一道由積分給出的數(shù)列考研題的解法探究

王成強

(成都師范學院 數(shù)學學院，四川 成都 611130)

0 引言

數(shù)列的極限理論是大學數(shù)學的重難點內容之一。對數(shù)學領域自身而言，數(shù)列的極限理論是微積分理論的基礎。在諸如生物數(shù)學、金融數(shù)學等應用領域，它往往用以建立研究對象的數(shù)學模型的數(shù)量表征[1-2]。為學好大學數(shù)學，大量的數(shù)列極限相關的問題練習必不可少[3-6]。本文旨在進一步研究2018年全國研究生入學考試數(shù)學(一)第19題，其內容完整表述如下：

1 問題1的解法探究

1.1 證明an > an+1

探究1證明不等式的常用方法是“先作差，再判斷符號”。先作差，有

探究3因函數(shù)x是嚴格增函數(shù)，由第二型積分中值定理，故存在ξn∈(0,1)，使得

注4前三種思路的共同特點是它們都依賴于Riemann積分的性質。事實上，在大學數(shù)學中，眾所周知的結論是“非負函數(shù)的Riemann積分非負”，對“某Riemann積分大于零”這樣的論斷還是需要簡單說明的。本文在引言部分給出了an基于Euler函數(shù)的表達式，這里還可嘗試利用此表達式判斷an與an+1之間的大小關系。

注5在探究方法4中，用到了Euler函數(shù)Γ(s)的“l(fā)n Γ(s)是嚴格凸函數(shù)”的這一性質：假設s1，s2>0滿足s1≠s2，則對任何嚴格介于s1與s2之間的s，有Γ(s)<(Γ(s1))(s2-s)/(s2-s1)(Γ(s2))(s-s1)/(s2-s1)。

1.2 證明

探究6受探究5的啟發(fā)，還可通過利用分部積分推導數(shù)列{an}的遞推關系式。

探究7借助于分部積分法，有

注7探究5、6、7的思路都是先利用分部積分法對an作處理，再從處理之后的表達式中尋找思路。探究5的思路最為自然，但計算量稍大；探究6、7思路較“隱蔽”，但計算量較少。

探究9探究5、6、7、8都基于積分的運算。Euler函數(shù)具有豐富的性質，可嘗試用來得到{an}的遞推關系式。

1.3 計算極限

但

且

于是

探究12探究11實際上用到了Euler函數(shù)的性質。事實上，借助于Euler函數(shù)，還有下述推導過程

探究13借助于H?lder不等式，并利用數(shù)列{an}的遞推關系式，有

探究14對?ε>0，有

從而有

2 結論與思考

該結論具有推廣價值。

證明利用H?lder不等式[7]可得

綜上可知，命題1得證。