的影響，接下來分析各子系統(tǒng)部件相應(yīng)的維修費(fèi)用和維修時(shí)間矩陣成倍縮放時(shí)，維修方案消耗資源的變化情況。如圖9所示，無論是否考慮部件的經(jīng)濟(jì)相關(guān)性，整體維修活動(dòng)的耗費(fèi)隨維修費(fèi)用矩陣的變化趨勢相差不大。相比于與部件經(jīng)濟(jì)相關(guān)性有關(guān)的參數(shù)變動(dòng)，維修費(fèi)用矩陣和時(shí)間矩陣對維修活動(dòng)費(fèi)用和時(shí)間消耗的影響比重更大。

圖9 部件維修成本對維修時(shí)間和費(fèi)用影響分析

4 結(jié) 語

在建立了有限的時(shí)間和費(fèi)用約束下以最大化設(shè)備可靠性為目標(biāo)的維修方案選擇優(yōu)化模型基礎(chǔ)上，對比分析了時(shí)間費(fèi)用約束下，考慮部件經(jīng)濟(jì)相關(guān)性與不考慮部件經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的維修方案的異同。并將遺傳算法用于基于維修目標(biāo)、時(shí)間和費(fèi)用約束的模型求解中，通過算例說明了該模型納入經(jīng)濟(jì)相關(guān)性的因素后對維修決策的制定有較大影響。

基于多狀態(tài)系統(tǒng)的特征，假定設(shè)備在各狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率已知或狀態(tài)劣化率已知，并由此計(jì)算設(shè)備的失效率或系統(tǒng)可靠性，但在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)中，設(shè)備失效率或系統(tǒng)可靠性無法如假設(shè)的如此易得，如何使模型的必要元素——設(shè)備失效率或系統(tǒng)可靠性與現(xiàn)實(shí)情況更加貼合，有賴于對系統(tǒng)尤其是復(fù)雜設(shè)備的故障規(guī)律進(jìn)一步探討和研究。

研究了時(shí)間和費(fèi)用約束下事后維修效率的優(yōu)化，但實(shí)際生產(chǎn)中，制約維修方案設(shè)計(jì)的約束包括但不僅限于時(shí)間和費(fèi)用，接下來的研究可以將人員、備件等其他有效約束納入維修決策建模尋優(yōu)中。