一類無窮小量的等價(jià)性

成凱歌

(浙江旅游職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，浙江 杭州 311231)

“極限”是數(shù)學(xué)中的分支——微積分的基礎(chǔ)概念，微積分的嚴(yán)格化過程是伴隨著極限思想的完善過程得以實(shí)現(xiàn)的。18世紀(jì)，羅賓斯、達(dá)朗貝爾與羅依里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎(chǔ)概念，并且都對極限建立了各自的定義，但他們的定義都無法擺脫對幾何直觀的依賴。到了19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了“極限概念”及其理論，柯西把無窮小視為“以0為極限的變量”，這就正確地確立了“無窮小”概念，從而實(shí)現(xiàn)了極限理論的嚴(yán)格化、完備化。“極限”思想方法，是數(shù)學(xué)分析乃至整個(gè)高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法，也是“高等數(shù)學(xué)”與在“初等數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)上有承前啟后連貫性的、進(jìn)一步思維的發(fā)展。高等數(shù)學(xué)之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題，正是由于其采用了“極限”的“無限逼近”的思想方法，得到無比精確的計(jì)算結(jié)果。極限概念本質(zhì)上就是無窮小的概念，對無窮小量的討論一直很多[1-13]，本文將對一類等價(jià)無窮小量進(jìn)行探討。

1 有關(guān)概念及結(jié)論

定義1[14]設(shè)函數(shù)f(x)在x0某個(gè)空心鄰域Uo(x0)上有定義,a為一常數(shù)。如果對任意ε>0，都存在δ>0，當(dāng)x∈Uo(x0,δ)時(shí)，有|f(x)-a|<ε，則稱當(dāng)x趨向于x0時(shí)，f(x)以a為極限，記作

或者記作

f(x)→a(x→x0)。

定義3[14]設(shè)當(dāng)x趨向于x0時(shí)，f(x)和g(x)都是無窮小量，則

f(x)=o(g(x))(x→x0)，

特別地，當(dāng)x趨向于x0時(shí)，f(x)是無窮小量，記作

f(x)=o(1)(x→x0)。

f(x)=o(g(x))(x→x0)，

特別地，若f(x)在某Uo(x0)內(nèi)有界，則記作

f(x)=o(1)(x→x0)。

f(x)～g(x)(x→x0)。

定理1[14]設(shè)函數(shù)f(x)在x0某個(gè)空心鄰域Uo(x0)上有定義,則當(dāng)x趨向于x0時(shí)，f(x)以a為極限當(dāng)且僅當(dāng)x趨向于x0時(shí)，f(x)-a是無窮小量。

定理2[14]1)有限個(gè)(相同類型)的無窮小量的和、差、積仍為無窮小量；

2)有界量和無窮小量的積是無窮小量。

定理3[14]設(shè)函數(shù)f(x),g(x),h(x)在x0某個(gè)空心鄰域Uo(x0)上有定義，且有f(x)～g(x)(x→x0)，則

2 討論過程

在已有的結(jié)論基礎(chǔ)上，以下進(jìn)一步討論無窮小量及其等價(jià)關(guān)系。

定理4設(shè)f(x)=o(g(x))(x→x0)，則對一切正整數(shù)n，有g(shù)(x)±fn(x)～g(x)(x→x0)。

證明由已知條件得

從而

所以，g(x)±fn(x)～g(x)(x→x0)。

定理5設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0存在直到n階的導(dǎo)數(shù)，且存在正整數(shù)n0使得f(n0)(x0)≠0，則

1)當(dāng)n0=1時(shí)，有f(x)-f(x0)～f′(x0)(x-x0)(x→x0)；

2)當(dāng)1

證明若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0存在直到n階的導(dǎo)數(shù)，則由f(x)在x0處的泰勒公式得

在1)的條件下，有

因此，有

從而f(x)-f(x0)～f′(x0)(x-x0)(x→x0)成立。

在2)的條件下，有

因此，有

從而

成立。

定理6假設(shè)函數(shù)f(x),g(x),u(x),v(x)滿足如下條件：1)f(x)～g(x)(x→0)；2)u(x)～v(x)(x→x0)；3)g(x)在x=0處可導(dǎo)，且g′(0)≠0，則有f(u(x))～g(v(x))(x→x0)。

證明由條件1)得g(x)在x→0時(shí)是無窮小量，由條件(3)可得g(x)在x=0處連續(xù)，所以，g(0)=0，再注意到可導(dǎo)性，有

g(x)=g(0)+g′(0)x+o(x)(x→0)=g′(0)x+o(x)(x→0)。

g(u(x))=g′(0)u(x)+o(u(x))，

g(v(x))=g′(0)v(x)+o(v(x))。

于是，

結(jié)合條件1)，有

因此，結(jié)論f(u(x))～g(v(x))(x→x0)成立。

對于g(x)在x=0處可導(dǎo)，且g′(0)=0時(shí)將有何種結(jié)論？以下定理討論在g(x)為一類具有這種性質(zhì)時(shí)所具有的結(jié)論。

證明由條件1)和3)可設(shè)

g2(x)=a0xn+a1xn-1+…+akxn-k，

再利用條件1)，有

因此，結(jié)論f(u(x))～g(v(x))(x→x0)成立。

推論1假設(shè)函數(shù)f(x),g(x),u(x),v(x)滿足條件：1)f(x)～g(x)(x→0)；2)u(x)～v(x)(x→x0)；3)g(x)是關(guān)于x的多項(xiàng)式，則有f(u(x))～g(v(x))(x→x0)。

推論2假設(shè)函數(shù)f(x),u(x),v(x)滿足條件：1)f(x)～x(x→0)；2)u(x)～v(x)(x→x0)，則有f(u(x))～v(x)(x→x0)。